RS LT DNA NT

Et la condition (31) peut être remplie par une fonction dont l’ordre sur le cercle de convergence est 7° + 1, par exemple pour la fonction

reprèsentee par Ê log n

à Lo]

Donc, dans ce cas, d’après le théorème de M. Hadamard, pour calculer B,, il faut prendre les moyennes arithmétiques d'ordre r — k + e, tandis qu’en vérité les moyennes arithmétiques d'ordre r — k suffisent déjà pour atteindre le même but. On voit donc qu'il fallait compléter

5° P. DIENES.

l'énoncé du théorème pour arriver à une condition à la fois nécessaire et suffisante.

Au point de vue théorique, cela nous montre clairement que les singularités d'ordre plus élevé se font sentir plus tôt, c'est-à-dire dans des moyennes arithmétiques d'ordre inférieur, que les singularités dont l'ordre est moins élevé où même que les points réguliers où la détermination de l'allure de la fonetion exige l'emploi des moyennes arithmétiques d'ordre 7. Cela s'explique par le fait que les moyennes arithmétiques sont déterminées par les coefficients et les coefficients par les singularités et que les singularités d'ordre supérieur ont une plus grande influence sur la formation des coefficients.

Démontrons d'abord l'égalité (32) en supposant que les coeflicients satisfassent à la condition (31). On peut supposer, sans restreindre la généralité, que &,= 1. Alors nous pouvons écrire

f(æ) = Bx Ÿ BA œ7+ By » BA-Dgn +. + B,Ÿ +" +Ÿ bar, n 0 n=Q n=0 n=0

où les B° sont les coefficients binomiaux.

s J . r : @ | > Occupons-nous tout d'abord de la fonction représentée par D Da"

Evidemment ” ba an— [BBA +... 8B,1.

Mais on sait que (&)

Née APE DU

er > A —1, car autrement la fonction ne pourrait pas avoir un pôle d'ordre # sur le cerele de convergence. Done

TE x In) s 25 OS

et la fonction est holomorphe au point r.

Par suite, d'après le deuxième théorème de M. Hadamard, sous sa forme complétée, serattachant aux points réguliers du cercle de convergence, les moyennes arithmétiques d'ordre r des

CRE bo ce bi +. + b}

ont une limite bien déterminée qui est égale à f,(1).

C'est-à-dire ét

hrs = lim (7 + 1) 2 = /f{(1),

ce que nous pouvons écrire sous la forme

(33) lim = —«, n=n

Mais, d’après la définition des S°, d’une part

par suite Sue du à PT ea — =D [SN + Sn +Sr "]+