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esprits les jugent insuffisantes, et plus persuasives que vraiment probantes. De telles théories sont presque irréfutables dialectiquement, et ne périssent que faute d'usage.

Mais on voit ce qui nous sépare de J. Nicod ou de L. Rougier : c’est que nous acceptons désormais entièrement l’idée d’une preuve apodictique en tant qu'intuitive, tout en refusant de l’appliquer aux objets de la géométrie classique, c’est que nous identifions au fond certitude physique et certitude logique, dans la mesure où celle-ci n’est pas purement conventionnelle. Quant à savoir pourquoi les certitudes expérimentales sont si différentes les unes des autres, pourquoi l'esprit apprécie exactement l'identité des formes topologiques et non celle des grandeurs métriques, ceci est un problème différent, et sans doute insoluble. Il faut prendre ce fait comme donné, ainsi que le sentiment d’opérer correctement suivant une loi, dont nous avons parlé plus haut. Mais ce sont là des « irrationnels » précis, communs à toute notre expérience des phénomènes, tandis que parler de l’activité synthétique de l’esprit dans les mathématiques n’exprime ni une solution, ni même un problème.

SET: __ Conditions physiques requises pour que soit possible une pensée logique.

Quelles circonstances physiques sont maintenant impliquées par l'expérience logique? Les mêmes au fond que celles que requiert une expérience physique en général, lorsqu'elle en est encore à la forme qualitative.

C’est tout d’abord une structure discontinue, des groupements solides d'éléments sensibles : même décidés à percevoir des unités sensibles, nous serions fort en peine de le faire si la nature ne s’y prêtait pas; dans le chaos matériel, la pensée serait perdue, comme la chimie serait impossible si des corps purs ne pouvaient être isolés. Il faut ensuite que nous puissions déplacer et associer nos signes. L’homme n’est logicien que parce qu’il a la main et la voix; il faut que l’espace nous donne un soutien où nous puissions disposer nos algorithmes; que les signes restent reconnaissables dans leurs mouvements, qu’ils puissent être déformés, mais non rompus. Ce fait est réalisé dans notre monde; nos déformations respectent le principe de continuité et sont même souvent insensibles.

Enfin l’expérience seule nous apprend que les combinaisons d’un nombre de signes restreint donnent lieu à des développement indéfinis et permettent de définir des propriétés très nombreuses. Elle nous apprend aussi que ces développements sont uniformes et cohérents, c’est-à-dire que nous pouvons choisir nos éléments primitifs de manière à ne construire jamais deux formules contradictoires, et qu’ils sont indifférents aux circonstances spatiales et temporelles. Si la géométrie, suivant certains, nous dépeint les propriétés des solides, nous pouvons dire tout au moins que toute connaissance logique est liée à leur existence.

Mais suis-je sûr que, dans tout univers donnant lieu à une logique, celle-ci sera uniforme; que les mêmes déductions mèneront toujours

aux mêmes évidences? Que m’apprennent à cet égard le principe de continuité et le principe de raison suffisante? ;

Dans les expériences ordinaires de la physique, nous sommes bien sûrs de ne jamais les trouver en défaut, parce que la moindre d’entre elles met en jeu des conditions si complexes que nous pourrons toujours feindre que l’une d’elles ait varié et sauver ainsi le caractère rationnel de l’univers; et la nature pourrait être foncièrement incohérente que nous lui referions encore, à grand renfort d’hypothèses, un être rationnel. La séparation toujours incertaine et imparfaite du physique et du logique sauve, par décision, l’univers du second. Même, à la rigueur, nous renoncerons à l’homogénéité classique de l’espace et du temps : ils c&seront d’être amorphes; mais leur action respectera au moins le principe de continuité. Si la même circonférence change de longueur entre deux mesures, l’invraisemblance n’ira pas jusqu’à l’absurdité. Mais si le malin génie de Descartes veut me décevoir en bouleversant les phénomènes, encore doit-il suivre les lois fondamentales de ma représentation. C’est pour ce motif que la logique et les mathématiques abstraites ont un sort privilégié. Que la somme des angles d’un quadrilatère varie d’un jour à l’autre, voilà qui me surprend; mais qu'un ensemble d’objets ait pour nombre 12 aujourd’hui, et 11 demain, voilà le scandale de la raison : ou bien le malin génie en a volé un, ou bien ce n’est plus le même ensemble. Qu’une machine à calcul donne successivement, comme produit de 7x9, 63 et 62, c’est qu’elle s’est déréglée, et nous devons pouvoir le constater par ailleurs; si demain la table de Pythagore n’était plus valable, ce serait là un miracle, que les hypothèses les plus compliquées ne sauraient rendre naturel. C’est parce que les phénomènes logiques sont les plus décharnés, les plus schématiques, les plus discontinus qu’ils pourraient mettre en lumière d’une manière irréfutable la nature irrationnelle de l’expérience. Aussi bien cet accident est-il intolérable à notre pensée (1).

Ajoutons qu’une telle violation du principe de raison suffisante ne serait pas dirigée, et que la théorie déductive ainsi altérée deviendrait incohérente. Un 8 deviendrait tantôt un 7 et tantôt un 9, si bien que notre science serait non pas fausse, mais extravagante. Or, si je suppose un raisonnement encore possible, je conserve par hypothèse les lignes essentielles de l’expérience. On demande si le méthane admettra demain les mêmes dérivés chlorés qu'aujourd'hui. Ceci suppose qu’il existera du méthane, du chlore, et des circonstances appropriées aux réactions, conditions qui sont maintenues par des lois universelles; pourquoi seraient-elles en défaut juste sur un pôint? De même, à moins que Dieu ne veuille nous confondre justement dans nos raisonnements, si une logique est possible, elle restera uniforme. Mais qui nous assure qu’une logique restera possible?

