SUR LES POLES ET LES POINTS CRITIQUES ALG ÉBRIQUES

$ VIII. — Étude des pôles sur le cercle de convergence à l'aide des moyennes arithmétiques.

26. Après l'étude des points singuliers d'ordre négatif, passons maintenant à l'étude des points singuliers d'ordre positif. Parmi ces points singuliers, les plus simples et en mème temps les plus importants sont les pôles et les points critiques algébriques. Pour commencer, nous les étudierons sur le cerele de convergence, et ensuite nous envisagerons les pôles et les points critiques situés en dehors de ce cerele.

M. Darboux et après lui M. Hadamard (') ont établi des relations très importantes entre ces singularités situées sur le cercle de convergence el la croissance des modules des coefficients. Nous citerons le théorème de M. Hadamard comme le plus général.

Le

Soit donnée la fonction

(a) 2 CASEAE

Supposons, pour plus de simplicité, que le rayon de convergence de la série de Taylor soit l'unité. Et soit x, un pôle d’ordre de f(x), c'est-à-dire soit

HO ue

x je Œ Ci — — 1— D Lo où f,(+) est holomorphe en x,.

Le théorème de M. Hadamard dans notre terminologie s’énonce comme il suit :

(A) These, D. 88

+” À S1 l’ordre de la fonction f(x) sur le cercle de convergence est 6,

slU—k—1+€

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