ESPACE ET GÉOMÉTRIE

ments portés à son sujet correspondent aux jugements d’expérience, d’une manière purement symbolique et verbale. En d’autres termes, une théorie vraiment abstraite des phénomènes est faite de symboles dépourvus de sens. Au fond, nous croyons que la première thèse implique la seconde, et que toutes deux diffèrent plus en intention qu’en résultat. Mais nous ne pouvons affirmer d'emblée un fait si choquant pour la raison.

2° Parallèlement à cette réforme de la philosophie géométrique, des points de vue étaient découverts, qui présentaient sous un aspect nouveau l’ensemble des recherches dites géométriques. On peut résumer en un mot ce qu'ils ont apporté : c’est le rattachement de la géométrie à la mécauique, c’est l'établissement d’une sorte de conception dynamique des phénomènes géométriques, l’attribution d’un rôle essentiel à la notion de déplacements. Certains n’ont vu là qu’un procédé formel d’exposition, particulièrement heureux et suggestif; d’autres y ont vu un moyen de déceler la structure géométrique essentielle de l’espace physique; d’autres enfin ont cru y saisir un aspect plus profondément rationnel du concept d'espace, apte à en faire ressortir les déterminations à priori. Ces intentions ne se distinguent pas toujours nettement. Chez Helmholtz, dont l'empirisme essaie de raccorder directement la théorie à l’expérience sensible, qui voit la géométrie pure dans le prolongement de la géométrie science naturelle, par l'intermédiaire de ce qu’il nomme l'intuition, la notion de déplacement à une valeur épistémologique tout à fait privilégiée. Elle est comme le fondement indivis de l’expérience et de la théorie géométrique. Helmholtz ne voit pas le problème sous l’angle de l'indépendance absolue de la géométrie abstraite à l’égard de l’intuition. Par contre, le clivage est nettement fait chez d’autres. Avec Ueberweg nous sommes assez nettement dans l’ordre expérimental, avec Poincaré assez nettement dans l’ordre abstrait.

A vrai dire, il ne semble pas que ces conditions aient apporté les éléments d’une philosophie géométrique vraiment neuve, et quelques formules un peu arrêtées, toutes naturelles chez des inventeurs, ont laissé croire, à tort, que nous avions découvert le fondement véritable et les cadres solides de la géométrie, alors que nous nous contentions de la voir d’un autre biais.

Dans l’ordre sensible, on peut dire que les propriétés de l’espace sont en réalité celles des corps solides que l’on déplace. Mais nous avons vu, dans l’analyse de l’espace sensible, que ces mots « en réalité » n’ont pas grand sens. Nous pouvons définir le nombre de dimensions de l’espace par différentes méthodes, qui mènent au même résultat. Ces méthodes sont donc équivalentes. Comprenons-nous, directement et intuitivement, comment le fait pour un solide d’être fixé par trois points équivaut au fait qu’une surface limite un volume, une courbe une surface, un point une courbe? Nous le constatons. L'expérience seule nous montre l’équivalence de ces définitions. Elles sont également réelles, elles nous permettent non pas d'approfondir, mais de compléter notre expérience de l’espace, elles nous en donnent un tableau plus systématique. Si nous passons maintenant à des propriétés plus spéciales, il est clair que deux figures égales ont même grandeur et mêmes caractères géométriques. Inversement, les caractères et les grandeurs géométriques sont ceux qui sont communs à des figures égales. Or, que sont deux figures égales? deux figures superposables, c’est-à-dire qui procèdent l’une de l’autre par translation. Mais

‘ces remarques attirent notre attention sur un ordre nouveau de description des phénomènes plutôt que sur une connaissance réellement neuve.

De même on dit parfois : la géométrie n’est « en réalité » que l’étude d’un groupe de transformations. Mieux vaudrait dire qu’elle peut être considérée comme l'étude d’un certain groupe. Que nous passions de l'étude de certaines formes algébriques (formes finies ou différentielles)

à celle des transformations qui en assurent l’invariance, ou bien inverue que nous nous donnions certaines transformations et que nous considérions ensuite les invariants qui leur sont attachés, l’objet de la géométrie et la nature du raisonnement correspondant n’en sont pas changés, encore que tel point de vue puisse nous donner une image mieux ordonnée ou plus complète que tel autre, qu’il y ait des interprétations plus fécondes que d’autres. C’est ainsi que l’analyse et la synthèse sont deux voies pour rattacher l’inconnu au connu, inégalement fécondes, bien qu’elles soient complémentaires; mais elles mettent en œuvre les mêmes méthodes, le même type de certitude. L’ordre des raisonnements en dépend, non la nature. De même un changement d’indéfinissables peut bouleverser l’apparence d’une théorie déductive, mais non pas sa structure profonde. C’est ainsi que l’on peut dire que la mécanique classique tout entière est fondée sur l’équation de Hamilton-Jacobi, ou sur le principe de moindre action, ou sur l’équation de Newton.