Tout d’abord, en quel sens deviendrait-elle impossible? Veut-on dire qu'un esprit apte à discerner la valeur de lexpérience logique ou mathématique, après lavoir construite, pourrait ne trouver un jour dans le monde matériel aucune stabilité, aucun signe durable, aucune

(1) Y a-t-il dans ces exigences de la raison autre chose qu’une coutume de notre imagination, et n’arriverions-nous pas à concevoir une action de ce genre, due à un malin génie, à l’échelle quantique des phénomènes, ceci est un autre problème.

opération uniforme, si bien qu’en ce chaos, toute pensée ordonnée serait enfin détruite ? Il se peut faire. S'il est vrai que « l’homme est intelligent parce qu'il a la main », il raisonne, pouvons-nous dire, parce qu’il existe des corps rigides, des substitutions définies, parce que le monde est organisé spatialement et les choses spécifiées. Toute construction abstraite, toute dialectique deviendraient impossibles dans un monde où toutes les images se confondraient, où par l’altération des contours et des couleurs, la pensée ne saurait s’accrocher à des signes. Ce désordre devrait être radical, et confondre même les images sonores et tactiles : fiction confuse, monde irreprésentable, où notre mémoire même devrait être abolie, et jusqu’au discours intérieur, où vraiment les âmes n’auraient plus de prise. |

Mais ne resterait-elle pas, de toute manière, possible idéalement, en elle-même? La difficulté vient de l’idée d’une logique en soi. Si la race des hommes mourait, le monde resterait-il logique? Sans doute, un livre demeure, même s’il n’est point ouvert, et les raisonnements qu’il enferme sont en eux-mêmes vrais ou faux. Mais s’il ne pouvait plus y avoir de lecteurs? En vérité je ne puis imaginer le monde, en dehors d’une conscience de forme humaine; le monde matériel n’est rien, si nulle âme n’est donnée, ou bien c’est un x inintelligible, un simple mot.

A la vérité, nous entendons plutôt que le monde, privé d’âmes particulières, et désordonné, conserverait un ordre rationnel implicite, parce qu’il ne serait devenu ce qu’il est que suivant une loi physique. C’est que nous le concevons au fond comme créé, que nous imaginons d’une certaine manière le Créateur et sa pensée, d’ailleurs à l’image du monde actuel et de notre pensée. Or, si Dieu est logique une fois, il l’est éternellement ; ainsi de ses œuvres : les modes passent et les attributs sont éternels. Mais nous sommes ici en pleine allégorie. Reste le fait psychologique : plus je varierai les mouvements, plus l’idée d'espace et celle de mouvement resteront uniformes : plus j’imaginerai de déformations réelles, et plus je les rapporterai implicitement à des mètres indéformables. Et supposant des esprits séparés, des corps distincts, ne conservé-je pas au monde malgré moi les éléments d’une expérience logique”?

Ainsi la connaissance logique, sans être liée à un esprit particulier, ni à telle sorte d’algorithme matériel, suppose cependant, unies d’une manière inséparable, une certaine structure mentale de l’homme, une certaine structure physique du monde.

S 8. —— Comment la pensée logique et mathématique

peut-elle être féconde ?

Nous avons décrit dans les pages précédentes le phénomène de la pensée logique, en faisant abstraction de toute ontologie métaphysique touchant l’objet ou le sujet. Une telle recherche est-elle cependant absurde ?

A l’ontologie de l’objet correspondent les diverses thèses du réalisme mathématique, qui sont fondées d’ordinaire sur deux arguments complémentaires. L’un est tiré de l’ordre admirable qui nous est révélé dans le

règne innombrable des êtres mathématiques, dans cette finalité qui fait des divers théorèmes et des diverses théories les pierres d’un édifice régulier, qui groupe et subordonne les entités comme un organisme vivant associe les cellules qui le composent. L'autre s’appuie sur la manière dont nous prenons connaissance de ce règne, par fragments, saisissant des implications particulières, découvrant brin par brin des objets nouveaux, des propriétés imprévues, sans jamais pouvoir fixer l’ordre des -découvertes nouvelles. C’est de ce double sentiment qu'est née la réaction contre le synthétisme nominaliste.

Les liens les plus forts, les affinités les plus profondes ne paraissent qu'après coup; ainsi le découvreur d’une terre nouvelle connaît d’abord des côtes et des îles dispersées, et n’aperçoit qu’ensuite la figure et l'unité du continent, lorsqu'il a pénétré plus profondément et s’est élevé plus haut. L'esprit ne dispose pas des faits mathématiques, ni de leur ordre. Il n’est pas libre de faire la vérité mathématique, ni même d’en limiter arbitrairement le domaine. Or, en ne retenant pour objet de la connaissance abstraite que des systèmes d’images matérielles, des modèles mécaniques d’un type particulier, n’avons-nous pas méconnu ce caractère si frappant et si général des mathématiques ?. L’argument est au fond celui de tous les finalistes : les éléments n’expliquent point le cosmos, notre théorie rend raison des vérités partielles et de leur démonstration, non de leur accord; de même que les propriétés des atomes ne rendent pas compte du corps vivant.

L'autre ontologie porte sur l’esprit. Au fond de l’expérience mathématique, il n’y a rien de plus, dira-t-on, que l’activité régulière de la pensée. C’est elle qu’il s’agit d’apercevoir dans sa puissance créatrice, et trouvant dans le monde de la connaissance logique l’œuvre de son industrie, au lieu de décrire par allusions contradictoires un univers tout fait d’idées et d’entités abstraites. Or, n’avons-nous pas ignoré systématiquement l’efficace propre de l’esprit, et n’avons-nous pas pris le vêtement de la certitude logique pour le corps vivant de la pensée abstraite?

Ce dernier reproche serait injuste. Tout au contraire nous mettrons bientôt en lumière la double démarche de l’esprit, sans laquelle l’univers ne propose aucune connaissance, par laquelle l’homme invente l’expérience, et la comprend. Avant d’adhérer, il lui faut connaître; avant de connaître, il lui faut avoir construit sa vérité, ce qui n’a point lieu au hasard. Nous disons seulement que la pensée de l’homme ne s'aperçoit que matérialisée, comme partie de la nature; que ses lois doivent revêtir, pour être connues, une apparence sensible; et qu’ainsi l’âme ne se connaît elle-même que comme une créature étrangère.

Mais les deux ontologies négligent chacune une partie de la difficulté, et se réfutent respectivement. Le réalisme des immatériels est une solution héroïque; seulement, elle n’est ni très forte, ni très claire. Le fait initial, c’est que les idées résistent : je ne dispose ni de leur vérité, ni de leur ordre. Et c’est un sentiment à peu près clair, mais conclure à la passivité de l’esprit, qui découvre plutôt qu’il n’invente, est peut-être excessif : quelques mathématiciens, et beaucoup de philosophes ont abusé de cette idée. Que si l’on parle d’une expérience idéale, d’un monde de créatures intelligibles, on indique plutôt un mystère qu’une pensée réelle. Que peut bien être un univers de figures et de fonctions, où peut-

il être? Que signifie le mot découvrir ‘dès qu'on ne l’applique pas aux objets sensibles? Et pourquoi cette découverte est-elle progressive et irrégulière? Est-ce parce qu’elle a lieu à l’occasion de la vie matérielle, et parce que nous ne posons pas les questions qu'il faut? D’autre part Platon concevait assez clairement la génération des êtres mathémaliques à partir de l’un et de la dyade et se représentait leur ordre. Seulement nous sommes beaucoup moins avancés à cet égard, et la classification naturelle des êtres mathématiques est fort artificielle. Qui peut dire quelles sont les fonctions les plus générales, ou dans un domaine plus étroit, comment il faut classer les courbes ?

