ESPACE ET GÉOMÉTRIE

sous l’invocation d'une synthèse a priori en tant qu’intuitive, Pensée profonde (on n'ose dire solution puisque le problème est illusoire, et que d’ailleurs Kant le consacre plus qu’il ne le résout) qui a fortement agi sur les modernes et dont on trouvera l'application la plus frappante et la plus indéfendable dans la thèse de Liard sur Les définitions géométriques et les définitions empiriques. On y voit la géométrie partant de l’espace et le déterminant en figures par des constructions successives ayant le mouvement pour instrument, pensées bien étranges pour un contemporain de Kronecker. Mais il.est plus curieux de noter l'influence exercée par Kant sur M. Bergson lui-même,

Voici, en effet, ce que dit celui-ci, au troisième chapitre de L’Evolution créatrice. « Ce que l’esthétique transcendantale de Kant nous paraît avoir établi d’une manière définitive, c’est que l’étendue n’est pas un attribut matériel comparable aux autres. Sur la notion de chaleur, ou celle de couleur ou de pesanteur, le raisonnement ne travaillera pas indéfiniment, pour connaitre la modalité de la pesanteur ou de la chaleur, il faudra reprendre contact avec l’expérience. Il n’en est pas de même pour la notion d’espace. À supposer qu’elle soit fournie empiriquement par la vue et par le toucher (et Kant ne l’a jamais contesté) elle à ceci de remarquable que l’esprit, spéculant sur elle avec ses seules forces, y découpe a priori des figures dont il déterminera a priori les propriétés : l'expérience avec laquelle il n’a pas gardé le contact, le suit cependant à travers les complications infinies de ses raisonnements et leur donne invariablement raison. Voilà le fait. Kant l’a mis en pleine lumière » (1).

De cette thèse, nous trouvons un reflet dans une théorie du raisonnement mathématique qui a rencontré grande faveur, il y a peu d’années. M. Goblot a essayé d’associer le rôle des opérations faites sur les figures étendues avec celui du syllogisme, et il a cru que celui-ci venait guider et légitimer pas à pas celles-là, qui joueraient cependant le rôle essentiel. Sans doute, il y a là une psychologie exacte de l’élève qui étudie la géométrie élémentaire, et c’est bien le procédé que les manuels scolaires mettent en œuvre. Mais c’est un raisonnement bâtard, dont la valeur est purement pédagogique. Si le raisonnement est rigoureux la figure est inutile : elle est un guide et un soulagement pour l’imagination, et rien d’autre : nous pouvons l’effacer; cela est même prudent si le sujet est délicat. D’autre part, il suffit d’ouvrir n’importe quel livre de géométrie moderne pour voir qu’il est traité par les mêmes raisonnements des éléments à distance finie ou infinie, réels ou imaginaires. Les figures nous dispensent seulement par des évidences provisoires et quelquefois trompeuses, de prouver rigoureusement tous les énoncés intermédiaires dont nous avons besoin, elles nous « désignent » le résultat, mais elles ne le légitiment pas.

Toutes ces théories, semble-t-il, partent d’un principe fragile, et tendent à expliquer un fait douteux: «La possibilité d’une preuve apodictique en tant qu’intuitive », lorsque nous l’appliquons aux figures continues de l’espace. L'évolution de l’idée même de géométrie nous permet de poser plus correctement le problème. Cette évolution s’est manifestée dans trois domaines.

(1) L'Evolution créatrice, p. 222.

1° Dans la critique directe des notions et des démonstrations, qui à été instituée à la fois en géométrie et en analyse. Cette révision des indéfinissables et des postulats cachés qui s’est manifestée, dans le domaine analytique, par les travaux d’un Weierstrass ou d’un Jordan a mené à une exposition nouvelle et plus rigoureuse, mais qui n’a réformé les notions classiques que sur des points de détail, elle a simplement revisé des concepts et les a généralisés. Au contraire, dans le domaine géométrique, le principe même de la démonstration a dû être abandonné. Nous avons appris à séparer radicalement la géométrie science naturelle, description des solides et de leurs déplacements, science empirique et approchée, et la géométrie pure. La première est le premier chapitre de la, physique expérimentale. Mais qu’est la seconde ? A l’analyse, il a paru qu’elle ne pouvait subsister dans le plan des figures intuitives. Et deux disciplines s’en sont partagé l’héritage. L’une est la géométrie analytique ou numérique. L’autre la géométrie axiomatique, ou conceptuelle, ou abstraite. Ce qu’il y avait de spécifique ou d’intuitif (au sens vulgaire) dans le raisonnement géométrique était un trompe-l’œil, un reflet illégitime de l’interprétation sensible à la surface de la théorie vraiment rigoureuse. Le même accident arrivait d’ailleurs dans l'intervalle à la mécanique (1) et plus généralement à la physique pure qui cessait, en tant que pure, d’être une architecture de formes pour «en devenir une de nombres où de concepts, c’est-à-dire de mots, ou plus généralement de symboles. La réduction à la géométrie signifie donc, en dernière analyse, réduction à une algèbre.

On nous permettra ici une remarque sur les mots « intuitif » et < axiomatique >».

Ces mots ont un double sens. Intuitif peut signifier en effet ou bien qui nous représente les figures géométriques sous leur aspect accoutumé (nous disons alors qu’il n’y a pas de géométrie intuitive pure), ou bien qui nous représente des images ou des enchaînements d’images (nous montrerons au contraire que toute science théorique repose en dernière analyse sur des constatations intuitives). De même, axiomatique peut se dire d’une théorie où les postulats et les indéfinissables sont mis en évidence. Toute science formelle rigoureuse est alors axiomatique. Mais ce terme peut aussi désigner, par opposition à une autre théorie, où l’on essaie de garder aux notions primitives leur compréhension accoutumée, les théories où l’on renonce à attribuer à ces notions un sens quelconque, où l’on voit en elles de simples termes dont toute la signification consiste à être employés suivant telles ou telles conventions formelles. En ce sens, la géométrie intuitive courante n’est pas axiomatique, mais celle de Hilbert l’est à peu près parfaitement. L’ambiguité apparaît dans des formules comme la suivante, que tout le monde accepte sans l’entendre de la même manière : toute science théorique doit tendre à la forme axiomatique. Adoptons le premier sens énoncé, cela veut dire qu’eile doit être exposée d’une manière rigoureuse, hypothético-déductive. Adoptons le second, nous arrivons à cette conclusion plus séditieuse : toute science pure consiste en l’invention d’un algorithme, privé par lui-même de toute espèce de sens objectif, et agencé de telle manière que les juge-

(1) Voir par exemple les idées de M. Blondlot in « Bibliothèque du congrès de Philosophie de 1900, »