DATANT SA

58 P. DIENES.

Mais on voit aisément que

sn di.

Ÿ È % | — +) = (aies 2710 t)(n+i—1)...(n + A ai ) n—Ÿ de sorte que | di S;(a) Es At Dans l'expression

di ( 162)

dai ?

il y à un nombre fini de termes qui, tous, contiennent e“ comme facteur, et le multiplicateur de e“ est un polynome de degré z en a, où le terme de. degré £est a’.

D'où 1l résulte Aer 1 (38) lim i(c =

NT c!

Formons maintenant la somme exponentielle de f(x). D’après (36), si l’on désigne cette somme par S(a),

S(a) — D; Sx(a) ee B;= Sz=1(a) Ho DO B, S1(&) = Sa):

D'après (38), pour : <k,

lim SAN) 0:

4= a (2 CU POUR, . kx(&) ue. nl pe Fi dhet se D'autre part, d’après (35), Ha 2) 0:

AN CA D'où l’on conclut que OA) nb 3 0 (9 A me ue

C'est la relation cherchée. On voit donc que la somme exponen-

telle permet de calculer, dans le cas où les coefficients sont quelconques, les coefficients de la partie principale.

En effet, après avoir calculé B, par la formule (39), on retranche de f(x) la quantité

B; TER ENT ts

lo

? ® ! 1 A et l’on applique de nouveau le théorème aux pôles d'ordre À — 1, et ainsi de suite.

Remarquons encore que le raisonnement subsiste entièrement si la foncuon f,(x) n’est pas holomorphe en x,, mais elle y est d’ordre négatif.

En effet, nous avons démontré qu’en un tel point situé sur le polygone de sommabilité la limite généralisée existe (p. 65), c’est-à-dire on à toujours

par suite

et c'est cette équation dont nous nous sommes servis pour démontrer la relation (39).

Cette remarque nous sera utile dans l’étude des points critiques algébriques situés sur le polygone de sommabilité.

$ X. — Étude des pôles à l’aide des sommations exponentielles

généralisées de M. Hanni et de celles de M. Borel.

91. La relation trouvée entre les pôles et la somme exponentielle est absolument générale en ce qui concerne les coefficients de la série de Taylor donnée d'avance. Mais elle ne s’applique pas aux pôles situés en dehors du polygone de sommabilité, et cela est bien naturel, étant donné que la somme exponentielle formée en un point à l’extérieur du polygone n’a pas de limite, même si le point envisagé est un point régulier de la fonction. En particulier, la somme exponentielle peut devenir infinie sans qu'on en puisse conclure qu’il en est de même pour la fonction f(x).

Il est donc indispensable, pour pousser plus loin nos recherches, de

60 P. DIENES.

recourir aux développements de la fonction donnée f(x) qui représentent cette fonction dans un domaine plus étendu que le polygone de sommabilité ou, en d’autres termes, dont le domaine de sommabilité dépasse celui de la sommation exponentielle.

Mais il y a une remarque à faire.

Les développements dont les domaines de sommabilité sont de plus en plus larges deviennent en même temps de plus en plus compliqués.

En effet, si je me donne au hasard un développement quelconque de M. Mittag-Leffler qui représente la fonction f(x) par une suite de polynomes, il est presque impossible de calculer par exemple les valeurs de ces polynomes en un pôle pour déterminer le degré d’infinitude du développement en ce point. Ou bien, ce qui est beaucoup plus important encore au point de vue théorique, je peux supprimer ou intercaler une infinité de polynomes de la suite et modifier ainsi arbitrairement le degré d’infinitude du développement sans changer le caractère de la représentation.

Par suite, il ne nous semble pas inutile d'envisager aussi les développements qui, tout en ayant un domaine de sommabilité moins étendu que l'étoile, sont assez simples pour permettre d'obtenir des résultats précis et simples.

52. Tel est par exemple la généralisation qu'a donné M. Hanni (‘) de la méthode de sommation exponentielle exposée plus haut. Posons

Bi(a)=S{(a)="—, ?

de n | PEU, S ai D Bi(n)= B,(a) == 2 Se sd / LE)

otre nus nec ielelolele + eine ere

(°) Haxni, Ueber die Besiehung zwischen der Darstellung, ete. (Acta mathematica, t. XXIX, 1905).

et £ A a” DB) Ba) ru == 0 = \ a” ci N!

M. Hanni a déterminé les domaines de sommabilité de ces développements, et il à trouvé que, dans des cas assez étendus, ces domaines dépassent le polygone de sommabilité sans atteindre, en général, l'étoile.

Soit maintenant æ, un pôle d'ordre k, et supposons que le domaine de sommabilité de B°(a) construit pour la fonction

Ji(æ)= f(x) — | > re

contienne x, à son intérieur, c’est-à-dire qu'on ait

(4o) bob (a = (re):

Déterminons maintenant l'ordre de grandeur pour a = + de B}(a) construit en x, pour

Tout d’abord, d’après (39), nous savons que

ee à

TR OT Ds Calculons B?(&). Étant donné que

(n+k)(n+k—1)...(n +1) un 7 rm k!

on à

Ce.

où P;(a) est un polynome dont le terme de degré maximum est a”.

62 P. DIENES.

et, d’après le théorème de Cesàro généralisé pour les fonctions entières,

car

DE ne pen

d’où 1l résulte que

Le même raisonnement s'applique pour r quelconque. D'où l’on conclut que (40) peut s’écrire lim {BU (a) —[B; BP (a) +...+B, B0(a)]| =/fi(a), où B°(a) signifie La 7° somme exponentielle formée pour f(x). En divisant par a“, on obtient

(41) lin ERP

A © GE < k!

Par conséquent, les sommes exponentielles généralisées de M. Hannt ont la même relation simple avec les pôles que la somme exponentielle méme de M. Borel.

99. Passons maintenant aux sommes exponentielles généralisées par M. Borel (‘). Cette généralisation est caractérisée par le fait qu’au

(!) Borez, Sur les séries divergentes, 1901, p. 129.

lieu de e* on emploie pour fonction sommatrice e“; en d’autres termes, on forme les moyennes

s a rn > Syn (æ)

et l’on envisage la limite de cette expression pour 4 — +, r étant un entier positif.

M. Borel démontre qu’en général le domaine de sommabilité de ces sommes exponentielles généralisées dépasse beaucoup le polygone de sommabilité. Par exemple, si la fonction f(x) n’a qu'un nombre limité de points singuliers dans toute aire finie, la méthode exponentielle généralhsée permet de calculer la valeur de la fonction en un point régulier aussi voisin qu'on veut d’un point quelconque du plan complexe. Il est donc bien naturel d’étendre nos résultats à cette méthode de sommation si efficace et en même temps si simple.

Soit æ, un pôle d'ordre #, et supposons que le domaine de sommabilité de S"(a), construit pour la fonction

Be B, faite) = f(x) + oee rs ;

T TNA æ ee J — — Lo Lo

contienne x, à son intérieur ; en d’autres termes, soit

(42) lim SU) (a) = fi (a).

D'autre part, on sait que les s, de