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M. Borel (*) a remarqué que l’ordre de grandeur d’une fonction entière

(1) Borez, Leçons sur les séries à termes positifs, p. 58. D. 10

74 P. DIENES.

à coefficients positifs ne dépend pas également de tous les termes de la série; au contraire, si l'on n'exige pas une évaluation très précise, un ou quelques-uns de ces termes, qui s’éloignent d’ailleurs à l'infini pour a = >, donnent déjà l’ordre de grandeur de la fonction.

Nous allons développer cette idée pour évaluer exactement le degré d'infinitude de certaines fonctions entières à coefficients positifs.

Soit Æ un nombre positif supérieur à 1, et désignons par D la partie

ON [42 entière de L. de sorte que

FN où

on Li.

Je dis que la somme des b premiers termes du développement de e“ divisés par e“ tend vers zéro pour 4 = =.

En effet, pour un & quelconque, les deux plus grands termes de la série envisagée sont ceux dont les indices sont a — 1 et a; par suite,

ACDC ES

Appliquons maintenant la formule de Surling sous sa forme

(53) bl=n(b)(b+:1) 2e—(o+1), où

lin n(b) = Var.

Nous avon:

A(a o SAT a € (b)(b+ 1) 2ete DE 1 2 tOE [44 Et 2 A(a &” 69 (a) 2 € 5 —(S-n+1)+a n(b)(b+i}e ‘4 Cat a< k(b+r).

Regardons maintenant le quotient

kb ke k