Quant à ceux qui mettent en avant la puissance créatrice de l’esprit, peut-être masquent-ils par une vérité trop générale, les difficultés vraies de la question. Certes, ils refusent avec raison de réduire la vie de l’âme à la contemplation passive d’un univers tout fait. Dans l’ordre du raisonnement, ils rendent à l’esprit la même efficace, la même réalité primitive, essentielle, que rend à la durée M. Bergson. Seulement, ne nous voici guère avancés, et le recours à l’activité de l’esprit ne résout pas plus le problème du réalisme logique et mathématique que l’intervention de la durée ne nous explique la liberté humaine. Le problème est de savoir en quel sens cette activité crée son objet, et nous disons simplement qu’elle ne le crée pas plus que le musicien ne crée les sons ou l’architecte les pierres, car elle ne porte pas sur des idées, opposées aux choses matérielles. Il n’y a qu’un ordre de connaissance,

qui est la nature; qu’un seul type d’activité, qui est d’assembler et d’ordonner les expériences; qu’un seul type d’évidence qui est l’évidence sensible. Sans doute, nous ne prétendons expliquer par là, ni la nature profonde de l'esprit, ni la manière dont Dieu est géomètre; il nous suffit d’avoir quelque peu unifié deux problèmes.

On a d’ailleurs un peu exagéré ce qu’il y a de singulier et d’imprévisible dans les découvertes mathématiques. Sans doute, nous sommes parfois émerveillés, émus, inquiets même devant les liens incompréhensibles qui unissent les nombres, les figures et leurs propriétés. Nous croyons entrer dans une sorte de forêt, faite d'arbres inconnus, où des sentiers et des chemins apparaissent de temps en temps, silencieuse et si vaste, que nous nous demandons avec étonnement, et une sorte de douleur : quel est le sens de tout ceci, quel est le maître de ce royaume, et arriverons-nous jamais jusqu’à sa demeure? Ces sentiments ont quelque chose de religieux, et c’est par eux que les mathématiques semblent parfois l’image d’un monde inconnu et idéal. Mais, chose étrange, ce sont les remarques les plus élémentaires qui les évoquent le plus souvent et le plus fortement; ces harmonies, ces propriétés curieuses se manifestent surtout dans la description superficielle des faits mathématiques; elles ne sont jamais aussi frappantes que dans les recueils de propriétés empiriques des nombres ou des figures. Peu à peu, nous arrivons à les classer, à les ordonner, à les rattacher à des caractères généraux. Elles nous deviennent familières et cessent de nous émouvoir. À chaque moment du progrès des mathématiques correspond d’ailleurs une floraison de données inexplicables et troublantes, auxquelles nous cherchons

inconsciemment une raison. Mais, plus l’accent se déplace des faits aux démonstrations, moins les mathématiques inclinent au réalisme mystique : la topologie abstraite s’y prête, semble-t-il, médiocrement. Quoi qu’il en soit, l’émerveillement qui peut en résulter n’est pas d’une autre nature que celui des musiciens, voyant l’infinie variété des rythmes et des harmonies qui résulte d’un petit nombre de sons fondamentaux, ou que celui des architectes devant le nombre immense des formes qui dérivent de quelques éléments, et nous ne devons pas lui attribuer une plus grande portée métaphysique.

Si nous admettions, en effet, que la pensée mathématique procède par composition d'idées claires, intuitivement connues, nous serions peutêtre conduits à dire que ces combinaisons et leurs propriétés doivent pouvoir être organisées d’une façon régulière et méthodique, et que nous devrions pouvoir faire à l’avance le plan de notre science. Mais il n’est pas ici question d’idées, les mathématiques étudient des architectures de signes, comme d’autres des architectures de sons ou de pierres, et c’est le même problème qui se pose dans les trois cas.

Nous pourrons parier de la vertu propre au groupement spatial, et lui rattacher la fécondité indéfinie des constructions mathématiques. Mais ce n’est pas là une explication. En tout cas le rôle de l’espace serait ici tout différent de ce qu’ii est dans la doctrine de Kant. Il ne s’agit pas d’une connaissance de l’espace lui-même, mais de certaines images construites en lui.

Nous voyons en quel sens les mathématiques s’opposent aux autres sciences. Ii y a deux espèces de connaissances : l’une analyse la structure intérieure des phénomènes, elle les divise et les approfondit; l’autre les assemble en architectures nouvelles, elle construit, organise, prévoit des formes neuves, en des expériences qu’elle suscite. Sans doute, ces deux aspects de notre pensée ne sont pas séparés. Le physicien invente des schémas théoriques qui vont au devant de l’analyse concrète des faits, et le mathématicien peut considérer après coup les êtres qu’il a construits, et les analyser presque comme il ferait d’objets naturels. C’est la même activité qui se présente tantôt comme anatomique et tantôt comme architecturale. En quoi maintenant le logicien ou le mathématicien diffèrent-ils du physicien ou du chimiste, lorsque ceux-ci cherchent à combiner en des expériences nouvelles d'anciennes données élémentaires? C’est qu’ils expérimentent sur des algorithmes, c’est-à-dire sur des éléments inertes, invariables, ne réagissant pas les uns sur les autres, et dont le groupement seul. introduit quelque nouveauté, d’ailleurs infinie? Ainsi les mathématiques ne sont en réalité que la première des sciences de la nature; elles peuvent être dites formelles, mais en ce sens tout à fait intuitif que les objets qu’elles examinent n’interviennent que par leur forme extérieure et définie, non par leur structure intérieure et indéterminée. Ainsi la nature mathématique est dans la nature physique, la certitude logique se réduit à la certitude physique, et lorsqu’elle en diffère, ce n’est que par accident. Ainsi nous avons rétabli dans l’ordre de la connaissance intellectuelle cette unité de figure que nous avions cru déjà apercevoir dans l’ordre de Fexpérience intuitive, et nous avons détruit, au moins nous l’espérors un peu. l'illusion d’un empire de l'esprit dans l’empire des choses matérielles, nous avons, sous une autre forme réincorporé l’esprit au monde réel.

Que devient alors: ce privilège de rationalité qui a été attribué aux mathématiques depuis des siècles? Si nous les considérons intrinsèquement, il se disperse. Elles sont plus simples, plus formelles, les enchaïnements en sont plus curieux que ceux de toute autre construction, et nous pouvons, parfois, les embrasser par la pensée. Mais c’est là tout.

