LS STE
(*) Mivrac-Lerrcer, Sur la représentation d'une branche uniforme d’une Jonction monogène (5° Note) (Acta mathematica, t. XXIX, 1905, p. 1-3).
d’une manière uniforme, tant que x appartient à un domaine fini situé en dehors de la partie de l'axe réel compris entre æ —1I et “+ 0. Soit A (x) la branche de f(x) définie par l'équation
TA CE) > dite = 0 dans le cercle de convergence de la série et par le prolongement analytique de Dee à l'intérieur de l'étoile.
Soit enfin Sn At GIE on pm . “Cr dl,
D’après le théorème de M. Mittag-Leffler,
> Sn Xn 4" (46) PAU) = Vin eur ss lim Ma).
Œ— © V ar AZ © T=—= 0
On peut considérer ce résultat comme la généralisation de la méthode exponentielle de M. Borel où l’on emploie pour fonction sommatrice, au lieu de e“, la fonction entière E( a).
Pour fonction sommatrice, on peut prendre par exemple la fonction entière
(47) Eg(a)=YŸ sl (B > r},
étudiée par M. Lindelôf.
36. Nous allons démontrer en effet qu'une fonction entière E(a) ayant tous ses coefficients positifs et tendant uniformément vers 0 avec : dans l’angle (48) e< 0 on—e, quelque petit que soit &, satisfait toujours à la deuxième condition
(elle satisfait évidemment à la première).
Soit donné en effet un domaine fini A, de x, situé en dehors de la
68 P. DIENES.
partie de l'axe réel compris entre æ =1 et +. On peut toujours tracer un cercle de rayon suffisamment grand, en particulier plus grand que l'unité, pour que le domaine entier soit intérieur à ce cercle.
Entourons d’autre part le segment 1 —+ x d’une bande assez étroite AA'B'B, de façon que le domaine donné soit à l'extérieur de cette bande.
Partageons A en deux parties : l’une A, extérieure à l’angle AOB, l’autre À, intérieure à A’OB.
?ar hypothèse, en choisissant € plus petit que l'angle AO x, d’après
(48), lim E(wæ)—o
d’une manière uniforme, quand x varie dans AÀ,, car avec æ la quanuté wx est aussi intérieure à l'angle AOB. À fortiori
E(wx)
tend uniformément vers o pour © = + dans toute aire finie extérieure à l’angle AOB, en particulier dans le domaine A,.
Envisageons maintenant AÀ,, c’est-à-dire la partie de A qui est située dans l'aire limitée par OA", OB' et par l’arc du cercle A’B.
Le plus grand module de x dans A, est le module de A’ (ou celui de B’), de sorte que dans ce domaine
|x| << OA'= b Li,
D'où il résulte que |[E(wx)| <E(wb),
car les coefficients de E(x) sont positifs.
Ou encore |[E(wx)| E(wb)
pour un x quelconque pris de A.
Appliquons maintenant le théorème de Cesàro, généralisé pour les fonctions entières, aux deux fonctions
et
= 0 On obtient . E(wb) CU) ts Tera RE CAT Deere D'où l’on conclut que Li E(wzx) ME) ;
d’une manière uniforme dans l’aire A'OB’.
En joignant les résultats qui concernent les aires A, et A,, on voit que la fonction entière E(a) remplit bien la condition (45); donc elle peut servir comme fonction sommatrice dans le théorème indiqué de M. Mittag-Leffler.
Par exemple, M. Lindelôf a démontré que la fonction entière (47) tend uniformément vers zéro dans tout angle satisfaisant à la condition (48). Par suite, d’après le raisonnement précédent, cette fonction entière peut être employée vraiment comme fonction sommatrice. Cela nous assure que les conditions exigées par le raisonnement ne sont pas contradictoires et qu'il y à bien des fonctions entières remplissant nos conditions.
57. Cela posé, supposons que +, soit un pôle d'ordre #, situé à l’ori-
70 P. DIENES.
gine d’une demi-droite exclue, de la fonction analytique définie par JC) = dn D n=0
et représentée à l'intérieur de son étoile principale par
Ce]