3° Les nouvelles conceptions d’ensemble de la géométrie sont solidaires des efforts pour généraliser les théories classiques. Solidarité bilatérale, car c’est la généralisation axiomatique de la géométrie d’Euclide avec Bolyai et Lobatchewsky qui est à l’origine des réflexions sur la méthode même et l’objet de cette science. Inversement, axiomatique et théorie analytique ont été une occasion de généraliser, dans des plans différents, les principaux postulats, et ont donné naissance à des théories plus étendues. Ces généralisations, à partir de thèmes différents, se recouvrent parfois, parfois aussi elles divergent. Si nous partons d’une géométrie axiomatique, nous pouvons remplacer les divers postulats, aux différents niveaux, par des postulats contraires. Si nous partons de la théorie des surfaces, nous pouvons étudier successivement les diverses surfaces applicables sur elles-mêmes, puis les multiplicités plus générales. Si nous partons de l’interprétation cayléenne, nous pouvons choisir notre métrique, notre quadrique absolue, passer des formes fondamentales aux formes dégénérées, et inversement. De même encore nous pouvons construire notre espace directement en termes finis Nous pouvons ne le construire que progressivement, en adjoignant les uns aux autres des domaines infinitésimaux.

Mais avant d’examiner les diverses formes de la notion d’espace, il convient de préciser la signification et la portée de la géométrie pure, considérée aussi bien sous la forme axiomatique que sous la forme analytique. Les figures et les nombres font partie de l’univers des objets abstraïits, et la certitude des jugements qui s'appliquent à eux est de l’ordre des certitudes logiques, elle n’est pas, suivant le langage courant de type expérimental, mais de type idéal. La chose est d’importance, puisqu'il s’agit ensuite de comprendre comment les mathématiques nous rendent intelligible la nature. Considérons donc la notion même de certitude logique et celle de démonstration.

S 2. — De la connaissance abstraite en général.

La connaissance abstraite, comme tout fait mental, peut être considérée de deux points de vue, d’ailleurs complémentaires. D’une part, elle est un enchainement de phénomènes, saisis dans leur apparence extérieure; jugements symboliques auxquels s'attache une certitude de nature particulière, et dont nous pouvons essayer de décrire les diverses nuances. D’autre part, elle nous révèle une certaine aptitude de l’esprit à diriger ces enchaïnements, et à leur donner son assentiment, réalité obscure, qui ne peut être aperçue dans sa nature intérieure, qui peut seulement être traduite par des allégories verbales, dont la principale utilité est de rapprocher les problèmes, de les réduire à une sorte d’unité formelle, de les assimiler dirait M. Lalande, ce qui est peut-être une satisfaction pour l'esprit, mais certainement pas une solution. Nous avons déjà indiqué notre impuissance à pénétrer dans la demeure de cette providence intérieure, comme dans celle qui guide les faits naturels (éliminant de ce mot toute précision théologique, et n’en retenant que « l’épigénèse » obscure de l’esprit à lui-même, comme celle des races vivantes dans leur évolution). La pensée logique n’échappe pas à cette loi.

Voyons si réellement la logique reflète la puissance propre de l’esprit, quels éléments de croyance et de certitude elle met en œuvre, en quel sens elle est souveraine et ne dépend pas du monde sensible. Une méthode comme celle des classes abstractives marque-t-elle plus fortement dans l'expérience la griffe de la raison, diffère-t-elle même beaucoup par son principe et par sa portée des procédés employés de tout temps pour représenter l’univers et pour le comprendre? Nous prendrons pour thèmes les propositions suivantes :

a) Il n’existe pas d’évidences ou de certitudes proprement logiques. Toute valeur de vérité attribuée à un jugement dérive soit d’une évidence empirique, soit d’une décision de l’esprit.

b) Toute démonstration est de forme expérimentale. Un raisonnement conclut par la même force qu’une expérience, et la logique, prise comme système déductif, n’est rien que le développement d’un algorithme matériel. La certitude abstraite s'oppose à la certitude concrète, non par son principe, mais par son usage, sa clarté, ses objets, et la valeur symbolique que nous attachons à ceux-ci.

c) La logique, comme art de raisonner, ne s’occupe ni du vrai ni du faux au sens courant, elle ne porte ni sur des idées, ni sur des concepts, mais sur des formules et des termes. Le problème de « l’objet intrinsèque de la pensée » est ici hors de cause.

d) L’existence et les caractères de la logique sont liés à une certaine structure du monde matériel, à une sorte de nature topologique.

e) Le problème de l’a priori relève de la description de l’âme, de la métaphysique ou du mythe, mais non de la logique.

f) Le concret-et-labstrait ne s'opposent pas comme deux ordres d'objets connaissables, mais comme des êtres complexes à des êtres simples. Penser abstraitement, c’est penser par symboles, par analogies plus ou moins régulières, et non penser des objets d’une autre nature.

