Cas particulier du tiers-exclu

L'exemple, du principe du tiers exclu permet de comprendre mieux encore la nature des principes de la logique, et le rôle de l’idée de vérité. Est-il besoin d’ailleurs de rappeler la polémique récente et obscure qui s’est élevée touchant sa légitimité ?

Suivant le langage courant, il signifie qu’une proposition donnée est nécessairement vraie ou fausse, ou encore que de deux contradictoires lune au moins est vraie, l’autre fausse. C’est sous cette forme qu’on l’applique au mythe d’un univers absolu des vérités; mais pour qu’il corresponde à une pensée, par là même à une norme réelle, il faut savoir de quel genre de vérité il est question.

En un sens purement algorithmique, il équivaut au principe de simplification formelle: non (non- a) = a, et il permet les inférences immédiates ordinaires. Or, en ce sens, il n’a aucune nécessité, puisqu'il est indépendant des autres. Rien n’est plus simple que de construire un modèle de logique où il serait en défaut : il suffit de prendre les cercles

d’Euler, et de faire un sort séparé à léur circonférence : un point pourra n'être alors ni à l’intérieur, ni à l’extérieur d’un cercle donné. Rien n'empêche également de constituer une logique où, vrai signifiant certainement vrai, faux certainement faux, il y aurait entre le vrai et le faux tous les degrés du possible et du probable. Intrinsèquement, notre principe est uné convention arbitraire.

Mais il semble extrinsèquement inévitable. Pourquoi? C’est que nous ne voyons pas en quel sens il pourrait être démenti. Nous référerons-nous à l'expérience sensible? Nous dirons alors qüe le sentiment d’un fait et le sentiment de l’absence de ce fait étant exactement définis dans l’ensemble de l'expérience, il peut se présenter des cas où nous n’éprouvions ni l’un ni l’autre. Mais cela est inacceptable : ces sentiments ne peuvent être définis d’une manière générale, il nous faut dans chaque ordre de phénomènes définir spécifiquement le sentiment qui se traduit par une affirmation de réalité et le sentiment contradictoire. Or, nous ne saurions imaginer un cas où il serait impossible de donner une définition telle que le principe du tiers exclu fût vérifié. D’une manière plus générale, il n’y a pas d'opération psychologique uniforme qui corresponde à la négation. En particulier, une expression de la forme non (non-a) n’a pas d’interprétation expérimentale qui puisse être directement construite à partir du sens concret de non-a : l’absence d’une absence de phénomènes est une formule qui ne correspond à un contenu objectif que si, par convention, nous l’identifions à celui de a. On ne voit donc pas comment l’expérience infirmerait le principe du tiers exclu, comment elle pourrait lui retirer son domaine d’application.

Mais ne pourrions-nous être amenés logiquement à douter de la valeur de ce principe? Ceci ne peut avoir qu’un seul sens : étant donné un système de notions et d’axiomes considéré comme cohérent, pouvonsnous y définir des objets tels qu’ils ne possèdent ni une propriété, ni la propriété contradictoire? ou, si l’on préfère, y définir des théorèmes dont nous sachions qu’ils sont faux et que les théorèmes contradictoires le sont aussi? Mais il se glisse ici toutes sortes d’ambiguïtés tenant à la définition même du vrai et du faux, et à celle de contradiction.

I. — Prenons tout d’abord le problème sous son premier aspect : deux propositions contradictoires peuvent-elles être fausses simultanément ?

Le vrai sera-t-il le démontrabie, le faux le non-vrai, c’est-à-dire l’indémontrable? Alors une proposition donnée est nécessairement vraie ou fausse, car non-indémontrable n’a qu’un sens possible : démontrable. Mais deux propositions contradictoires peuvent être à la fois indémontrables. Non seulement il en est ainsi quand elles n’ont pas de sens défini, dans le système axiomatique donné, mais il y a une infinité de cas où deux propositions formellement contradictoires, ayant un sens défini dans un univers du discours donné, ne sont cependant vraies ni l’une ni l’autre. Prenons l’ensemble des notions et des axiomes de la géométrie plane ordinaire, à l’exception du postulat des parallèles; les affirmations : par un point donné il passe au moins une droite ne rencontrant pas une droite donnée ; — par un point il ne passe aucune droite de ce genre. Elles ont un sens défini, et sont expressément contradictoires. Pourtant elles ne sont démontrables, c’est-à-dire vraies, ni l’une ni l’autre par rapport à notre univers du discours. Et il en est de même de toutes les propositions logiquement indépendantes d’un système d’axiomes donné.

