EAU TAS

(43) lim

Par conséquent, les sommes exponentielles généralisées de M. Borel sont en relation simple avec les pôles, et cette relation

ressemble be iucoup à celle donnée par la méthode exponentielle qui a pour fonclion sommatrice e“.

Remarquons qu'ici le degré d'infinitude des sommes envisagées n’est plus égal au degré du pôle. On voit dans quelle mesure l’emploi de la fonction exponentielle elle-même rend possible d'obtenir des résultats à la fois généraux et simples. Si l’on prend pour fonction sommatrice des fonctions plus compliquées que e* malgré qu’elles s’en approchent dans leur formation, les résultats deviendront aussi de plus en plus

compliqués. Cela ressortira mieux encore en nous servant du développement de M. Mittag-Leffler.

$ XI. — Étude des pôles à l’aide de la représentation des fonctions analytiques donnée par M. Mittag-Leffer.

34. Remarquons tout d’abord que, théoriquement, le théorème déjà classique de M. Mittag-Leffler sur la représentation d'une foncüon analytique par une suite de polynomes ou, plus généralement, par une suite de fonctions entières, permet d’étudier les points singuliers situés sur la frontière de l'étoile principale, car il nous donne les valeurs de la fonction dans des points réguliers qui tendent vers ces points. Et, de plus, les fonctions F,(x) qui, pour a = +, s’approchent indéfiniment de la fonction analytique donnée f(x), sont des polynomes ou des fonctions entières de x; par conséquent, chacune de ces fonctions a une valeur bien déterminée dans tous les points du plan complexe.

En un point x,, situé à l’intérieur de l'étoile, nous avons, d’après le théorème de M. Mittag-Leffler,

Harris).

A — © Soit maintenant x, un point singulier situé sur la frontière de l'étoile ou, plus particulièrement, soit x, l’origine d'une demi-droite exclu». Un problème général se pose :

Quelles relalions existent entre la suite

(44) mare

et la structure de la singularité au point x,? D. 9

66 P. DIENES.

Nous avons vu dans le deuxième Chapitre que, si le point x, est un point singulier d'ordre négatif et si l'on prend par exemple la représentation des fonctions analytiques donnée par M. Lindelôf, la suite (44) a une limite bien déterminée, et cette limite est la valeur vers laquelle tend la fonction en cheminant vers le point singulier x,. Ce que nous

pouvons écrire imF,(r—=hm.f(),

— x=2 et cette relation est, en quelque sorte, l’extension à l’étoile d’un théorème d’'Abel.

Supposons maintenant que x, soit un pôle de la fonction f(x). Est-ce qu'en choisissant une représentation déterminée, la croissance de la suite (44) est en rapport avec la croissance de la fonction au voisinage du point x,, et, de plus, est-ce qu’elle permet de déterminer les coefficients de la partie principale, c’est-à-dire de caractériser complètement la singularité?

Nous allons voir que la réponse est affirmative.

59. Pour cela, exposons brièvement la représentation d’une fonction analytique par une suite de fonctions entières donnée par M. Mittag- Leffler dans sa cinquième Note (‘).

Soit

Ce]

E(DED CAE

une fonction entière satisfaisant aux deux conditions suivantes : 1° E(x) a pour limite o quand x tend vers l’infini le long d’un vecteur quelconque autre que l’axe réel positif, tandis qu’elle est positive et tend vers l'infini quand x tend vers l'infini le long de l'axe réel positif.

2° w élant positif, E(woz)