Pas plus que dans le problème de l'objectif et du subjectif nous ne confrontons ici l'esprit et la nature. Explication logique et explication mécanique procèdent d’un même symbolisme; la logique est, si l’on veut, la plus simple des hypothèses figuratives.

g) Pour avoir ainsi analysé le « phénomène » de la pensée logique, nous n’aurons pas rendu compte du progrès et de la valeur de la pensée. C’est. là un accident commun à toute étude de l’esprit ou des choses. Les faits de l'âme, comme les faits naturels (qui sont un seul et même ordre), sont mêlés d'invention spirituelle et de nécessité matérielle. Mais le mouvement qui les détermine, la finalité qui les ordonne ne peuvent être objets ni d’expérience, ni même de connaissance, pas plus que la püissance hors de l’acte, le créateur hors de la création.

h) Nous pouvons systématiser logiquement toute notre connaissance, nous ne saurions nous affranchir des problèmes traditionnels touchant le réalisme des concepts ou celui du monde physique. Nous pouvons exposer le problème de la géométrie indépendamment du problème de l’espace, mais le second restera posé aussi bien dans l’ordre de la perception sensible que dans l’ordre objectif, mais abstrait, du monde reconstruit par la science. Peut-être ces problèmes sont-ils vains par ailleurs, faute de données suffisantes pour les résoudre. :

Peut-être convient-il, avant de développer ces remarques, d’en indiquer la signification. Certes, le nominalisme arithmétique est une doctrine ancienne, à laquelle Helmholtz a donné une forme particulièrement nette, -et à laquelle beaucoup de mathématiciens se réfèrent, au moins impiicitement, et, pourrait-on dire, en première approximation philosophique (1).

Par ailleurs, la logistique a favorisé, à certains égards, une conception purement combinatoire de la géométrie non analytique. Enfin, nous n’ignorons pas les critiques formulées à ce sujet par les philosophes idéalistes. Mais ce que nous avons voulu montrer, c’est comment une théorie de cet ordre devait être étendue à l’ensemble de la connaissance abstraite, dans le cadre d’un nominalisme radical et universel, comment elle s’adaptait aux problèmes du réalisme, comment elle se reliait à une théorie du raisonnement. Par là, nous avons tenté de mettre en lumière l'unité de la connaissance intellectuelle en toutes ses démarches, sa parenté profonde avec la figuration mécanique ou artistique de la nature. Nous sommes d’un seul tenant, nous n’avons au fond qu’un seul procédé de pensée, qu’un seul type de certitude, qu’une seule emprise sur les phénomènes, qui est d’en imiter symboliquement le devenir, par des figures matérielles taillées en lui-même. Des représentations les plus naïves aux schémas les plus abstraits, l’intelligence est une, sous une double apparence, soit qu’elle combine les figures pour leur seule beauté, par un jeu entièrement désintéressé, soit qu’elle cherche en elles l’image

() Nous ne saurions, ni ne voudrions instruire ici une fois de plus le procès de l’empirisme et du rationalisme mathématiques. On trouvera dans la thèse de Couturat « De l’infini mathématique » un exposé détaillé des thèses de Kronecker, Dedekind, et des autres nominalistes. L’auteur leur oppose un rationalisme que nous avouons ne pas très bien comprendre. Sur l’ensemble de ces problèmes, cf. L. Brunschvicg « Re étapes de la philosophie mathématique », ouvrage fondamental, cf. aussi : P. Boutroux « L'idéal scientifique des mathématiciens ».

DE LA CONNAISSANCE ABSTRAITE Si

et l’anticipation d’un autre phénomène. Cette communauté de nature fixe la valeur et les lois épistémologiques de toute représentation intellectuelle de lexpérience. Elle nous montre aussi que nulle théorie ne peut rationaliser d’une manière privilégiée les mathématiques, en les rattachant à quelque forme « idéale » de la connaissance abstraite, car nulle connaissance ne porte, au sens fort, sur des idées. Ni un platonisme vague, souvent suggéré, ni une philosophie logistique ne peuvent transférer aux mathématiques une rationalité qui leur serait propre, et les procédés intuitionnistes se définissent et se défendent aussi bien dans une théorie nominaliste.

