On voit aisément que, au point r, l’ordre de la fonction

où « est un nombre réel quelconque, excepté o et les entiers négatifs, est égal à &. On est donc amené à croire qu'il y a une relation étroite entre l’ordre de la fonction sur le cercle de convergence et le degré d’infinitude ie plus élevé de la fonction sur le même cercle. La question a quelque importance, car l’ordre et le degré d’infinitude de la fonction sur le cercle sont deux notions fondamentales relatives à l’allure de la fonction au voisinage de ce cercle.

A cet égard, M. Borel (') a donné un exemple pour montrer que, dans le cas où les modules des coefficients sont à croissance irrégulière, l’ordre peut fort bien surpasser le degré d’infinitude. Pour montrer la cause de cette divergence entre les deux nombres envisagés, faisons la remarque suivante.

Étant donnée la série convergente à termes positifs

Ce]

ù Cn

(*) Borez, Leçons sur les séries à termes positifs, p. 717.

8 P. DIENES.

on peut toujours remplacer une infinité de c, par de telle façon

log n Le) que la convergence ne soit pas troublée. Soit

la nouvelle série ainsi obtenue.

Regardons maintenant la fonction

co

(5) AC DCE

Son rayon de convergence est l’unité et, d’après (4), son ordre sur le cercle entier est aussi égal à 1, car

log nr :

lim n ne loc

lin log logn P=S

D'autre part, le degré d'infinitude de (x) est o. En effet, la série (5) converge absolument dans tous les points du cercle de convergence; donc la fonction (x), en valeur absolue, a une limite supérieure finie sur le cercle.

Ajoutons encore que, lorsque l’ordre est plus grand que l’unité, la fonction devient nécessairement infinie au voisinage d’un point du cercle de convergence.

4. Mais, ce qui est plus important, nous allons donner un exemple pour montrer que l’ordre peut être plus grand que le degré d’infinitude, même si les modules des coefficients sont à croissance régubière.

Considérons pour cela la fonction

a Ë = FOEDAENRRET CE n=0 n = 0 où E(V#) est la partie entière de 4/7. Les modules des coefficients sont

évidemment à croissance régulière, et l'ordre de la fonction sur le cercle de convergence de rayon 1 est l'unité.

Envisageons d'autre part le degré d’infinitude. Posons, pour simplifier l'écriture,

Sn (Lo) = Lo+ To+... + and.

On voit facilement que (‘)

lim sup. ee = I.

Nous allons démontrer qu'il en est de même pour un point quelconque x, = 1 du cercle de convergence, c’est-à-dire que

lim sup.

ee

nm

où À est un nombre fini. Remarquons à cet effet que, si l’on pose

ñn

; Pr Tr

K—1 on a identiquement nm n—1 > pxg= On(r— Qk+1) + Onne k=1 = Dans le cas actuel Pr— Xx; x .

c’est-à-dire rm n—1

sm )=> a D (do Dé. 26) (ar — as) + (mo + + EE),

sd dd F1 kK=—1 et ainsi n—1 24 3 nr) = | Ÿ (124) (ox — 0731) + — ri)æ

ETS dd Kk—A1

(1) Voir, par exemple, Vivaxri, Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, 1906, p. 419.

JO P. DIENES.

Considérons maintenant le rapport

On voit d’une part que Him(i—xi)— —=o n= © Var

et, pour les indices # qui ne sont pas de forme 7?—1,ona

Lx — Ap+1 — 0.

D'autre part, lorsque

nous avons x — cr: =

et l’on a, dans le sigma, des termes de cette sorte en nombre ÿ», ce qui donne réellement

Sn ( To )

ve

Pour en rer la conclusion cherchée, écrivons que

(6) lim sup.