TOME ni

Malgré cela , les géomètres n'en opèrent pas moins sur leur matière idéale, sur leur corps abstrait, comme s'il étoit réellement divisible à l'infini.

Le corps géométrique , bien différent du corps naturel, n'est que la simple étendue, sans aucun égard à toutes les qualités que les objets peuvent avoir. Ce corps abstrait n'a point de parties déterminées et actuelles , il ne contient que des parties simplement possibles, qu'on peut augmenter ou diminuer tant qu'on veut; car la notion de l'étendue ne renferme que des parties coexistantes et unies les unes aux autres , et le nombre de ces parties est absolument indéterminé , et n'entre point dans la notion de l'étendue. Ainsi l'on peut, sans nuire à l'étendue , déterminer ce nombre comme on veut , c'est -à - dire qu'on peut établir qu'une étendue renferme dix mille , ou un million , ou dix millions , ou cent millions de parties, selon que l'on voudra accepter une partie quelconque pour un; de même, une ligne renfermei-a deux parties , si l'on prend sa moitié pour une, et elle en aura dix ou mille, si l'on prend sa dixième ou sa millième partie pour l'unité. Cette unité est absolument indéterminée, et dépend de la volonté de celui qui considère cette étendue.

Cela posé, les géomètres conçoivent des parties si petites, qu'on puisse les regarder comme indi-

( ^75) visibles , sans que l'erreur qu'on commettra , suppose qu'elles ne le soient pas, puisse être jamais assignable. Mais on leur demande : Cette partie inassignable peut-elle encore êti'e divisée ? Oui, sans doute, répondent- ils, puisqu'il n'est pas nécessaire que cette partie inassignable , pour être regardée comme indivisible, soit la moindre de toutes les parties que la matière contient , mais qu'il suffit de ne pouvoir assigner le nombre qu'il en faut pour former une ligne, quelque petite qu'elle soit.

En tombant donc d'accord avec les mathématiciens, que la matière peut être divisée en un nombre de parties inassignables , et qu'on peut de même l'augmenter au point qu'il ne sera plus possible d'exprimer sa grandeur, cela seul leur suffit pour imaginer un calcul d'infinis et d'inassignabJes, par le moyen desquels ils vous donneront des démonstrations à l'évidence desquelles il ne sera pas possible de vous refuser. Convenez de même avec eux qu'il y a des grandeurs qui ne diffèrent entre elles que d'une partie si petite par rapport à elles , qu'on peut la regarder comme infiniment petite, et que cette partie, toute petite qu'elle est, venant à être comparée à une autre à peu près semblable , peut ne différer d'avec elle que d'une différence infiniment petite à son égard. En voilà assez pour leur faire inventer le calcul des différences de difféi'ences , dont les opérations ne

( ^76 ) seront pas moins sûres que celles du précédent; voilà non-seul€ment des inassignables , mais encore des inassignables d'iîiassignables ; mais tout cela ne fait rien pour la divisibilité à l'infini , parce qu'il est question de savoir si , à force de prendre des inassignables d'inassignables , nous n'en viendrons pas à un dernier , qui sera , sans que nous le connoissions , la moindre partie de la matière , auquel cas, tout ce que nous ferions , en continuant le calcul, seroit égal à zéro, puisque les inassignables d'un indivisible ne sont rien.

4. Disons la même chose à l'égard de quelques démonstrations mathématiques, par lesquelles le géomètre pourroit se croire autorisé à continuer ses divisions à l'infini.

Euclide a démontré, dans le premier livre de ses éléments, proposition 10 , qu'une ligne droite, AB , peut être divisée en deux parties égales ,

I AC , CB , mais cela ne prouve

^ pas que les parties de celles-ci

seront elles-mêmes divisibles P en deux autres , et ainsi de suite ; à moins que l'on ne suppose ce qui est en ques- ^'<; tion , savoir , que la ligne IH ,

H en divisant celle AB , rencon-

trera toujours des parties composées.

On répondra , il est vrai , que si la ligne AB est composée , par exemple , en nombre impair , c'est-

( 277 ) à-dire de 5, de 7, de y indivisibles, celte même ligne ne peut être divisée en deux également , que le point intermédiaire ne soit conçu comme divisible en deux parties égales.

Mais alors on demandera encore si le géomètre peut démontrer que ses opérations soient exactement applicables aux choses considérées en ellesmêmes , et non par abstraction. En géométrie , on suppose des lignes parfaitement droites, des cercles parfaitement ronds, etc., quoiqu'il n y ait peut-être pas un seul cercle ni une seule ligne de ce genre dans toute la nature. Ici , on fait plus, on suppose une ligne droite, tirée du point I au point H, qui coupe AB en deux également au point C , quoique cette ligne coupante devienne souvent impossible dans l'hypothèse des indivisibles. Ainsi on dira : Je conviens que IH coupe en deux parties égales la ligne AB, s'il est vrai qu'elle puisse la couper ; mais c'est précisément là le point de la question. Si je suppose que la ligne AB est composée de 8 indivisibles , et que celle TH est formée par la trace d'un seul , dans le milieu qu'il pai'court , dès loi's IH pouri-a diviser AB en deux également; mais si je suppose que cette ligne AB est composée de 9 indivisibles , dès lors IH tombera sur le 5' point ; elle le couvrira, mais elle ne le coujjcra pas.