Nos remarques sur la connaissance abstraite correspondent d’ailleurs exactement à celles que nous avions formulées plus haut (1) touchant la connaissance concrète. Dans l’un et l’autre cas, nous avons mis en lumière ce fait que toute la connaissance se déroule dans un seul plan; l’unité du moi et du monde sensible répond à celle de la connaissance logique et de lexpérience matérielle; toute notre pensée au sens le plus large, au sens cartésien, se joue dans l’univers phénoménal, elle a pour loi uniforme le mécanisme et la spatialité. Certes, il y a un au-delà du logique comme du sensible, mais il est d’un autre ordre, et proprement métaphysique. Ce contre quoi nous voudrions réagir, c’est la tendance, d’ailleurs spontanée, à mêler ces deux ordres de réalité, comme si l’un arrivait à prendre corps et figure dans l’autre, se manifestait en lui, comme si notre expérience était une mosaïque d’idéal et de sensible. Nous ne pouvons juxtaposer ces deux ordres en les opposant, pas plus que la finalité et le mécanisme, le rationnel et le logique, le moi et le monde extérieur : ils ne sont pas au même niveau de réalité. Peut-être est-il permis, nous-même l’avons essayé un instant, à la fin du chapitre IV, de sertir dans une allégorie métaphysique les problèmes de l’ordre phénoménal, mais ce ne peut être que par un mythe forgé extérieurement, non par prolongement direct de notre science positive. Celle-ci doit être. établie toute entière dans le plan phénoménal.

$S 3. — S'il existe des relations proprement rationnelles.

Parmi les relations qui passent pour l’objet d’une connaissance rationnelle, on cite d’ordinaire celles d'espèce à genre, d’attribut à substance, d’élément à ensemble, de partie à tout.

Or, le lien de l’espèce au genre est fort obscur, dès qu’il n’est pas traduit intuitivement sous forme d’inclusion d’un ensemble dans un autre. Si nous considérons la subordination de l’espèce au genre comme celle des moments successifs de la création, des stades nécessaires d’une évolution, des types imparfaits qui nous mènent jusqu’à l’individu, au sens où une espèce existe par raison logique, alors même que nul être vivant ne la représente, au sens où chaque individu concret implique à lui seul toute la classification naturelle, alors il faut toute une construction théorique pour justifier les propriétés de cette relation. Nulle pensée n’est plus obscure, en effet, que celle des formes communes indéfiniment précisées, d’idées emboîtées dont chaque individu participe, et de leurs relations réciproques. Et le lien de l’attribut à la substance est plus imaginaire encore; il ne peut que résumer des conventions de langage.

(1) Section I, chap. I.

Mais prenons celui du tout à la partie, que l’on considère parfois comme le type même de la connaissance rationnelle. Ces termes n’ont de sens clair que s’ils sont rapportés soit à des ensembles discontinus, soit à des étendues capables de s’inclure les uns les autres. En ce cas, et en ce cas seulement, les propriétés logiques des jugements d’inclusion, la transivité, par exemple, se trouvent justifiées par évidence. Mais quelle évidence? Non pas abstraite; elle dérive simplement de ce que nous pouvons vérifier chaque énoncé sur une figure assez générale, et que nous ne pouvons, à l'inverse, imaginer un cas où elle soit démentie. Il s’agit donc d’un fait physique (constaté ou imaginé), comme ce fait qu’une collection conserve son nombre si nous en déplaçons les éléments les uns par rapport aux autres. La preuve en est que cette notion perd ses propriétés les plus évidentes si nous l’appliquons aux ensembles infinis. Les points d’abscisse entière de l’axe des x sont une partie des points du plan dont les coordonnées sont entières. Pourtant on sait que les deux ensembles ont même grandeur, puisque l’on peut établir entre eux une correspondance biunivoque.

D’une manière plus générale, observons qu’une telle connaissance atteignant ses objets en eux-mêmes, directement, ne peut être que concrète. En effet, penser abstraitement, c’est à vrai dire penser une chose par une autre, prise par symbole ou analogie. Il n’y a pas d’objets abstraits, pas plus que d’objets généraux. De même que nous pensons de manière générale à l’occasion de figures particulières, ainsi nous interprétons abstraitement des pensées et des raisonnements concrets : les développements logiques de notre pensée n’ont pas pour éléments les concepts pris avec leur sens, mais seulement pris dans leur figure matérielle de signes. La véritable catégorie de l’esprit n’est pas le général, mais le type. Or, nous ne raisonnons pas sur les types comme tels, mais comme individus. C’est dire que tout progrès de la connaissance est intuitif. Car que serait la notion non-intuitive et en soi d’une entité simple ?

Individus sensibles, intuition sensible, connaissance empirique d'images et de leurs enchaînements, tel est le seul objet de notre conscience. Quand nous parlons de termes, de relations intelligibles, que pourrions-nous entendre sinon une clarté et une simplicité particulières de figures et d’usages dans le discours? Et que serait, les concernant, une connaissance a priori et purement rationnelle? N’est-ce pas presque se contredire dans les termes que dè chercher en face d’éléments concrets une connaissance qui ne soit pas elle-même concrète et empirique, et une certitude propre à un autre univers? Cherchons seulement dans quels cas une connaissance exacte, universelle et durable est possible.

