PUIS C
en prenant, au lieu de «,, le milieu 6 de l'arc qui le contient; (17) nous donne
li — L)o0(x)= — C0 int net) RD a
où > c, est la somme des kï® racines de l’unité.
Mais f(x) = qu(Z) + Ex (x),
et, pour € quelconque, à partir d'un certain indice k, tous les coeffi-
22 P. DIENES.
: donc
cients de &,(æ) sont inférieurs à
5 | om ‘
[G—x)f(æ)|<|G—zxz)ox(xz)| + D'autre part, si x est assez proche de l'unité,
[(t— x) gx(z)| <
donc [Q— zx) f(æ)|<e,
ce qui démontre la proposition.
S IV. — Critères formés des s, pour reconnaître le degré d'infinitude, la distribution des arguments étant arbitraire.
L1. Passons maintenant à la seconde question soulevée précédemment. On sait, depuis Abel, que pour les séries à coefficients positifs, l'égalité
entraine nécessairement
= (LT (22) lim V ar —
D'après le lemme (8), c'est aussi vrai pour les séries dont les coefficients se trouvent, du moins à partir d’un certain indice, dans un angle x <{ 7 du plan complexe (sommet à l’origine). Supposons maintenant que les coefficients ne soient pas assujettis à cette condition. Dans ce cas, la fonction ne devient pas infinie, en général, au point 1. Il s'agit de déterminer des conditions entrainant nécessairement l'égalité (22). /{ peut arriver, par exemple, que les s, deviennent in finis en valeur absolue et se trouvent déjà dans un angle x << 7 du plan complexe (sommet à l’origine). Cela suffit pour conclure que la fonction devient infinie au point 1. En effet, envisageons les deux
fonctions
A (2) % DS RES vid ie Tr n =0
et o(x) D LA Eur n=0 D'après (12) nous avons pour x assez proche de l'unité
> Ao(z).
LE
Ent: 72
Mais Him(i—zx)o(xz) =,
comme on le voit tout de suite, si l’on considère la fonction
el
et l’on se sert du théorème de Cesäaro d’après lequel
= Li lim — — 0 n= Sn
entraine l'égalité
bon A |
Donc vraiment himif(z)|=c.
= Remarquons enfin que c'est une généralisation d’un théorème de M. Pringsheim (*).
42. Mais le cas le plus général et, en même temps, le plus compliqué est celui où les modules des s, ne tendent pas directement vers l'infini,
(*) PrixGsmeim, Ueber das Verhalten von Potenzreihen ouf dem Konvergenzkreise (Münchener Sitzungsberichte, 1. XXX, 1900, p. 40).
2/4 P. DIENES.
mais où la suite des s, a aussi des points limites finis et où les arguments des s, ne sont assujettis à aucune restriction.
Pour plus de simplicité, nous nous bornerons à supposer, pour le moment, que les coefficients a, sont réels et que
lim sup.|a,|<a<1.
Dans ces conditions, nous pouvons démontrer le théorème suivant :
Si, pour les s, positifs, on a : $ (25) limsup =
et, pour les s, négatifs,
(24) lim sup.|s,| — A,
où À est un nombre fini ou nul, {a fonction Da devient infinte n=0
au point 1
Nous démontrerons, en effet, que, dans les conditions indiquées, on a w : na - I (5) D — lim — —=0o, n=e So TS te. +Sy Pie et que S, est positif pour » assez grand. Alors, en appliquant le théorème de Cesàro sur les deux fonctions
= oz C2) Zi n—=0 et HET (1— x} = D Srx ;) r—=0 nous aurons YA li Der en D in ex | C2) x 11 (x) ms: >: (2)
ce qui démontre la proposition énoncée.
ESSAI SUR LES SINGULARITÉS DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 25 Démontrons donc légalité (ro) Pour cela, regardons la suite finie
Sos Si; Sn 1 7
et soit »°«, la plus grande des valeurs de SA REA …..) RENE | Sn le D’après l'hypothèse (23),
Inner 00:
Le nombre des termes de la suite finie qui sont plus grands que r° est au moins Le — ee ta — 1), à cause de la petitesse des coefficients a, qui constituent les s,. Donc, quand nous formons Sn ES à 4 8e Sn
les termes considérés tout d’abord donnent une somme supérieure ou 1 1
égale à rË(a — 1), c’est-à-dire cette partie de S, devient infinie d'ordre supérieur à r Les autres termes positifs ne diminuent point cet ordre, les termes négatifs non plus, car, d’après l’hypothèse (24), leur somme, en valeur absolue, est moindre que 7 À. Donc, l'équation (25) est vérifiée et, à partir d’un certain indice, S, sera toujours positif.