Euclide démontre, liv. 1" , proposition 9 , qu'un angle BACj peut être divisé en deux parties égales ; d'où l'on conclut que celles-ci peuvent éti'e divisées en deux autres , et ainsi de suite.

Mais cela porte encore sur la supposition d'une matière divisible à l'infini; car, en supposant, au contraire , que le sommet A soit composé , par exemple, de 8 indivisibles, lorsqu'après deux divisions , il ne sera plus composé que de 2 , la ligne coupante AF , que l'on abaissera du sommet sur la base du triangle , sera la dernière que l'on puisse tirer , à moins qu'on n'ose prétendre qu'en substituant sans cesse une semblable ligne à l'une des deux qui se joignent au sommet, et qui n'y laissent que deux indivisibles, cela s'appelle en effet diviser le même angle à l'infini.

Mais , dira-t-on encore , si , dans un triangle BAC, les deux côtés A B , A C , sont composés l'un et l'autre de cent indivisibles, et la base BC, de 5o, on pourra tirer autant de lignes droites parallèles à la base qu'il y a d'indivisibles danscba-

( 279 ) que côlé , c'esl-à-dire i oo. Or , en s'éloignant de la base, ces ligues deviendront successivement plus petites au moins d'un point ; ainsi la seconde ligne , c'est-à-dire celle qui est immédiatement audessus de la base , aura 49 indivisibles; la 3% 48 , et enfin la 5o% DE , n'en aui"a plus qu'un , ce qui est impossible , puisqu'elle n'est encore dans toute sa largeur que la moitié de la base , et qu'elle devroit contenir par conséquent 2 5 points. On est donc forcé de convenir que la matière n'est pas composée d'indivisibles, mais qu'au Gon traire elle peut souffrir des divisions à l'infini.

Ce raisonnement paroît former une preuve invincible , lorsqu'on persévère à ne considérer les choses que d'une manière abstraite , et comme l'imagination nous les représente. Mais on niera qu'en prenant les choses dans leur nature, chaque ligne que l'on tirera d'un des côtés du triangle à l'autre soit nécessairement plus petite d'un point que celle qui l'aura précédée, et que jamais elle puisse être telle lorsque la base n'aura que 5o points, et que les côtés en auront 100. Pour rendre la chose plus sensible, prenez un triangle dont

la base est de 1 o pieds, la hauteur de chaque côté de 20 , et vous reconnoîlrez bientôt

qu'il vous est impossible d'y former 20

( ^8o ) divisions qui diminuent toutes d'un pied. H est vrai qu'on n'en apercevra pas une seule qui ne perde quelque chose; mais il faut bien prendre garde qu'il s'agit ici de l'étendue d'un pied; et comme la différence d'une division à l'autre doit diminuer à mesure que l'étendue diminue , rien n'empêche , lorsqu'il sera queS;tion d'indivisibles, que plusieurs points ne soient posés les uns sur les autres, de manière que les lignes que l'on suppose qui sont tirées d'un c6té du triangle à l'autre ne se surpassent pas toutes successivement d'un indivisible.

5. A l'égard des différentes courbes qui , suivant l'expression des géomètres , étant prolongées à l'in,fini , ainsi que leurs asymptotes , ne se rencontreront jamais, quoique l'espace qui est entre ces lignes diminue continuellement , il faudroit , après les réflexions que nous avons faites touchant l'impossibilité absolue d'une matière divisible à l'infini (c. IV, II, lo) (i), examiner encore avec la plus grande attention s'il ne se glisse ici aucune des suppositions qui ont lieu dans les mathématiques , s'il ne s'y rencontre rien, d'imaginaire , rien qui ne convienne exactement aux objets considérés en eux-mêmes , et non par de simples abstractions que le géomètre peut bien se permettre.

(i) Voyez M. Foinicy, aux endroits déjà cités.

mais qu*on ne doit jamais prendre pour des réalités.

6. Au reste , il faut bien observer que ce que nous avons dit des suppositions et des idées absli'aites à l'égard de la géométrie est indifférent quant à la pratique, où l'on se contente d'opérer avec assez de précision pour que l'eiTCur, s'il y en a, devienne inassignable, en sorte, par exemple, que si Ton veut couper une ligne en deux parties égales, il soit impossible, après la division, d'apercevoir et de marquer ce qui manque à la justesse de l'opération , que l'on peut dès lors supposer exacte , parce qu'elle l'est suffisamment pour les usagça de la vie civile.