CHAPITRE I

De la connaissance abstraite en général.

S 1. — Position traditionnelle du problème géométrique. Son évolution.

Le rôle essentiel que jouent l’espace et le temps dans l’ordre théorique et dans l’inteliigence de la nature tient donc à trois causes : 1° Ils sont Pobjet direct de la connaissance géométrique, dont les propriétés rendent sensible et expliquent le déploiement indéfini des mathématiques. 2° Ils sont la matière sur laquelle la mesure a une emprise privilégiée. 3° Ils sont enfin l’élément homogène du monde physique et du monde sensible, sous les espèces duquel le premier se manifeste. Il semble donc qu'ils expriment ce qui, dans notre expérience, est à la fois objectif et intelligible, qu’ils soient au croisement des trois grandes voies de la sensation, de la réalité physique et de l’intelligence. C’est en les considérant que nous connaissons le mieux notre puissance intellectuelle, ils sont l’élément le plus sûr de notre confiance en elle.

Or, nous voulons montrer d’abord que cette pensée est vaine, en ce qui touche le premier point, et que la géométrie n’a point pour fondement la nature spatiale de certains objets mentaux, si l’on attribue au mot spatial son sens accoutumé. Qu’entendons-nous, en effet, par ce: mot d'espace? Les mathématiciens l’emploient en des circonstances très différentes, soit en géométrie pure, soit en analyse, soit en des études plus abstraites encore. Au sens étroit, celui de la géométrie intuitive classique, il est en quelque sorte antérieur aux figures, qui en sont des déterminations. L’étendue en est une spécification, et ses propriétés sont celles d’un objet dont l’étendue corporelle ne nous montre que des parties, dont la géométrie ne nous découvre que la structure locale. Elles ont un sens direct et intuitif. Au sens large, l’espace désigne d’une manière très générale l’ensemble des dispositions que peuvent prendre les éléments étudiés, l’ensemble des valeurs qui peuvent être attribuées à des variables. Il est une classe de données et ses propriétés expriment certaines relations, certains Caractères de ces ensembles et des figures qui s’y trouvent définies.

Nous avons dans les deux cas deux sortes de problèmes à résoudre : quels sont les espaces possibles, ceux que nous pouvons imaginer € concevoir, et quels sont leurs privilèges respectifs, quelles raisons peu-

vent nous incliner à choisir tel ou tel d’entre eux comme modèle de l’espace physique où nous reconstruisons les phénomènes ? Entre les conditions purement logiques et les conditions purement expérimentales, y a-t-il place pour des justifications rationnelles d’un tel choix ?

Aux diverses interprétations du mot espace correspondent naturellement diverses manières d’en définir la nature. Si les sens d’ensemble se correspondent, les propriétés le font aussi. Mais, suivant le point de vue adopté, tel ou tel caractère est mis plus aisément en lumière. Nous voyons clairement ce que signifie pour un espace intuitif ou analytique avoir trois dimensions ; la chose est ambiguë pour un espace abstrait. De même nous voyons bien la différence intuitive entre une sphère et un tore, entre une surface unilatère et bilatère, mais il est délicat de généraliser ces propriétés aux espaces purement abstraits.

Dans l’ensemble, on peut classer les caractères d’un espace en caractères de structure, d’étendue, et de forme. Mais avant de les analyser sommairement, il convient de comprendre comment la notion même de géométrie s’est modifiée, et quel genre de certitude nous devons lui attribuer.

Nos idées sur l’espace et la géométrie ont singulièrement évolué depuis deux siècles et elles nous ont menés à la conclusion suivante : il n’y a pas de géométrie pure, en tant qu’intuitive. Et avec cette affirmation s’évanouit un grand problème et un grand espoir de l’ancienne philosophie : en effet, le Aoyiouôs voBos de Platon, ce raisonnement bâtard, n’est-il pas le point de croisement de la connaissance sensible et de la connaissance idéale, et n’y a-t-il pas là un concours extrémement révélateur ; n’y a-t-il pas là d'autre part, l’indication d’une méthode capable de nous faire dépasser l’étude des faits mathématiques et de nous initier à la connaissance rationnelle?

Il est bien remarquable que Descartes qui a contribué plus que tout autre à affranchir la géométrie de l’espace, en la rendant purement numérique, qui d’autre part a ouvert les voies à une théorie purement combinatoire, « synthétiste », presque mécanique de l’algèbre et par là des mathématiques, ait conservé à l’espace tout son prestige intellectuel. Cette intuition claire de l’étendue, qui la rend seule digne de définir la nature et la matière, porte, indivisément, sur l’image résiduelle que nous obtenons, quand nous faisons abstraction de toutes les qualités changeantes des corps, et sur l’idée à laquelle s’appliquent les déterminations géométriques (1). C’est là une de ces doubles orientations si fréquentes chez Descartes. C’est ainsi qu’il professe une théorie « épigénétique » des idées innées, mais que la preuve ontologique suppose chez lui les débris d’un réalisme des idées, tout naturel chez saint Anselme, compréhensible chez Leibniz, mais surprenant chez lui, qui renie toute la philosophie antérieure.

Au contraire, Kant qui demeure attaché à la géométrie d’Euclide, associe naturellement, espace intuitif, espace physique, espace mathématique. Et cela est dans l’ordre de sa pensée, bien que peu acceptable pour nous. Il a donné au problème sa forme définitive, il en a disposé les obscurités d’une manière vraiment architectonique, et il a placé le tout

(1) Malebranche sépare nettement l’étendue sensible et l’étendue intelligible, mais il conserve à celle-ci une fonction géométrique essentielle.