Nous dirons donc que toute connaissance logique est le développement régulier d’un algorithme et des opérations s’y rattachant; et que la démarche caractéristique de l’esprit c’est, les termes étant pris pour symboles de termes d’un autre univers, d'interpréter systématiquement ce développement comme symbole du développement de l’autre univers. Nous appelons connaissance purement formelle celle du développement des propositions abstraites, considérées comme de simples signes, indépendamment de leur contenu.

$ 4 — Rôle de la notion de vérité.

C’est un lieu commun de dire que, dans un système déductif, la vérité des conclusions est liée à celle des prémisses; si bien que seule l’implication de deux propositions peut être affirmée absolument. Et cela est fort heureux, car la vérité intrinsèque est une notion des plus obscures soit métaphysiquement, soit psychologiquement, lorsqu'elle reflète toutes les nuances qui vont de l’évidence sensible la plus irréfutable à la commodité et à l’élégance d’une hypothèse de physique : vérité de la: sensation, vérité des conventions scientifiques ou morales. Le logicien ne se soucie même pas de la vérité possible des propositions sur lesquelles il opère, pas plus que le mathématicien ne se soucie de mouvements réels, de champs à mesurer, de troupeaux à dénombrer. Vérité logique et vérité au sens courant sont des homonymes sans nature commune, la seconde peut être une « solution > de la première, comme une droite sensible est une « solution » des entités «a, b, c de Hilbert.

En quel sens prendrons-nous donc cette phrase de H. Dufumier (1) : «< De toute manière, si avec Frege, on recherche sous le sens apparent (Sinn) du concept sa signification réelle, on se rend compte qu’il pose ou nie une manière de vérité... En réalité, ce n’est pas la classe ni la proposition qui est l’objet du calcul, c’est la valeur de vérité que l’une et l’autre recouvrent ».

En réalité, nous devons distinguer ici deux sens du mot « vérité ».

Tout d’abord, une expression est réputée vraie quand elle est présentée dans le discours, affirmée, c’est-à-dire écrite ou prononcée soit par convention, soit à la suite d’une démonstration ; il est en ce cas permis de lutiliser dans les raisonnements futurs. C’est en ce sens qu’une pierre est vraie, quand elle existe dans la nature, que le soufre et le mercure sont vrais quand ils sont sur la table du chimiste, prêts à être employés. Il ne peut y avoir de signe propre à l’assertion de vérité, prise en ce sens, car si nous écrivions, par exemple, que « la proposition x est vraie », il nous faudrait affirmer que cette assertion même est vraie, ét ainsi de suite. La seule solution raisonnable est d'admettre qu’on n’écrira dans un raisonnement que des propositions vraies, et qu’on ne laissera pas traîner par mégarde de propositions inutilisables. Le logicien n’étudie, en ce sens, que des propositions vraies, comme un architecte ne construit qu'avec des matériaux réels. Vrai s’oppose alors à inutilisable, indéterminé.

Mais une proposition peut être vraie eh un autre sens, où vérité s’oppose à fausseté : comme les théories logiques sont faites pour imiter et guider l’expérience, il est naturel d’en choisir les éléments conformément aux divisions naturelles de cette expérience. Ainsi nous introduisons l'exclusion à côté de l'implication, la contradictoire d’une proposition à côté de cette proposition, le faux à côté du vrai. Ce ne sont là que des signes, dont nous fixons l’emploi par convention : ainsi nous aurons des expressions de la forme x = V,x = Aou xret — x, ou x et x’. Nous les prononcerons comme nous voudrons, et nous les interpréterons suivant la nature de l’expérience à laquelle nous nous référerons. Le

(1) Revue de métaphysique et de morale, 1916, p. 630, sqq.

signe de la négation s’introduit ici comme le symbole i en algèbre. Pas plus que les variables logiques ne désignent en elles-mêmes des concepts, des cercles, des propositions, il ne désigne en lui-même la contradictoire d’un concept, l'extérieur d’un cercle, la fausseté d’une proposition.

C’est ce que Hilbert a très bien montré dans son article : « Logique et arithmétique » (1) : « Imaginons, dit-il, que les objets 1, =, et leurs combinaisons soient par un procédé quelconque répartis entre deux classes, la classe des êtres et la classe des non-êtres. Un objet quelconque appartenant à la classe des êtres diffère d’un objet quelconque appartenant à la classe des non-êtres. Toute combinaison des deux objets simples 1, — appartient à l’une ou à l’autre de ces classes.

Soit une combinaison des deux objets fondamentaux 1 et —; nous désignerons également par a la proposition affirmant que a appartient à la classe des êtres et nous représenterons par & la proposition affirmant que a appartient à la classe des non-êtres. Nous dirons que «a est une proposition exacte si a appartient effectivement à la classe des êtres, de même & sera une proposition exacte si a appartient à la classe des. non-êtres ».

Seul, le mot effectivement semble de trop, et relève de la psychologie ou de la physique, car pour un logicien, si a est un être, c’est par décision ou démonstration, fondée elle-même sur une décision.

