EX

Nous démontrerons qu’il en est de même pour la fonction

(10) CENT Pa enr,

14 P. DIENES.

si, du moins à partir d’un certain indice, tous les coefjicients se trouvent dans un angle x <7 du plan complexe (sommet à l’ortgine). È |

En effet, ajoutons à f(x) un polynome pour que la condition indiquée soit remplie à partir de l’indice o, ce qui est toujours possible sans changer en aucune façon la singularité de f(x); supposons que cela soit fait et développons cette fonction en un point x&,< 1 de l’axe positif, on obtient

toire (0) fa) =S Es mr pe.

Tâchons maintenant de déterminer le rayon de convergence de cette série. Pour X quelconque, tous les termes de la série

1) (Zo)

F1 0) etre (K Hi) pr em.

par suite sa somme, se trouvent dans le même angle x << 7. Le lemme(8)

donne dans ce cas

gl (0) .

FO (Zo) k!

où À ne dépend que de &; donc, le même A s'applique pour Æ quelconque.

D'où il résulte que

ee

lim sup. 4 A Ve)

lim sup.

k AICTE A) \/ k!

Mais nous savons que le rayon de convergence de la série

to) PR) =D RU (= at