Le faux sera-t-il maintenant le réfutable? Supposons que deux propositions contradictoires puissent être toutes deux réfutées. Qu’en concluerons-nous? Plusieurs hypothèses sont possibles qui sauveront toutes le principe du tiers exclu.

a) Le système primitif n’était compatible qu’en apparence.

b) L’objet défini sur lequel portent les propositions en jeu n'existe pas ou est indéterminé; la définition en est absurde ou illusoire.

ec) L'objet existe, mais les propositions ainsi réfutées ne sont pas vraiment contradictoires : soit qu’elles n’aient aucun sens, lorsqu'on les applique à cet objet (on ne voit pas bien d’ailleurs comment on pourrait alors les réfuter), soit qu’elles ne soient que contraires : le problème se pose souvent quand il s’agit de définitions impropres, faisant intervenir une infinité d'opérations. Nous avons tendance à prolonger la contradiction de deux expressions lorsqu'elles s'appliquent à des objets ainsi définis, qui sont pourtant d’un type nouveau, et qui devraient être régulièrement définis par postulats (si nous procédions ainsi, d’ailleurs, nous verrions sur le champ la nécessité de vérifier la contradiction réelle). C’est ainsi qu’un uombre entier non nul est nécessairement pair ou impair, mais qu'un nombre irrationnel n’est ni l’un ni l’autre. Nous sommes subrepticement sortis de notre univers du discours.

Mais n'est-il pas possible de définir la contradictoire d’une proposition indépendamment de tout univers du discours particulier ? Assurément. I1 suffit de l’écrire non-a. Mais, dans ces conditions, nous n’avons affaire qu’à une expression foncièrement indéterminée, purement limitative, et sur laquelle nulle réfutation directe n’est possible : toute démonstration à son sujet porte en réalité sur a, par l’intermédiaire de conventions au nombre desquelles figure le principe du tiers exclu. Nous ne pouvons donc espérer prendre celui-ci en défaut.

Reste, il est vrai, la possibilité d’une réfutation indirecte, par l’absurdité des conséquences ; est-il impossible que, dans un système d’axiomes jugé évidemment cohérent, nous puissions démontrer qu’un objet défini constructivement ne possède ni une propriété ayant un sens défini pour lui, ni la propriété contradictoire? Nous ne pouvons affirmer a priori que cette hypothèse soit absurde, car nous pouvons prouver la compatibilité d’axiomes géométriques en en construisant un modèle algébrique; nous pouvons prouver celle des axiomes de l’algèbre par construction d'un modèle purement logique; mais celle des axiomes de la logique doit être postulée, elle implique un risque initial, ou, pour user du langage de Descartes, quelque confiance en la véracité divine.

II. — Considérons maintenant le problème sous son second aspect : un théorème ayant un sens défini peut-il n’être ni vrai ni faux? Si faux veut dire simplement non-vrai, non-faux ne peut signifier que vrai, et le principe du tiers exclu se réduit justement à cette définition de non-faux. Reste donc à chercher aux mots vrai et faux des sens plus directement positifs, applicables à une théorie hypothético-déductive. Or, il est très difficile de le faire, en attribuant à ces termes leurs propriétés et leur usage ordinaire. Si nous prenons vrai au sens de démontrable, faux au sens de réfutable, il y a des propositions bien définies et indéterminées; si vrai veut dire démortrable, faux indémontrable, deux propositions contradictoires peuvent être fausses; — si vrai veut dire non-réfutable,

faux réfutable, deux propositions contradictoires peuvent être vraies simultanément.