Pouvons-nous maintenant parler de la vérité d’un raisonnement, abstraction faite des propositions sur lesquels il porte? Qu'est-ce donc que raisonner, que démontrer une proposition? C’est la construire à partir de propositions données par des opérations régulières : un théorème résulte d’un théorème antérieur comme une fin de partie résulte d’une situation antérieure et des conventions qui règlent le mouvement des pièces sur un échiquier, comme un précipité résulte d’une réaction chimique effectuée suivant des procédés connus, à partir d’éléments. connus. C’est que jamais une démonstration ne porte sur des idées, mais. simplement sur des signes matériels, et peut-être les nombres ont-ils une réalité plus profonde, mais les démonstrations arithmétiques n’intéressent que les chiffres.

Nous arrivons ainsi à une nouvelle notion de la vérité, qui a quelque chose de normatif : le vrai, c’est ce qui peut être écrit; le faux, ce qui ne doit pas l’être. Mais ce ne sont là que des définitions nominales, et sans intérêt, car pour savoir ce qui peut ou ce qui ne doit pas être écrit, nous ne nous référons pas à une notion préalable du vrai et du faux, mais à une convention plus directe : le vrai, c’est ce qui peut être construit régulièrement à partir des données primitives; le faux, c’est ce qui contredit l’une de ces données.

Les seules notions nouvelles qui interviennent donc ici sont ies. suivantes : appliquer correctement une règle de construction, apprécier une contradiction et refuser d’écrire une expression contradictoire, en un mot (puisque l’on peut faire une règle du principe de non-contradiction) : agir suivant les règles, ne pas agir contre les règles. Est-il possible de les définir psychologiquement d’une manière précise? Il ne le semble pas, et nous devons les prendre comme.des données primitives : la conformité d’un acte à une règle ne peut être exprimée symbolique-

(1) Enseignement mathématique, 1905, p. 12.

ment, ni justifiée. Les logisticiens ont observé depuis longtemps que le principe d’assertion séparée ne peut être formulé dans aucun algorithme, et si nous voulions analyser l’état de conscience du sujet qui applique une règle à une donnée particulière, nous n’y trouverions rien de caractéristique, hors ceci qu’il agit, qu’il déclare le faire légitimement, et qu ail n'éprouve aucun sentiment de doute où d’inquiétude. I1 tranche ainsi, à chaque moment de son raisonnement, une sorte de nœud gordien.

A côté des raisonnements corrects et des raisonnements absurdes (c’est-à-dire qui font appel à des arguments contradictoires), il en est qui font appel à des propositions étrangères aux données primitives, qui sont indémontrables, irréfutables, et qui ont cependant un sens. Ceci soulève un problème difficile que nous examinerons en parlant des principes logiques.

Nous voyons ainsi que le logicien (ou le mathématicien) ne se soucie aucunement de la vérité physique ou métaphysique; il considère seulement dés signes d’espèces différentes qu’il peut lire «est vrai >» ou « est faux », à moins qu’il ne préfère les lire autrement ; il s’occupe des expressions qu’il peut et de celles qu’il ne peut pas écrire, et qu’il peut appeler vraies et fausses, ou comme il lui plaît. Quant à l’association de

- ces deux sortes de démarches, elle dérive d’une convention d’écriture, et pas du tout de la notion de vérité, considérée comme intermédiaire.

Les logiciens admettent qu’il existe des systèmes de données cohérents, qui ne mènent à aucune contradiction, et ils conviennent de les étudier seuls. Ils sont justifiés sur le premier point par l’expérience, sur le second par le fait qu’une seule contradiction en implique une infinité d’autres, d’où un immense chaos, et par le souci de l’interprétation matérielle des propositions.

S 5. — Objections que l’on peut faire à une définition purement algorithmique de la pensée logique.

Maintenant il nous faut revenir sur cette idée que la logique en général, et que les mathématiques en particulier, sont au fonü une science de la nature, fondée sur des expériences, des évidences de type sensible; celle qui considère les architectures de signes matériels, dont nous ne retenons que la forme, et, pour emprunter à M. A. Denjoy une expression particulièrement heureuse, celle des phénomènes du calcul pris en ses diverses espèces.

Ne pouvons-nous pas, en certains Cas, conclure nent en toute rigueur, d’une pensée à une autre, sans recourir à un algorithme? Faut-il toujours un intermédiaire matériel entre deux idées ? En particulier :

1° Un algorithme est toujours général; n’y a-t-il pas des démonstrations portant directement sur le particulier ?

2° N'y a-t-il pas de raisonnements convaincants et qui sont, par exemple, purement verbaux ?

3° Ne pouvons-nous raisonner en imagination ?

