IL

est égal à 1 — x,; donc

SERRE 7 ) "(AI lim si) JE (6) A0 00 k!

lim VA — 1.

car

Par suite, le rayon de convergence de la série (11) est au plus 1 — «,,

ce qui revient à dire qu'il est égal à 1 — x, par conséquent, le point 1 est vraiment un point singulier de la fonction (10), comme nous voulions établir

7. Supposons maintenant que £(x) devienne infini au point 1. Je dis que le degré d'infinitude de f(x) est égal à celui de :(x): ou, plus précisément, il y a, sur l’axe réel positif, un intervalle fini (x,, 1) où l’on a

(12) LÉ A OÛCE),

À étant une constante positive convenable.

En effet, on peut toujours supposer que /ous les coefficients de f(x) se trouvent dans le même angle x << 7, car un polynome divisé par z(x) devient o pour x —=1. Mais dans ce cas les termes des deux séries

EA

«: 0, x el D Ein AN.

SRE On

pour & positif quelconque, se trouvent dans l’angle z; donc, d’après le lemme (8),

= em semi

ce qui démontre la proposition.

8. L’inégalité (12) nous permet de généraliser en quelques lignes un théorème très important de Cesaro. D'après ce théorème, a, et b,

16 P. DIENES.

étant positifs,

: = , a (13) im = — = lim L—1 n=oVn > Dr rn—=0

lorsque la limite du second membre existe et la fonction

Ne

n=0 devient infinie au point r.

Supposons que les b,, à partir d’un certain rang, se trouvent dans un angle « 7 du plan complexe (sommet à l’origine) et qu’on ait Her n—= bn D) Nous allons démontrer que la relation (13) subsiste dans ce cas plus général. En effet, dr = 40, Verbe

avec lim£é, —0; donc on peut écrire > CU > En Dr RP LM 1 > be ds Dire n =0 n=0

Calculons la limite du second membre.

D'après (12), si x est assez proche de 7,

Le Ce]

> Eh 0, æ" > le 01%

a = LE À De. ADI n—=0 n=0

Mais, dans le second membre, tous les coefficients sont positifs, et la

limite de leur rapport est o. On a donc, d’après le théorème de Cesàro,

LC]

= NS e, 0, a Ci MEN) D 00 = ——2 — 0, Del N b, x?

Il en résulte que Le théorème de Cesàro subsiste dans le cas où les coefficients se trouvent, au moins à partir d’un certain rang, dans un angle « 7 du plan complexe. De même, pour les s, et pour les moyennes arithmétiques d'ordre quelconque.

Remarquons enfin que, lorsqu'il y a une infinité de coefficients dont les arguments diffèrent de +, toutes ces propositions sont généralement en défaut; donc, pour ces propositions, la condition que, du moins à partir d’un certain rang, tous les coefficients se trouvent dans un angle x 7, est une limitation naturelle.

$ III. — La distribution uniforme des arguments des coefficients abaisse le degré d’infinitude.

9. Supposons maintenant que cette condition ne soit pas remplie. La question se pose : Dans quel cas peut-on affirmer que les arguments qui diffèrent les uns des autres de 7 changent réellement la nature de la singularité au point 1? en particulier, dans quel cas abaissent-1ls le degré d’infinitude au même point? Ou, au contraire, dans quelles conditions le degré d’infinitude de la fonction

LC] a

(14) ftx)=Y On Cd => A | PU) n=0

reste-t-il égal à celui de (15) Pr) = 2 pat”, malgré que les a, ne satisfont pas à la condition indiquée plus haut?

Pour répondre, au moins partiellement, à la première question, D. 3

18 P. DIENES.

nousjallons établir une proposition qui permet, dans certain cas, de distinguer l'influence des arguments de celle des modules des coeffi-

cients.

Soient, en effet, «,, &,,..., «, les points limites de la suite infinie

(16) os si; da, CAL CNe) Xn

Entourons les points «; des cercles de rayon assez petit pour que tous ces cercles soient extérieurs les uns aux autres; les termes de la suite (16) qui sont extérieurs à tous les cercles seront en nombre fini b.

Soit enfin »,(n) le nombre des termes d'indice inférieur ou égal à x mi(n)

qui se trouvent dans le cercle c;, et formons les rapports

Si la limite lim LUE) or

existe, nous dirons que la fréquence du point limite «; est f. Démontrons maintenant que dans ce cas

(Givi) Hini(r — D An TL fit + foto +... + frdg. AA I —= 10

En effet, on a

f(x) =>. CET D x + où L'i+...+ > Re n=0 nm Re 7x N x!

Mais, d’après le théorème de Cesàro,

1 : . PE \ Do (*) Voir, par exemple, BoreL, Leçons sur les séries à termes positifs, 1902, p. 66.

et

d’où il résulte (17).

Remarquons encore qu’en raisonnant ainsi sur la fonction æ HÉENe

on obtient la relation

(18) lim Y DU = Ge LC L—= Ab |

où /; est la fréquence du point limite 5; par rapport à la suite

Sos Si; S2, ., Sn

Cette relation est une généralisation immédiate du théorème d’Abel, d’après lequel, s’il n’y à qu’un seul point limite 5, le premier membre de (18) tend vers 5. Cette relation vérifie encore complètement les vues de Leibniz et de Lagrange dans la question particulière de la

sommation de la série divergente () (19) I—I+I—I1+....

En effet, les s, de la fonction

ù (—i)tæn

Tr;

sont

Nous avons, par suite, deux points limites : 1 et o, avec la fré-

quence :

(1) Voir à ce sujet Borez, Leçons sur les séries divergentes, 1901 (Introduc-

tion).

20 P. DIENES.

D'après (18), la valeur de la fonction au point 1 est donc

ce qui montre évidemment que, pour déterminer la somme de la série divergente (19), c’est la fréquence de 1 se rapportant à la série complète qu'il faut considérer.

Remarquons enfin qu’à l’aide de la relation

en supposant que la limite du deuxième membre existe, on généralise facilement la relation (18) pour le cas où les coefficients tendent vers . Re . , . . . . «a

infini. Il suffit de considérer les points limites de la suite = Nous pouvons faire de même pour les moyennes arithmétiques des s, d'ordre

quelconque.

40. Mais, au lieu de ces considérations, nous allons nous servir de ces résultats pour établir une proposition qui donnera une idée assez exacte de l'influence des arguments.

Soit donnée

(20) f(x) =>. On eitaxn,

et supposons que

(21) UOREEEN rt: 0 pour que l’influence des modules soit éliminée. Il est évident que q

pa)=Ù AE

n—=0 devient infini de degré 1 au point 1. Quelle distribution des e“ abaisse le degré d’infinitude de la fonction (20)? Nous allons démontrer que, st la distribution des e° sur le cercle de rayon 1 est

ESSAI SUR LES SINGULARITÉS DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 21 uniforme, la fonction (20) ne devient pas infinie de degré 1 au point 1.

La distribution des e'% est dite uniforme lorsque, divisant le cercle

en À arcs égaux, la fréquence des 2 sur un arc existe et est égale à pe À

et cela pour une infinité de valeurs de X.

Pour démontrer cette proposition pour la fonction (20), il suffit de la démontrer pour la fonction

car, d’après la condition (21),

ÉA=AS nCE + En CE Anx' 71—=0

avec

Ile, =—"0*

et, selon le théorème déjà cité de Cesàro, lim (1 — DD LCR Oo.