Sans doute nous ne pouvons réfuter directement l’idéalisme mathématique; nous ne pouvons prouver que Ce phénomène de la pensée logique n'est pas le reflet d’une pensée pure, que les constructions algorithmiques de l’esprit n’imitent pas les figures préexistantes d’un monde d'idées. Il Y aura toujours des esprits qui, poursuivis par l’idée que la vérité des propositions est antérieure, supérieure à toute démonstration, fonderont sur un réalisme platonicien cette prédestination logique. Nous dirons seulement que jamais une théorie de ce genre n’a pu être formulée d'une manière cohérente, étant incapable de délimiter les objets auxquels doit correspondre une idée; qu’elle n’a d’intérêt, d’autre part, que dans l’hypothèse d’une science absolue des mathématiques, à laquelle nos contemporains ont du renoncer au moins provisoirement.

$ 9. -— En quel sens la pensée logique et mathématique s'applique au réel et le rationalise.

Reste un point digne d’étude. Si les mathématiques n’ont pas en elles-mêmes un privilège de rationalité, comment peuvent-elles rendre rationnels les phénomènes de la nature? Un fait généralement admis aujourd’hui, à la suite des travaux des logisticiens, c’est que la correspondance d’un développement algorithmique et de l’expérience est purement symbolique. Si les phénomènes sensibles vérifient des jugements de même forme que les éléments d’un algorithme, le parallélisme doit se poursuivre indéfiniment, et les propositions démontrées pour celui-ci doivent être vraies pour ceux-là. Cette idée que la corrélation ne nous révèle rien de la nature commune aux deux ordres de phénomènes, qu’elle est purement verbale, est le thème essentiel du livre de J. Nicod « La géométrie dans le monde sensible ». Qu’on nous permette ici d'y renvoyer. Mais ce que nous voulons souligner, c’est qu’il n’y a aucune différence essentielle entre la manière dont une allégorie logique ou numérique rationalise le réel, et celle dont le fait un schéma de structure, une hypothèse figurative. Nous pouvons dire que, du point de vue épistémologique. la logique n’est que la plus simple et la plus générale des hypothèses figuratives. Ses schémas nous permettent d’ordonner nos pensées, de les conduire, et d’anticiper ainsi sur l'expérience, mais jamais ils ne nous révèlent sa nature profonde. L’approfondissement de cette expérience ne peut résulter que d’une analyse intuitive et directe, seule capable de nous éclairer, tandis que les mathématiques ne savent que nous convaincre, et c’est la seule accoutumance de cette conviction qui nous fait lui attribuer une valeur plus haute.

Mais l’applic:tion de l’abstrait au concret ne suppose-t-elle pas une démarche particulière de la raison? Il ne le semble pas; si la logique se réduit à développer le jeu conventionnel des signes, la raison se borne

à prévoir que les formules régulièrement construites se transposeront indéfiniment en vérités d'expérience. La nature concrète de celles-ci n’est aucunement déterminée, car les mêmes signes peuvent, par des conventions différentes, correspondre à des objets très différents. Le nombre abstrait, qui n’est qu’un signe algébrique, s’interprète également bien, dans l’ordre concret, comme ordinal ou comme cardinal; la même grandeur abstraite peut représenter une droite, un point ou n’importe quel objet vérifiant des jugements d’une certaine forme.

Quant à savoir s’il faut un acte proprement rationnel pour définir les objets concrets susceptibles d’être représentés par des symboles, c’est là un problème différent et bien artificiel. L’acte par lequel nous attribuons

à une collection physique un nombre concret ne nous semble pas différent, en principe, de celui par lequel nous reconnaissons la forme ou la couleur

d'un çorps quelconque. C’est une qualité sensible d’être trois, comme d’être carré, rouge ou pesant Nous ne pouvons même pas dire qu’il s’agit ici d’une perception de relation. Sans doute le dénombrement ordinal nous aide à prendre conscience de ce nombre concret; mais toute perception reflète des expériences de différents ordres, un savoir partiellement intellectuel, et comporte une sorte d’abstraction. Si nous voulons parler ici de raison, ce ne peut être qu’en un sens très général et sans intérêt.

Mais comprenons-nous foncièrement pourquoi cette représentation symbolique des phénomènes réussit, sommes-nous sûrs qu’elle doive toujours réussir ?

. Nous retrouvons ici, parfois, la même inquiétude’ qui nous touchait, quand nous nous sentions dépassés par un monde mystérieux de réalités mathématiques ; mais elle est à cértains égards, plus justifiée : ce que nous appelons comprendre n’épuise pas la nature des choses, ne nous donne pas la vraie raison, au delà de la nécessité logique. Ce sentiment apparaît surtout quand nous procédons par voie indirecte, quand nous faisonnons par l’absurde. On prouve très simplement qu’il re peut exister de polyèdres réguliers en dehors des cinq que les anciens connaïissaient; on peut rattacher cette preuve à une théorie plus générale. Pourtant, il y a toujours quelque chose d’obscur dans l’obéissance de l’espace à la logique. É . Assurément, nous nous rendons bien compte que si un raisonnement est possible sur les symboles abstraits, un raisonnement homologue doit pouvoir être établi directement sur les grandeurs concrètes, et c’est le sentiment de ce parallélisme virtuel et comme à notre discrétion qui fonde notre confiance. Nous voyons clairement. que si, à un moment donné, le résultat d'opérations de même nom ne donnait pas des résultats de même nom, nous pourrions. toujours, nous devrions dire ou bien que les conventions initiales étaient illégitimes, ou bien que dans le phénomène concret, un élément caché est intervenu. Cette dernière hypothèse tombe lorsqu'il s’agit de la correspondance entre deux algo-. itunes où la simplicité des objets exclut l’idée de causes subreptices, et cest pourquoi nous sommes beaucoup plus sûrs de la correspondance entre la géométrie et l’algèbre que de celle entre les phénomènes physiques et la géométrie; mais dans les deux cas, nous sentons bien que le fondement métaphysique de la corrélation nous échappe.

$ 10. — Comment se présentent, dans une telle théorie, les problèmes classiques relatifs à la définition.