1. — Un algorithme peut correspondre à des êtres individuels. Une démonstration peut être faite directement sur un exemple : ainsi procé-

daient souvent les anciens arithmétistes. Seulement, les opérations sur symboles en jeu ne sont légitimes qu’en vertu d’une convention générale, non parce que la nature des choses le veut, mais parce qu’il serait absurde d’édifier un système d’axiomes pour un cas particulier. Mais s’il nous est plus facile d’appliquer à une équation particulière les formules générales qui donnent les racines, nous pourrions parfaitement refaire sur cet exemple toute la théorie de la résolution des équations. A vrai dire, toute démonstration porte sur des individus comme x, y, z, pris comme types par convention.

Nous pouvons reconnaître, en toute rigueur, la vérité de plusieurs propositions successives, et les considérer comme liées sans passer par une notation algébrique ou l’équivalent. Mais ce n’est point là démontrer; il faudrait que les certitudes fussent extraites directement les unes des autres, ratione formae, et non pas associées après coup; l'implication doit être la charpente de la pensée, non son vêtement. Sans doute, la plupart de nos pensées, même les plus certaines, naissent et sont acceptées dans ces conditions; c’est qu’en effet, bien des raisonnements, même en mathématiques, ne font que préciser, encadrer, commenter une certitude obtenue intuitivement; d'autant que nous croyons savoir, plus ou moins confusément, qu’une démonstration logique serait possible dans les mêmes circonstances, et que notre pensée intuitive pourrait être mise en forme.

2. — Matériel ne veut pas dire tangible ni visible. Un son est aussi matériel qu’une couleur, et celle-ci qu’un contour ou qu’une résistance au contact. Depuis Descartes nous traînons la distinction illusoire des qualités premières et des qualités secondes, comme s’il y avait entre nos images des différences de matérialité. Mais il n’en est rien.

On objectera que si toute image est matérielle, toute pensée l’est aussi, car elle ne peut se passer d'images. Un langage sera donc un algorithme, et nous n’avons rien dit. Mais il s’agit de savoir si nous passons d’une pensée à une autre par l’intérieur ou par l’extérieur, en raison des significations ou en raison des figures sensibles des mots. À quoi nous référonsnous pour passer d’une formule à une autre? Au sens. Alors, nous sommes hors de la logique. À la configuration extérieure des jugements qui s’impliquent suivant des lois mécaniques et conventionnelles? Alors nous raisonnons en logiciens; le mouvement des signes précède celui des pensées,.comme l’automatisme peut précéder la conscience; le corps devance l’âme.

Un langage concret peut servir d’algorithme, pourvu que nous associions les termes sans égard à leur sens; se servir de variables abstraites n’est pas une obligation, mais une précaution prudente pour éviter des certitudes précipitées. Ainsi les anciens raisonnaient d’une manière générale sur des équations particulières; il leur fallait seulement une grande puissance d'esprit. L’inconvénient principal c’est que nous ne. sommes jamais sûrs de n’avoir pas fait appel à une propriété particulière des figures concrètes. De même que, raisonnant en forme sur des sujets politiques, économiques, nous risquons à chaque instant d'introduire des prémisses incertaines, à la faveur de nos sentiments.

A la vérité, il est plus difficile d'opérer sur des signes vocaux que sur des signes tangibles ou visibles. Notre mémoire nous trahit bientôt, les moyens de déduction se dispersent, nous avons peine à entendre simul-

tanément plusieurs conditions, quand il est facile de les avoir sous les yeux. Gêne non pas “essentielle, mais contingente, liée, comme nous le verrons, aux propriétés du monde matériel et de notre espace, à l’éducation systématique de notre mémoire ; ainsi, nous avons peine à raisonner sur des figures de sable, à faire un calcul compliqué sur un carnet dont il nous faut toujours feuilleter les pages. Pour que notre esprit puisse embrasser les données nécessaires à la pensée logique, il faut que sa puissance propre soit servie par ses outils et la structure de ses algorithmes.

8. — L’argument tiré de l'imagination est plus faible encore. Un calcul conserve sa nature, fait au tableau, avec de la craie ou bien de tête, sur le tableau non tangible où Inaudi voit s’aligner ses chiffres. Les mots du langage intérieur enserrent la pensée comme ceux qui sont parlés. Un fait imaginaire n’est pas un fait immatériel. Nous reviendrons bientôt sur l'illusion des auteurs qui opposent l’imagination à la perception comme l’âme au corps.

$S 6. — Certitude physique et certitude logique.

On admet communément que toute certitude empirique est contingente et imprécise. Or, la certitude logique est rigoureuse et apodictique. Quelle équivalence est possible?

Si apodictique désigne une nécessité plus qu'humaine, étrangère aux conditions de temps et d’espace, laissons ce terme. S’il s’agit d’un privilège de rigueur, d’universalité, montrons qu’il est des certitudes de cet ordre dans l’expérience matérielle.

