RL

=D su (a)æ";

n =0 donc, pour toutes valeurs de x positif. et inférieur à 1, l'inégalité (6) nous donne

AE Lo) N'ES | ne - DATE = 0

Mais on sait que

an Ne ni ) dVre (fini), ri 0

d'où le résultat

lim sup. | (= r)f(ziae) | AB:

Le degré d’infinitude de la fonction

f(æ) pe (— 16%)

ne surpasse donc pas }, tandis que son ordre est égal à 1. Mais ce qui nous parait encore plus important, c’est le fait que la série formée par les modules des coefficients est

dont le degré d'infinitude sur le cercle de convergence est manifestement égal à lP’unité. Donc les modules des coefficients ne déterminent pas complètement l’ordre de grandeur de la fonction sur le cercle de convergence, les arguments des coefficients entrent aussi en jeu. Il en ressort nettement que l'influence des arguments des coefficients sur l'allure de la fonction sur son cercle de convergence est beaucoup plus profonde qu’on n’aurait pu le croire. Un problème nouveau et général se pose donc : Déterminer les bornes et les caractères de l'influence des arguments sur les propriétés générales de la fonction.

S II. — De l'influence des arguments des coefficients sur les singularités.

5. Loin d’avoir l'intention d’épuiser ce problème, nous allons, par quelques résultats qui s’y rattachent, 1llustrer plutôt la nature et la limite de cette influence. Pour cela, énonçons tout d'abord un lemme général qui déjà donnera lui-même une idée assez nette du mécanisme de l’influence en question.

Soit donnée une suite de nombres complexes

(7) 2 ei%o, Pi ed, me On ein,

avec la restriction que tous les termes se trouvent dans un angle # 7

12 P. DIENES.

du plan complexe (sommet à l’origine). Nous allons démontrer que

ia, ia, 7. id, a.

(8) inf. J P9 EEE pr RER RES n= Dali cer

où f(a) est un nombre positif, non nul, qui ne dépend pas des 9. 10 ñ . . Fe Pour & < = la démonstration est presque immédiate et l’on a, dans ce cas,

(9) [Po et + ps el... + py en > (pot pit... + Pn) COS. , : Fe s T0 neo , En effet, « étant inférieur à => on vérifie facilement qu’on a

À Poe % + ps eh] > po + pi CoSa > (Po + Pi) cosa.

Supposons donc que (9) soit vrai si l’on remplace » par » — 1, et démontrons qu'il est vrai pour 2. On a

| (Po et + pa eËh +... + pr jeu) + py el | = | Po en Pi Ce one Pa—1 eitns | + Pn COS &1, car la somme | Po eo + Pi CCE ER Pn—1 ets, comme tous ses termes, est un nombre situé dans le même angle; donc elle peut être prise pour 9,e“*; d'autre part, par hypothèse,

lo et. perl (pipi Hp, )e0s es

ainsi, &«, et &, ne surpassant pas &, (9) est démontré pour = quelconque.

Cela posé, prenons le cas plus général où « 7x. Partageons « en deux parties égales : «, et «,. Soient s, la somme des termes d’indice inférieur ou égal à ? qui se trouvent dans l’angle &, et s,, la somme du reste des termes d’indice inférieur ou égal à », de sorte que

Sn 0e CO RRREE On Ein — SES De même, soit Sa Pot ps +. ot de co.

En vertu de (9),

LE $ a Tr s c lim inf. | n. | 2 COS —» lim HAS ë 2 ee 2

LE ri n = A

d’où il résulte que

et si l’on remarque que

ae:

Mais, en général, lorsqu'on a deux suites positives A,, B,, on a, pour COST O,

7 |A, + B, eït |?

IL TN Re AR AR ES n= 0 (Az + B, )’ A? + B° 2A,B J 1 2 Ho inf, "2" + cos o lim sup. = > = + - cosa > 0 ï DES (An + Ba) ia CARD) ne 2 ?

d’ou il résulte immédiatement notre lemme (8).

Remarquons encore que, lorsque la Ste en est convergente, on n—=0

peut appliquer le lemme aux sommes relatives à ces deux séries,

6. Nous allons maintenant établir quelques propositions à l’aide de ce lemme. On sait que, lorsque les coefficients sont positifs (déstgnons-les par »,) et le rayon de convergence égal à l’unité, le point x est toujours un point singulier de la fonction

(x) = Prat.