Par les remarques précédentes, nous avons essayé de montrer ce qu'est la pensée logique et mathématique, dans quelle mesure elle est liée à l’espace, en quel sens elle porte sur des objets rationnels et peut rendre rationnelle l’expérience physique, enfin pourquoi il ne peut y avoir de géométrie pure en tant qu’intuitive, et pourquoi toute théorie mathématique rigoureuse est nécessairement algébrique, ce mot étant pris au sens le plus large. Elles systématisent des pensées dont certaines dérivent de la philosophie logistique ; elles les insèrent dans le cadre d’une loi très générale de ce que nous pouvons appeler la phénoménologie de la connaissance : unité foncière de toute expérience sensible ou intellectuelle, et l’on peut dire qu’elles procèdent d’un nominalisme radical. Nous voudrions montrer maintenant comment elles s’appliquent à des problèmes classiques et importants de la logique.

Nous savons quelle est la nature des termes primitifs d’une théorie déductive pure. Mais à chaque instant, nous raisonnons sur des termes définis au moyen des précédents. Qu'est-ce donc que JÉTRIF: et quelles sont les lois d’une définition correcte ?

Dans l’usage courant, nous employons deux sortes fe définitions : les unes nous permettent simplement de reconnaître des objets dont la nature nous est connue par ailleurs, elles nous les désignent. Un caractère insignifiant, mais individuel est, à cet égard, plus précieux d'ordinaire qu’un caractère profond, mais plus général ; les autres nous font au contraire connaître les objets, elles nous en, décrivent la compréheñsion, ou du moins nous permettent de la déterminer indirectement. Nous pouvons donc distinguer en gros les définitions de désignation et les définitions explicatives. Cette distinction correspond à la rigueur à celle des définitions de noms et des définitions de choses, que d’Alembert a si vivement critiqué, mais peut-être à tort. Notons en tout cas qu'entre une définition de pure désignation et une définition complètement explicative, toutes les transitions existent.

Pour un platonicien orthodoxe, une définition mathématique semble pouvoir être du premier type : l’idée existe objectivement en nous, l’essentiel est de la désigner, de la reconnaître. Ensuite, par intuitions successives et ordonnées, nous en déterminerons les caractères intérieurs. I1 en est de même pour un disciple de Kant : l’acte par lequel nous délimitons les figures dans l’espace nous livre quelque chose de nouveau; elles dépassent évidemment le mouvement par lequel, suivant M. Liard, nous les engendrons. C’est pourquoi les vérités mathématiques sont synthétiques.

Faut-il dire que, pour un logicien, toute définition doit être de la seconde espèce ? Mais nous devons ici en distinguer deux formes.

Les définitions « par postulats » introduisent des termes indéfinissables, et en spécifient les règles d'emploi dans leur rapport avec les précédents. Ces termes peuvent être des objets, des relations, des opérations.

Les définitions « par spécification » ne peuvent introduire aucun objet de type nouveau; elles caractérisent un certain nombre d’éléments

de type ancien, au moyen de conditions elles-mêmes définies par spécification. Elles peuvent spécifier un terme individuel ou une classe de termes; dans les deux cas, les procédés mis en œuvre sont les mêmes; souvent d’ailleurs une classe se réduit subrepticement à un seul terme; elle peut même s’annuler. En tout cas, une telle classe doit être prise distributivement, c’est-à-dire que ses propriétés doivent se résoudre en propriétés portant sur un quelconque de ses membres.

Quand une définition de ce genre est simple et implique évidemment l'existence du défini, on la nomme souvent constructive. Il nous arrivera même, par la suite, d'employer ce terme au sens large de définition par spécification, afin de ménager l’usage ancien.

Ces deux sortes de définitions sont les seules qui introduisent des objets réels. À

Il semble parfois qu’il existe une autre espèce encore : celles-ci ont l'air d'introduire des termes d’un type nouveau, et pourtant elles n’énoncent pas de postulats. En réalité, elles sont purement nominales; ce sont des manières de parler qui renvoient à des relations, à des objets très différents de ceux auxquels les mots nous font penser. Les propriétés attribuées aux entités ainsi définies désignent des propriétés de termes et d'opérations beaucoup plus complexes, définis d’ailleurs normalement, c’est-à-dire par postulats ou par spécification. C’est ainsi que dans un système où les nombres irrationnels n’ont pas été introduits par postulats, nous pouvons légitimement employer le symbole \® pourvu que nous entendions que les opérations sur +» désignent en

réalité des opérations effectuées sur la classe des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2. Les théorèmes simples concernant le signe V9 se résoudront en théorèmes complexes sur les nombres de lx

classe précédente. En réalité, il n’y a là qu’un ensemble de définitions du type normal, complété par une dénomination d’un type anormal. Le procédé est très fréquent; il a d’ailleurs l'inconvénient de laisser croire que l’on a défini constructivement une notion d’un type nouveau, alors qu’on a, simplement introduit une manière de parler qui fait illusion. C’est ainsi que l’espace réglé n’est pas un espace d’un type différent de l’espace ordinaire, mais un espace où l’on raisonne en coordonnées de droites. On peut dire que de telles définitions ont lieu par abstraction, et que les propriétés correspondantes sont abstractives.

S 11. — Des problèmes propres aux définitions par « spécification ».

| Nous n’en considérons ici qu’un seul : à quelle condition un objet est-il vraiment spécifié? Pour que ceci ait un sens, il faut qu’il soit d’un type déjà connu : si nous ne nous donnons que le corps des nombres rationnels, l’expression 9, ou si l’on préfère l’équation x° — 2, ne définit rien du tout, puisque x ne peut être rationnel. Si x — 0, la dérivée

: 1 ni de x sin { — | n’est pas définie.

La plupart des difficultés proviennent de l'intervention d’un nombre infini d’éléments dans la définition : une somme finie de nombres donne

un nombre de même espèce; si elle est infinie, nous ne pouvons plus prendre parti. On peut, semble-t-il, admettre qu’un objet n’est réellement défini que s’il est déterminé par un nombre fini d’opérations de type ancien, De même, une propriété abstractive n’est définie que si elle renvoie à des propriétés d'individus définissables eux-mêmes par un nombre fini d'opérations. Il en est des définitions qui font appel à l'infini actuel comme de celles qui font appel à l'intuition sensible du continu : elles réservent des mécomptes.

Assurément, en bien des cas, nous croyons voir clairement qu’une série définit une limite, en particulier quand cette limite est d’un type déjà connu. Mais il n’y a là qu’un procédé intuitif qui peut concorder avec une définition authentique, mais qui ne porte en lui même sa justi-

fication logique. La série A (fr) + .. ae nous définit pas plus

» . î ne 2, A . PR

réellement la fraction RU la série È (— 1)" ; de même l’image géo

métrique de la diagonale d’un carré ne définit pas arithmétiquement

le nombre |», ou la pente d’une courbe sa dérivée : elles nous inclinent

seulement à en postuler l'existence.

