a+ A)... (nr +i+ na 7” ie dE) En EE) (nn Ei) Un Era. QU

En remarquant encore que c, = 1, nous pouvons donc écrire di an k K(%) 7 E(a)]= af E®(a)[r+e(a)],

ime:(a)=0

58. Écrivons maintenant l'équation (49) d’une manière explicite

limM'(a)=lim[M(a)—B;M;(a) —...—B,M,(a)] = fi(xo),

et remplaçons les sommes M;(a) par leurs valeurs trouvées précédemment

im | Parler Pat ne) Le Cm te Tien

B, «a EU)

72 P. DIENES.

avec

lim na) 10;

Mais le raisonnement précédent nous donne

BrasE na mb Nain (a) B,aE((a) Fi 2e UNE FT 1] “re B,af Et) (a

= LEE [+ n(a)], né ta)—=®, de sorte qu'on peut écrire

k K(X) (50) lim M Ça) — Li + ea) Ji)

et l’on démontre aisément que

ah on (51) re ie Posons enfin EU) (a rs =/i(a)

où les fonctions f,(a) sont déterminées par la fonction sommatrice indépendamment de la fonction f(x), ct divisons les deux membres de l'égalité (50) par a“ f,(a).

D’après (51), le second membre tend vers zéro pour a = +. D'où l’on conclut que

. hits ce 4 TIC) k!

Et c’est la relation générale entre les pôles et les sommes générales de M. Mittag-Leffler. Ces sommes M(a) sont déterminées par les coefficients a, de la série de Taylor qui définit la fonction f(x); de sorte que l'équation (52) nous donne la relation générale entre les pôles situés sur l'étoile (à l’origine des demi-droites exclues) et les cocfficients du dé veloppement taylorien donné d’avance.

Ou bien, M(a), pour a = +, étant la valeur au point x, des foncuons entières F, (x) qui s'approchent indéfiniment de la fonction f(x)

4 1 . e , , à l'étoile, (52) peut s’écrire

Donc la suite

(44) bm Fa(xo), 2e

formée en un pôle, est en rapport direct avec la nature de la singularité envisagée. Elle nous décèle le degré du pôle et permet de déterminer successivement les coefficients B, de la partie principale, donc de caractériser complètement la singularité en question.

Si l’on emploie pour fonction sommatrice la fonction Eg(a) de M. Lindelôf, on peut voir aisément que

Jim fx (4) =);

donc le degré d’infinitude de la suite (44), tout en déterminant celui de la fonction, le dépasse, car en x, la fonction devient infinie d’ordre k.

Remarquons enfin que, comme nous l'avons vu, c’est l’analogie complète du développement de M. Mittag-Leffler avec la somme exponentielle de M. Borel qui a rendu possible la démonstration du théorème (52).

S XII. — De la croissance des fonctions entières.

99. Passons maintenant aux points critiques algébriques d’ordre positif, où par suite le degré d’infinitude de la fonction est un nombre positif quelconque. Dans ces recherches, nous avons besoin de quelques résultats relatifs à la croissance des fonctions entières qui représentent la fonction donnée.

Examinons tout d’abord la fonction exponentielle pour montrer l’idée fondamentale de la méthode employée.

Soit donc donné