Que conclure de toutes ces observations ? c’est que vérité et fausseté sont en logique de pseudo-concepts, qui introduisent de pseudo-problèmes et mènent à des paradoxes quand on prétend leur appliquer les principes admis pour les notions physiques ou métaphysiques de même nom. Si nous voulons le faire légitimement, il nous faut avoir vérifié que les propositions auxquelles ils s’appliquent ont un sens, ce qui doit être entendu doublement : elles doivent avoir un contenu logique défini en fonction des notions primitives; elles doivent être susceptibles de démonstration ou de réfutation par rapport aux axiomes primitifs.

III. — I1 demeure cependant un problème intéressant, qui peut être rattaché à celui du tiers exclu. Ce problème est d’ailleurs tout à fait indépendant du problème logique, du tiers exclu, lequel consiste à savoir s’il est légitime de poser la règle de simplification non (non-a) = a, indépendamment de toute idée de vérité et dont nous avons essayé de montrer que nulle hypothèse ne pouvait en établir l’absurdité expérimentale ou logique, mais il résume le problème du réalisme mathématique tel qu’il subsiste dans une théorie phénoméniste comme celle que nous avons soutenue : ne peut-il y avoir une vérité qui dépasse l’idée d’une démonstration directe, de telle sorte qu’une proposition puisse être à la fois indémontrable et vraie ? Or, cette question se pose en deux circonstances. assez différentes.

Prenons les mots vrai et faux au sens de démontrable et de réfutable, et cherchons, en nous attachant à l’idée de réfutation par l’exemple, si le démontrable et l’irréfutable coïncident nécssairement. Considérons donc une proposition générale, bien définie dans un système axiomatique donné, susceptible, dans chaque cas particulier, d’être vérifiée ou infirmée directement : ce sera, par exemple, la propriété pour un nombre d’une certaine nature d’être premier. Nous pouvons en constater la vérité soit par une suite de vérifications particulières, soit par une démonstration générale. Mais est-il des cas où le second procédé soit définitivement impossible, le premier seul restant pour définir la vérité du théorème? La question se pose en général pour le cas où la vérité n’est que présumée, le théorème s’étendant à une infinité inépuisable de cas. Nous opposons une certitude inductive de vérification indéfinie à une certitude également inductive concernant l’absence de démonstration. Et l’on peut être tenté de répondre que l'hypothèse est inacceptable, et que si la vérification est indéfinie, il doit y avoir une démonstration (1). Mais la chose devient plus obscure si l’on tient compte du cas où le théorème ne porte que sur un nombre fini de cas, et peut être prouvé rigoureusement par énumération, Faut-il croire que cette preuve, en quelque sorte accidentelle, se double nécessairement d’une preuve générale et comme essentielle ? Nous savons bien pourtant que si le nombre de cas était très petit, l’'énumération pourrait fort bien être la seule méthode ; il vient toujours un moment où nous sommes obligés de dénombrer et de constater des résultats. Nous ne saurions exiger de méthode générale pour prouver qu’un théorème empirique comme celui de Fermat dont Leibniz vérifia l’inexactitude devait se vérifier jusqu’à un

(1) C'est-à-dire une démonstration générale ne mettant en jeu que les notions, et les axiomes qui perméttent la vérification dans les cas particuliers.

certain nombre; de quel droit en exigerions-nous une alors même que la vérification doit réussir indéfiniment ?

Nous arrivons ainsi à un dédoublement de la notion de vérité, le vrai dépassant, peut-être, et le vérifiable et le démontrable ; par là nous sommes ramenés à un problème général auquel nous avons fait allusion : il peut y avoir diverses espèces de vérités suivant que les démonstrations virtuelles qui les définissent font appel à des notions adventices différentes. Voici un Corps axiomatique; il permet de démontrer un certain nombre de propositions, il définit donc un ensemble de vérités. Elargissons ce corps, par adoption de notions et d’axiomes nouveaux. Nous pouvons cette fois démontrer d’autres propositions formées avec les éléments du corps ancien. Trois hypothèses se présentent alors.