La chose est plus claire encore s’il s’agit de définir un ensemble dont le nombre de dimensions soit inférieur à 1, comme le fait par exemple M. Hausdorff, lorsqu'il retranche du milieu d’un segment donné un segment de longueur inférieure, et qu’il répète indéfiniment la construction homothétique pour les segments restants. Il peut être commode d'admettre que les points restants, après une infinité d’opérations,

log 2 og : IE:

(À étant le rapport du segment enlevé primitivement et du segment initial); mais nous n’avons pas là une définition vraiment constructive.

Une remarque analogue peut être formulée touchant la définition des nombres transfinis suivant la méthode célèbre de G. Cantor, ce qui n'empêche aucunement de les définir par postulats : nous risquons seulement, comme l’a observé M. Borel, de bâtir une axiomatique des transfinis qui ne fera pas plus allusion, au fond, à leur nature de transfinis que la géométrie de Hilbert à celle des droites ou des points. C’est ce que lon exprime parfois, d’une manière qui prête à critique, en disant que nous n’en avons pas d'idée. (Il faut sous-entendre évidemment par rapport aux nombres ordinaires.)

Le problème important posé par ces nombres est d’ailleurs différent : il s’agit de savoir s’il est légitime de les faire intervenir, ainsi que les axiomes les concernant (comme celui de Zermelo) dans des raisonnements sur des données du type courant, de telle manière qu’ils s’éliminent en fin de compte du résultat, comme il arrive que nous introduisions provisoirement des variables complexes dans un problème sur les nombres réels. Mais dans ce dernier cas, nous savons formellement qu’il nous aurait été possible de transcrire notre raisonnement en un langage ne faisant intervenir que des opérations sur les nombres réels. Il. n’en est pas de même dans le cas des nombres transfinis. Le problème est d’ailleurs double; en effet, nous pouvons entendre, ou bien que l’em-

forment un ensemble dont le nombre de dimensions est w —

ploi des nombres transfinis ne nous mènera qu’à des résultats qui

auraient pu être établis directement en ne faisant intervenir que les

nombres ordinaires, ou bien simplement qu’il ne peut nous mener à des

résultats dont la fausseté pourrait être démontrée en ne faisant intervenir. que ces nombres. Dans le second cas, il suffit d'admettre que l’axiomatique des transfinis est compatible avec celle des nombres ordinaires.

Dans le premier, il faut admettre qu’elle est dans leur prolongement.

$ 12. — Des définitions par postulats; de la réduction des théories les unes aux autres.

Pour nous prouver la cohérence, c’est-à-dire la compatibilité d’un système d’axiomes, nous n’avons que quatre méthodes : L'une est de développer la théorie et de n’y pas rencontrer de contradiction. L'autre: est de voir clairement, par intuition, la simplicité des axiomes et leur compatibilité. La troisième est de trouver une interprétation empipirique qui justifie l’invention de telle entité. Par exemple, une interprétation physique : l’existence des diagonales justifie celle des irrationnels. Un problème de mécanique a une solution s’il correspond à un phénomène physique qui évolue d’une manière ou d’une autre. La dernière est de trouver dans un domaine abstrait considéré comme cohérent une interprétation des notions nouvelles qui en justifie les propriétés formelles. Si par une suite de définitions constructives je puis construire dans un corps éprouvé de théories, une série de notions. vérifiant les axiomes en cause, je suis sûr que ceux-ci sont compatibles directement, et qu’une théorie par postulats est légitime. Aïnsi les notions fondamentales de la géométrie non euclidienne peuvent trouver une interprétation à l’intérieur de la géométrie euclidienne, et inversement ;.donc, si l’une est cohérente, l’autre l’est également. Ainsi la cohérence des axiomes de la géométrie est garantie par l'existence d’une interprétation purement numérique. Cela est vrai de la géométrie euclidienne ou non-euclidienne, cela n’est pas moins vrai de la géométrie non-archimédienne, et des généralisations les plus singulières des théories classiques. Ainsi encore les logisticiens tâchent de donner un modèle purement logique de l’arithmétique.

Y a-t-il là une véritable réduction? Tout dépend de l'intention du théoricien. Il peut considérer les notions primitives de son système comme des indéfinissables tout à fait généraux; il peut considérer au contraire qu’elles ne désignent que des figures complexes définissables dans un domaine plus simple d’entités. Les droites et les points de la géométrie de Hilbert peuvent être regardées comme des concepts abstraits très généraux, ou comme des classes de nombres.

Quel avantage avons-nous à prendre dogmatiquement cette interprétation d’une géométrie, à la considérer comme une réduction? Uniquement celui de simplifier le corps des indéfinissables, et de le réduire au minimum. Mais est-ce chose désirable? Y at-il gain réel pour l'esprit à user avec acharnement de ce nouveau rasoir d’'Occam? Oui, si les hotions des théories auxquelles nous réduisons toutes les autres sont véritablement diaphanes pour la raison, si les principes qui les spéci-

fient sont d’une certitude privilégiée, s’ils sont a priori. Nous ne pourrons pas dire, assurément, que les notions géométriques se réduisent à des assemblages de notions logiques, mais nous pouvons dire qu’elles trouvent en celles-ci leur interprétation fondamentale, la seule qui soit profondément rationnelle, C’est bien ainsi que l’entendent tous ceux qui ont entrepris de telles réductions. Henri Poincaré admet que le géomètre se sert de l’étendue comme il se sert de craie ou de papier, et que l'interprétation analftique donne l'essence de son étude, Arrivé là, il garde pour les nombres une théorie quasi-Kantienne du jugement a priori, et refuse de réduire les mathématiques à la logique : il rejette une intuition de l'étendue pure, mais il retient une intuition du nombre pur. Kronecker, plus exigeant, ne retient pour la connaissance pure que le nombre entier. « Les nombres entiers viennent de Dieu, le reste est l’œuvre des hommes. » M. Bertrand Russell, après avoir, il y a trente ans, cherché à définir l’élément pur, a priori, de la géométrie, y a renoncé Il réduit le nombre même à la logique, mais il conserve pour celle-ci une sorte de connaissance mystique, d’intuition. Les principes de la logique lui semblent d'inspiration plus profonde et plus sûre que toute autre connaissance humaine. Nous tenterons de montrer tout à l'heure que ces principes n’ont pourtant aucune autorité, aucune excellence qui leur soit propre, et qu’ainsi la métaphysique de la réduction des théories aux plus abstraites d’entre elles n’a aucun fondement acceptable.

Quels sont donc les éléments qui doivent nous guider dans l’établissement d’une théorie déductive et de ses fondements?