Tous mes états d'âme en un sens sont irréfutables, comme il est certain à la rigueur que me voici seul, qu’une seule lampe m'’éclaire et que trois roses près de moi se fanent dans ce vase. Le cogito ne peut être démenti. Mais prenons des pensées qui peuvent être communes, donc objectives. Il est vrai qu’une mesure n’est jamais qu’approchée. Mais voici des objets rangés régulièrement : je les compte par lignes, puis par colonnes, et leur nombre n’a pas varié; donc la multiplication est commutative. (C’est l'exemple bien connu de Le Dantec.) Voici quatre points alignés. Si b est entre a et d, c entre b et d, alors bestentre a et c. C’est un axiome, mais c’est aussi, appliqué à l’expérience, une vérité très certaine, tandis que je ne puis dire exactement que la diagonale d’un carré est incommensurable au côté. De même, je ne puis affirmer qu’il existe des droites indéfiniment parallèles, mais je puis affirmer qu'après chaque nombre entier, je puis en construire un autre; après chaque fraction de l’unité une fraction plus petite. La notion de l’infini arithmétique est claire, celle de l'infini géométrique est obscure. D’où naît ce privilège? Du caractère discontinu des éléments mis en jeu, qui rend possible une connaissance actuellement rigoureuse, et qui nous garantit d'autre part son indépendance à l’égard de la position spatio-temporelle. Le privilège du raisonnement arihmétique ou algébrique est celui du dénombrement sur la mesure, de la géométrie qualitative sur la géométrie métrique. Si notre intelligence n’a de prise que sur le discontinu, cela ne veut pas dire que les relations des êtres dis-

continus soient particulièrement rationnelles. Si nous mettons hors de cause les raisons d’accoutumance et de simplicité, les lois du choc enferment autant d’incompréhensible que les actions transmises par un milieu continu, et les échanges brusques de la théorie des quanta autant que les échanges continus d’énergie. Mais le raisonnement n’est concluant que s’il s'applique à des objets individuels, et discontinus; et cela, en raison du caractère de notre intuition sensible. Dès que le contenu et l'infini interviennent, la représentation s’obscurcit, la démonstration hésite, toute la connaissance devient incertaine. Et ce qui est vrai des constatations immédiates l’est plus encore des opérations et de leurs caractères : si je transporte un angle sur un autre, rien ne me garantit à la rigueur ni leur coïncidence actuelle, ni que le premier soit demeuré égal à lui-même dans le déplacement. Mais je puis sans ambiguité associer terme à terme les éléments des deux ensembles, faire sortir une quantité d’un radical, changer des limites d’intégration, ou simplement multiplier l’une par l’autre deux équations, à moins qu’une infinité de termes ne nous entraîne à discuter des questions de limites et de convergence. Mais cette différence de certitude, si importante par ses conséquences, est celle même qui existe entre la mesure d’une aire lue sur un planimètre et la valeur d’un produit donné par une machine à calculer. C’est qu’en effet, aux yeux .du logicien, une démonstration n’est rien que le mouvement d’un mécanisme régulier, dont chaque rouage apparaît clairement.

On voit par là pourquoi nous rejetons partiellement la thèse que M. Goblot a défendue, touchant la démonstration géométrique, tout en accordant le principe d’une certitude rigoureuse construite matériellement : c’est justement parce qu’il l’applique au domaine des figures continues de la géométrie. Et d’autre part, nous ne saurions accepter la collaboration essentielle de l’opération intuitive et du syllogisme, qui affirme à chaque instant la légitimité et l’exactitude de celle-là. Nous chercherions plutôt des analogies chez Rignano (1), ou chez un auteur moins souvent cité, Delbœuf (2), ou encore chez Louis Rougier (3). Les figures continues de la géométrie ne peuvent être un élément réel de la démonstration, d’abord parce que leurs propriétés métriques sont imprécises, ensuite parce que nous ne savons jamais si une figure particulière peut être prise pour type de toutes les figures du même nom. C’est en effet une règle utile de ne pas choisir de signes qui puissent présénter les déterminations individuelles des choses signifiées. Les figures ne peuvent être qu’une illustration, comme les ellipsoïdes illustrent les théorèmes généraux sur les quadriques. En fait, dès qu’une démonstration est parfaite, elles cessent d’être nécessaires, bien qu’elles éclairent souvent un esprit que la démonstration a seulement convaincu. Le « Formulaire » de Peano, les « Fondements » de Hilbert, les ouvrages de géométrie moderne où les propriétés des figures réelles sont démontrées en même temps que celles des figures imaginaires, en sont une preuve irréfutable. Et sans doute nul ne peut empêcher un auteur de trouver satisfaisantes les démonstrations mixtes, mais c’est un fait que certains

(1) Psychologie du raisonnement.

(2) Prolégomènes à la géométrie, en particulier pp. 78 et 79. (2) Revue de métaphysique, 1916, pp. 808-899.