CET LE FREE = LA

1=0 d'où il résulte que SOS 0 SENS, + SU.

Donc (33) peut s’écrire

Sr r—1 KE S'r—1) PE re S'(r—1) i D 'sesT on

Des n c’est-à-dire Sr SN LOU (x pe )n", où

lim £, —0, n= no D'où l’on tire BEN :

SP afnr—(n y] + nf je Faesls

donc lim

Qr Les

54 P. DIENES.

car

. n'—(n—1)} L n—1\7 lim Po ee - ) — (ln ( — 0, Te Tel n = © n

Nous avons donc

LL Sn SE (34) lim DT = 0.

Passons maintenant à la partie principale.

On voit aisément que

ICr-k) — r+1) gi (r—k+2),.

S2 = BB5 bee Bi +. 2 + BP; ?

donc, étant données les propriétés des coefficients binomiaux,

SC B; 7 Chen Par conséquent, Ares SR LS Er HT) CD ln nl rene

Mais enfin

Cr) — el(r—k) U(r—k).

Sn — Sn + Sn 1

donc, en ajoutant (34) et (35), on obtient

La fe Tr—k +) - De joe F(r+i) Ô ce qu'il fallait démontrer.

Réciproquement, si les moyennes arithmétiques d'ordre 7 — k permettent de calculer de cette manière le coefficient B; de la partie principale, les coefficients a, satisfont à la condition (31). Cela se voit immédiatement si 7 est un entier, car alors le raisonnement qui nous a conduit à l'équation (34) répété r fois donne justement (31). Dans

le cas où 7 n’est pas entier, on peut se servir d'un théorème de M. Knopp () qui permet d'atteindre facilement l'équation (31).

On pourrait proposer de compléter de la même façon le théorème de M. Hadamard relatif aux points critiques algébriques. Il faudrait établir pour cela quelques lemmes concernant les moyennes arithmétiques d’ordre fractionnaire. Mais nous donnerons dans la suite une relation beaucoup plus générale relative à ces points singuliers à l’aide de la sommation exponentielle, de sorte que nous nous contenterons de cette généralisation faite pour les pôles.

$ IX. — Étude des pôles sur le polygone de sommabilité à l’aide de la sommation exponentielle de M. Borel.

28. Le théorème (32) démontré précédemment ne satisfait pas encore toutes nos exigences concernant la relation entre la singularité en un point et les propriétés limites des coefficients ou celles des expressions construites à l’aide des coefficients. En effet, Les coefficients ne peuvent pas être quelconques ; 1ls sont assujettis à la condition (31) et l’on peut voir aisément que les moyennes arithmétiques d'ordre quelconque ne sont pas propres à donner de telles relations sans aucune restriction aux coefficients. En effet, comme nous l’avons remarqué déjà, d’après la loi de leur formation,

COQ 1) (1) (ë—1) Sie) one y UE ee

D'où il résulte que si pour un p et un 7, d’ailleurs quelconques, on à

ce qui arrive nécessairement si l’on envisage par exemple les pôles, les points critiques algébriques ou les points critiques logarithmiques, c’est-à-dire si l’on a

(:) Knorr, Eine notwendige und hinreichende Konvergensbedingung (Rendiconti di Palermo, t. XXV, 1908).

56 P,. DIENES.

ou, ce qui revient au même,

où k est un entier plus grand que 7 + p, on en peut toujours conclure

que (P—1)

ro n”

et ainsi de suite jusqu'à

Donc les coefficients a, sont assujettis à une condition toute semblable à (31).

29. La méthode qui nous a déjà permis, dans le cas des points singuliers d'ordre négatif, d'obtenir des relations entre les coefficients et les singularités sans aucune restriction aux coefficients, c’est-à-dire d'envisager la singularité de la fonction donnée en un point indépendamment des autres singularités de la même fonction, était la méthode de sommation exponentielle de M. Borel. En outre, comme nous l'avons vu, la portée de cette méthode dépasse le cercle de convergence, de sorte qu’elle permet d'envisager les singularités situées sur le polygone de sommabilité.

C’est donc cette méthode dont nous allons nous servir pour caractériser les pôles situés sur le cercle de convergence ou plus généralement sur le polygone de sommabilité dans le cas des coefficients quelconques.

Soit donc donnée la fonction

par une série de Taylor à rayon de convergence fini, non nul. Soit x, un pôle d'ordre 4 de cette fonction situé sur le polygone de sommabilité (sommets exclus). On à par conséquent

à B; (36) Vibae— ae a Br a Se L fi(æ),

où la fonction

est déjà holomorphe en x, et ce point est à l’intérieur du polygone de sommabilité de f,(x).

En effet, par hypothèse, +, est sur un côté du polygone de sommabilité de f(x) et non sur un sommet; donc il y a deux lignes coupant ce côté et déterminant ainsi un segment qui contient le point x, et qui n’est plus rencontré par aucune ligne. Si l'on supprime le pôle, on supprime ce segment, car, pour construire le polygone nouveau, il faut tracer les mêmes lignes, sauf la ligne qui dérive du pôle supprimé et qui contient ce segment. Donc le segment entier, par suite aussi le point #,, tombe à l’intérieur du polygone de sommabilité de f,(x).

Donc, d’après le théorème de M. Borel, on a

en désignant par s/

SE b, + BiXo + om bare