Tout d’abord, ce sont des considérations tirées de l’application au sensible. La géométrie pure est faite en très grande part pour nous décrire l’expérience et nous la rendre intelligible; il est donc normal que les « unités » géométriques correspondent aux « unités » sensibles ou physiques accoutumées : points, droites. À cet égard, les schémas de correspondance indiqués par Nicod sont aussi logiques et cohérents qu’artificiels. Dans l’ordre purement logique, un point peut-être défini comme une classe de droites, mais dans l’ordre sensible, les droites sont formées de points et non inversement. Il n’en est pas des grandeurs géométriques comme de la notion d’entropie qui est réellement une abstraction, en ce sens qu’un physicien nominaliste soutiendra avec raison que les théorèmes sur l’entropie expriment la relation d’un phénomène réel avec un phénomène réversible idéal, limite de transformations réelles extrêmement lentes (nous laissons bien entendu de côté l'interprétation statistique). Or, il est raisonnable que l’ordre logique imite l’ordre sensible. |

Ce sont ensuite des considérations tirées de l’esthétique interne des théories, et de leur développement naturel. De même que les démonstrations les plus brèves ne sont pas nécessairement les plus satisfaisantes et les plus suggestives, ainsi l’exposé le plus heureux des fondements d’une géométrie n’est pas nécessairement le plus réduit. Il est vrai qu’une profusion inutile d’entités, encombre, mais une profusion sage enrichit; et l’élégance, à côté du dépouillement, implique des qualités de symétrie, d'harmonie, d’équilibre, celles mêmes qui justifient en architectures jusqu'aux fausses fenêtres. De même que Leibniz jugeait arbitrairement de la perfection du monde avec son principe de moindre

dépense, ainsi les logiciens semblent parfois épris d’une esthétique harpagonnienne, qui nous surprend. Il convient au contraire, semble-t-il, que le mathématicien généralise le plus possible ses notions, et prépare l’affranchissement des théories capables de vivre d’une existence autonome. À cet égard, interpréter la théorie des fonctions d’une variable complexe par celle des fonctions d’une variable réelle évite, si l’on veut, l'introduction d’une entité nouvelle, mais ne sert pas les intérêts de la raison. D'autre part, l’ordre le plus parfait d’une théorie est celui qui favorise l'intelligence de son développement, qui nous la présente comme une chose vivante. Il ne faut séparer l’ordre d’exposition de l’ordre de création que si:cela est nécessaire. En effet, nulle pensée ne se ferme sur elle-même, nulle théorie ne trouve en elle-même tout son sens; et l’ordre vrai d’un système d’entités est celui qui résume et qui suggère le plus d’interprétations possibles, c’est partiellement un ordre de finalité.

Restent les considérations proprement rationnelles; mais nous disons qu’il n’en existe pas, car il n’y a pas parmi les techniques du raisonnement, de domaine privilégié où ia raison transcendante intervienne et justifie tel ou tel principe.

$ 13. — Logique et a priori. Nécessité propre aux lois logiques.

Nous voulons en effet revenir sur un point particulièrement important : parmi les théories déductives, y en a-t-il qui soient privilégiées en raison, dont les principes soient a priori? Nous nous proposons de montrer combien est radicale l’indétermination de ces théories en égard à la raison, et l’on devine que cette conclusion aura une grande importance touchant la structure de notre concept mathématique et physique de l’espace.

Ceux qui défendent l'existence de principes à priori en mathéma-

tiques ne leur attribuent parfois qu’une nécessité d’ordre un peu inférieur à celle des principes de la logique, mais jamais ils ne leur prêtent une nécessité plus sûre et plus profonde. D’autre part, beaucoup d’auteurs admettent que tous les principes proprement mathématiques peuvent être révoqués en doute, et qu’il n’y a pas de différence réelle entre postulats et axiomes. (L’expérience nous a montré d’ailleurs que des principes en apparence beaucoup plus évidents que le postulat d’Euclide pouvaient être niés. Il existe une géométrie non-archimédienne, et le champ des généralisations possibles est indéfini). Pourtant, les principes logiques semblent inchangeables, comme s’ils étaient le type même de la nécessité et de l’évidence rationnelles, en un mot de l’a priori. Que faut-il en penser ?

. La notion d’à priori peut être étudiée de trois points de vue assez différents, qui correspondent aux rôles que peut jouer le discours. Tout jugement peut être considéré soit comme une expression faite de signes d’un type connu, assemblés en des formes familières, soit comme la traduction d’une pensée ou d’une expérience effectives, en général communicables et contrôlées par l’assentiment des autres hommes, soit enfin comme allusion à une pensée d’un ordre plus haut, douée d’une valeur

PRO EEE

absolue. En d’autres termes, il a un sens purement logique (ses lois d'emploi formel), un sens empirique, et enfin, sous une forme plus où moins pâle, il est l'indication au moins implicite. d’un sens que nous appellerons dogmatique, et que nous nommerions volontiers théologique, indiquant par ce mot:que toute conception de ce genre équivaut, à tort où à raison, à celle d’une conscience objective et idéale. De même la notion de vérité a trois aspects : une vérité d'usage logique, une vérité d'interprétation empirique, une vérité de préfiguration ontologique. La seconde est la seule que les pragmatistes considèrent, sous ses mille formes. La dernière est la seule qui mérite le nom de: vérité aux yeux d’un réaliste et plus généralement d’un dogmatique. se

Il y à d’ailleurs deux sortes de principes logiques. Les uns sont normatifs, ils nous imposent des manières d’associer les symboles et les expressions, et ils peuvent toujours être posés par convention. Les autres expriment plutôt des prédictions et des espérances, et leur acceptation entraine un risque logique, un acte de foi. Les premiers sont au fond des conventions de langage comme le principe de contradiction ou celui de syllogisme, les seconds anticipent sur le succès de la logique : de même que certains érigent en, loi de l’esprit leur désir, leur volonté d’exprimer par des équations tous les phénomènes naturels, ainsi l’on peut affirmer la cohérence des principes du raisonnement et leur développement illimité, privé de toute contradiction. Que la logique soit intrinsèquement solide, qu’elle puisse exprimer les faits naturels, cela ne peut être prouvé, mais seulement admis.

Examinons les principes du premier genre.