Ou bien ces propositions ne sont pas démontrables, ne sont pas vraies relativement au corps ancien. C’est le cas normal : le postulat d’Euclide n’introduit aucune notion nouvelle, mais un élément de détermination supplémentaire applicable aux notions primitives. Mais il est des cas plus imprévus. On pourrait croire que la considération d’une dimension supplémentaire et des axiomes correspondants n’apporte aucun élément de démonstration vraiment nouveau pour la géométrie plane, et qu’ainsi tout théorème plan démontrable par appel à l’espace doit comporter une démonstration plane. Il n’en est rien, comme le prouve l’exemple du quadrilatère de Staudt; l’unité de la construction du quatrième harmonique est démontrée par construction spatiale, et indémontrable dans le plan.

Ou bien, ces propositions sont démontrables, vraies, relativement au corps ancien, dont le corps nouveau est une promotion, un prolongement solidaire : ainsi l’introduction du symbole à et de ses règles d’emploi étend aux nombres complexes le domaine des nombres réels. Or, tout raisonnement où interviennent ceux-là et menant à des propositions réelles peut être transcrit en un raisonnement où n’interviannent que ceux-ci, et nous savons le prouver d’une manière générale.

Ou bien enfin, l’équivalence des deux voies de démonstration est vraie en fait, ou présumée telle, mais elle n’est pas démontrée. Se peut-il qu’elle ne soit pas démontrable, c’est-à-dire qu’il n’y ait aucun procédé régulier pour transcrire les raisonnements faisant appel à des éléments nouveaux en raisonnements ne faisant appel qu’à des éléments anciens, alors que les conclusions générales ainsi obtenues se vérifient dans le corps primitif dans chaque cas particulier et doivent s’y vérifier indéfiniment ?

Ceci mène au problème suivant : y a-t-il des règles générales et directes pour reconnaître si l’élargissement d’un corps axiomatique constitue ou non une simple promotion du corps ancien, qui n’en modifie pas le domaine de vérité ? Ce problème équivaut au suivant : à quelles conditions peut-on établir un « modèle » des éléments nouveaux à l’intérieur du corps ancien ? et il prend un sens très curieux dans le cas des nombres transfinis; et c’est toute la question du réalisme. En effet, quand nous nous demandons si une espèce de nombres a une existence réelle, nous ne pouvons entendre que ceci : absolument parlant, l’axiomatique de ces nombres est-elle cohérente ? relativement à un corps de nombres plus restreint, toutes les démonstrations faites à l’aide de ces nombres donnent-elles des conclusions valables à l’intérieur du corps restreint ?

Nous n’insisterons pas sur ces problèmes ; nous voulions en effet simplement montrer comment dans une théorie purement « phénoméniste >» dés mathématiques se posaient les problèmes essentiels, et quel sens épistémologique il convenait d’attribuer à cette science qui passe depuis Platon pour être singulièrement intelligible et idéale. Avant d’aborder la définition de l’espace, nous ne ferons plus qu’une remarque : s’il ne peut y avoir d’a priori en logique, comment pourrait-il y en avoir en géométrie pure ? Celle-ci ne sera qu’un ensemble de signes, en euxmêmes entièrement indéterminés. La géométrie n’est pas plus destinée à représenter la forme générale de l’extériorité physique que,n’importe quel système d’objets, ou que rien du tout. Russell a d’ailleurs abandonné cette idée qui guidait son « Essai sur les fondements de la géométrie ». Maintenant, admettons que la géométrie doive représenter l’espace; en quel sens la forme de cet espace peut-elle être connue a priori? Si nous abandonnons l’idée kantienne suivant laquelle elle doit être connue dans son détail et sa structure euclidienne, il nous faut tout abandonner. En effet, pourquoi saurions-nous d'avance qu’il doit y avoir des corps, extérieurs les uns aux autres, et entre lesquels il existe une relation bien déterminée qui est la distance? L’expérience seule nous donne le sens des mots « objet », « extériorité », « distance », et elle nous donne du même coup la structure détaillée, mais imprécise de notre espace physique.