Voici le principe d'identité : que signifie-t-il? Algébriquement (1), simplement ceci : une expression garde la même valeur d’un bout à lautre d’un raisonnement. Ne disons pas qu’elle représente la même chose, ce qui n’aurait de sens que par allusion à une certaine interprétation empirique. C’est une règle d’emploi des signes. Nous pouvons écrire à tout moment, et en tout passage, ce que nous avons écrit une fois, et en une circonstance particulière. En particulier, si une proposition est vraie une fois, elle le sera toujours; entendez que si j'écris æ = V, je l’écrirai chaque fois qu’il me plaira. Un tel DHTeiRe ne peut se formuler symboliquement à proprement parler : car, si j'écris a = a, d’une part, cela ne peut vouloir dire, suivant l’usage ordinaire du signe =, a peut être substitué à lui-même, ce qui ne nous apprendrait rien. D'autre part, il faut déjà admettre le principe d’identité pour pouvoir écrire non pas une fois, mais chaque fois que nous en avons besoin, la formule en question a = a.

Quel est maintenant le sens psychologique, empirique de cette expression? (nous prenons ici empirique au sens large, en ÿ comprenant l’accord des hommes sur une formule quelconque, quelle qu’en soit la raison). Ce peut être une règle d'emploi du langage : le même mot doit désigner la même chose pour chacun de nous (à travers le temps) et pour tous les hommes. Ce peut être l’affirmation qu’effectivement, il est possible de trouver un langage satisfaisant à ces conditions. Ce peut être l'affirmation qu’il est possible de spécifier d’une façon assez exacte les circonstances

(1) Au sens le plus général du terme.

d’un phénomène pour que le jugement correspondant soit admis en fait en tout temps et en tout lieu; en d’autres termes, de faire passer à Pintérieur du jugement toutes les restrictions qui pourraient en changer la valeur de vérité expérimentale.

Quant au sens ontologique, il faut entendre sans doute que si l’on admet l’existence de propositions absolument vraies, elles sont en dehors de l’espace et du temps et que l’univers du vrai et du faux est déterminé d’une manière parfaite et définitive. |

Prenons maintenant le principe de non-contradiction. Algébriquement, c’est la règle d’emploi de la négation, ou, si l’on préfère, des signes V et A. Nous convenons de ne pas écrire ‘à la fois x = V et x = À. Si nous sommes amenés à l’écrire, par déduction, c’est que notre univers du discours est incohérent, c’est qu’il y a une contradiction dans les principes eux-mêmes.

Psychologiquement et physiquement, nous voulons dire que des expressions contradictoires ne peuvent être employées simultanément dans lé discours, sous peine de ne pouvoir nous entendre avec nos semblables. et avec nous-mêmes. Nous pouvons entendre également ceci : lorsque nous caractérisons deux apparences par des formules contradictoires, il ne peut exister de phénomène qui nous oblige à lui attribuer à la fois ces deux apparences. Ï1 y a là d’ailleurs un élément qui dépend de notre décision, car nous pouvons après coup, de cette coexistence même, conclure que les apparences n’étaient pas réellement contradictoires.

Dogmatiquement enfin, que voulons-nous dire? Sans doute ceci : dans la mesure où nous imaginons un esprit souverainement instruit et intelligent, les propositions fausses ne peuvent être données en lui, il ne peut admettre des pensées contradictoires.

Nous pourrions appliquer une analyse du même genre à tous les principes qui figurent au début de l’algèbre de la logique et qui, sous une forme intuitive, sont les articulations mêmes de nos raisonnements. Formellement, ce sont des règles d’opérations symboliques. Matériellement, ils correspondent à des faits physiques ou psychologiques d’autant d’espèces qu’il y a d’interprétations possibles. Dogmatiquement, ils sont la transfiguration quasi-théologique des règles de la logique humaine, ils définissent un univers du discours idéal, auquel l'esprit se réfère naturellement, encore que dans chaque cas particulier il doive s’attacher à un univers plus proprement humain, à une définition plus précise et pragmatique de la vérité.

En quel sens pourrons-nous parler désormais d’a priori? Du point de vue strictement formel, les principes logiques’ sont de simples conventions, comme celles du jeu d’échecs. Il y a des conventions contradictoires, que nous excluons parce que l’expérience prouve que le « jeu » n’est plus déterminé. Il y en a de stériles ou de superflues. Mais la raison n'intervient pas ici. Tiendrons-nous compte de l'interprétation physique des formules logiques? Alors, les lois correspondantes sont dés inductions, c’est-à-dire, non pas des vérités tirées de l’expériences par simple prolongement, mais des hypothèses allant au-devant des faits physiques, et des habitudes collectives de langage. Rien n’est moins évident souvent qu’un syllogisme abstrait, portant sur des variables indéterminées. Pour en apprécier la légitimité, nous l’appliquons à des exemples concrets où la conclusion n’est pas douteuse, parce que l’expérience la justifie ou la

réfute. Dans certains cas, les certitudes expérimentales peuvent être bien définies et péremptoires, mais ceci ne peut avoir lieu que dans des interprétations spéciales, par exemple dans le cas des cercles d’Euler. Parfois, la vérification expérimentale prend un aspect plus général, ainsi lorsque nous considérons l'interprétation propositionnelle, de principe du syllogisme devient presque évident, parce que, sous la formule « si a implique b et si b implique €, a implique €, > nous imaginons facilement lapplication universelle à des cas réels. Je pose a, donc je pose b, donc je pose c. C’est une expérience mentale de cet ordre qui correspond au raisonnement par récurrence, et qui fait que, souvent, on considère ce principe comme démontrable.

Ainsi, toute nécessité logique portant sur les principes se réduit ou bien à une nécessité de convention, ou bien à une nécessité d’induction. Reste à savoir ce qui peut être a priori dans notre. conception d’un univers du discours idéal et d’une vérité absolue. Mais c’est là une notion bien obscure. S’il s’agit d’une conscience fictive et surhumaine il est bien clair que nous nous contentons de transporter la nôtre; ici encore nous faisons Dieu et la vérité à notre image. Et si nous essayons de nous affranchir de cette pensée personnelle, alors où fixer une demeure à la vérité? Un monde mécanique existe, mais il n’est pas vrai. Et si nous prêtons une vérité objective aux lois, Ce ne peut être que par allégorie, ou dans l’hypothèse d’un démiurge. Car si elles sont quelque chose, n’étant pas corporelles, elles doivent être en quelque manière mentales. Quelque procédé que nous mettions en œuvre pour donner corps à cette idée d’un univers de vérité absolu, il semble bien ‘difficile de voir dans la loi de cet univers autre chose que la transposition de nos usages logiques, et le seul a priori consiste justement en cette nécessité où nous sommes de tout construire à notre image. Cette remarque qui n’exprime qu’un fait empirique, n’est pas moins vraie, semble-t-il, dans l’ordre de l’explication physique, où nous ne pouvons éviter de reconstruire la réalité élémentaire à l’image des faits sensibles.