A) LES ESPACES ABSTRAITS

$ 1. — Divers types de géométries. La construction abstraite.

Il est évident que la géométrie ne peut être la science de l’espace, au sens courant du mot, car les grandeurs sur lesquelles elle raisonne ne sont en aucune manière des spécifications d’un donné amorphe préexistant. Une telle conception se justifiait à la rigueur aussi longtemps que lon considérait comme jouant un rôle dans la démonstration les figures intuitives, elle n’a plus aucun sens désormais, à moins que l’on ne regarde, comme Platon semble l’avoir fait dans une partie mal connue de sa philosophie, le nombre comme une spécification d’une réalité abstraite d’abord définie. Le plus idéaliste des mathématiciens accepterait malaisément le mythe de l’un et de la dyade, et de la génération des nombres. Aussi bien, l’espace ne joue-t-il aucun rôle effectif dans les démonstrations mathématiques. Il désigne simplement l’ensemble des objets étudiés par le géomètre.

Que signifient alors les épithètes que l’on associe fréquemment à ce nom? Elles ne spécifient pas l’idée d’une chose, ce sont des expressions intermédiaires, des abstractions qui désignent, en réalité, certains caractères des figures dites spatiales. L’espace n’est qu’une classe de données, et nous pouvons lui appliquer ce que dit N. R. Campbell des notions fondamentales de la physique : ce sont des abstractions‘ue le langage nous incline à objectiver, parce qu’elles ont un nom, mais qui n’ont de sens que par les jugements où elles entrent. Ainsi le courant électrique n’est réel que dans l’expression « un courant passe », l’éther n’a de sens que dans la formule « une vibration de l’éther », si bien qu’en définitive, dans cette conception toute nominaliste, la science n’est qu’un langage capable de combiner, d’ordonner des jugements ayant une interprétation sensible.

La même chose pourrait être dite de l’idée même de « concept », qui n’a de sens que dans l’expression « penser par concepts », dans l’adverbe « conceptuellement ». Penser par concepts, c’est interpréter et raisonner par signes, mais il n’y a pas d’objet mental où l’image, le signe soient

combinés à leur compréhension et à leurs règles d’usage. De même, l’espace n'étant rien, ce qui en est dit est dit des éléments géométriques dont il est la classe, Mais il peut être qualifié de divers points de vue : il est fait allusion tantôt au traitement logique de ces éléments, et à leur

nature, ainsi nous parlons d'espaces analytiques et d'espaces axioma-

tiques ou abstraits; — tantôt à leur interprétation extrinsèque; ainsi nous parlons d’espaces des points, des droites, des vecteurs, d’espaces des vitesses, d'espaces de configuration ; — tantôt à l’ensemble des axiomes

qui sont admis dans l'étude de la multiplicité; c’est ainsi que nous usons des termes : espace topologique, projectif, métrique, ou d’un autre point de vue, espace conforme, espace affine; — tantôt enfin à certaines propriétés, admises de préférence à d’autres, comme lorsque nous disons : l’espace est continu, euclidien, fermé, il a n dimensions.

En tout cas, le concept.d’espace est ici uniforme : nous ne le traitons que comme une abstraction. Au contraire, nous verrons qu’en physique c’est un terme ambigu. D’une part, l’espace est considéré comme une chose, ayant des propriétés réelles, comme une substance. D’autre part, on lui attribue, par abstraction, des propriétés qui traduisent simplement des expériences sur le mouvement des corps réels, en particulier sur le mouvement par inertie.

On peut distinguer en gros deux types de géométries : les unes ont pour objet des nombres, les autres des termes abstraits. A vrai dire, ce dernier mot est mal choisi, car le nombre est également une notion abstraite, un concept. Parler de géométrie axiomatique n’est guère plus satisfaisant, car l’arithmétique et l’algèbre procèdent axiomatiquement. On oppose parfois géométrie synthétique à géométrie analytique. En fait, ce qui caractérise la géométrie abstraite, c’est qu’elle porte sur des mots; mais c’est là un accident de notation, qui disparait dans le formulaire de Peano. Le plus simple serait peut-être d’opposer à la géométrie des

nombres celle des figures, pourvu qu'il soit admis que la distinction n’a

rien d’essentiel. Ne et figures sont des signes abstraits, maniés suivant des lois formelles plés ou moins analogues. Il y a d’ailleurs diverses espèces de nombres, comme i} y a diverses espèces de figures élémentaires. Ce ne sont que des ordres de la pensée mathématique, qui s’opposent, tout en s’enchaînant, comme font les ordres d’architecture, comme fait l’ordre logique à l’ordre proprement mathématique.

Nous ne dirons que quelques mots des géométries de figures. On peut les grouper en deux genres principaux. Tantôt nous prenons comme notions premières des grandeurs de différentes natures, comme les points, les drÿites, les plans, et les relations caractéristiques qui les déterminent. Nous avons alors affaire à la géométrie élémentaire, telle qu’elle nous vient d’Euclide. On sait quel a été; depuis un siècle l’effort pour en exposer rationnellement l’axiomatique, pour en généraliser et en varier les postulats, pour en préciser la signification philosophique. Géométries non-euclidienne, non- -archimédienne, non-arguésienne sont, au moins en leurs principes, bien connues.

Tantôt, au contraire, nous partons d’éléments extrêmement simples, liés par des relations les plus pauvres possibles en propriétés. Telle est l’origine de la géométrie des espaces abstraits, qui est un aspect de la théorie des ensembles. Le problème essentiel est alors de définir constructivement les figures qui correspondent aux courbes, aux surfaces de

DIVERS TYPES D'ESPACES ABSTRAITS 163 la géométrie classique, et leurs propriétés fondamentales ; à côté des solutions algébriques de la géométrie élémentaire, nous obtenons ainsi des solutions abstraites. Suivant les propriétés que nous attribuons aux éléments initiaux, nous 'introduisons tel ou tel type d’espace, et il peut être intéressant de voir comment une telle étude nous permet de reconstruire, par déterminations successives, les divers degrés de la géométrie et le concept accoutumé de l’espace. Indiquons, d’après un livre récent (1), comment celui-ci se spécifie progressivement.

S 2. — Divers types d'espaces abstraits.

La propriété la plus élémentaire d’une multiplicité est d’avoir des dimensions déterminées. Mais si c’est là une donnée intuitive assez claire, si dans l’ordre algébrique elle s'exprime de la manière la plus simple, il en est tout autrement dans le cas des espaces abstraits : l’égalité et l’addition des dimensions ne se définissent pas d'emblée. Nous serions tentés de dire que deux multiplicités ont même type de dimensions quand elles peuvent être associées terme à terme, d’une manière biunivoque.Mais on sait depuis Cantor et Peano que l’on peut associer d’une manière biunivoque les points d’un segment à ceux d’une aire et même de tout le plan. Il faut done imposer à la correspondance d’être bicontinue, qu’elle soit une homéomorphie, ce qui suppose admises les notions de voisinage et de limite, par là de point d’accumulation de l’ensemble, c’est-à-dire d'ensemble dérivé. Les propriétés d’ordre sont donc la base même des propriétés topologiques. Elles correspondent à une définition de la distance proprement topologique, très différente de la distance métrique, et qui prend une forme quantitative dès que nous introduisons des coordonnées : ce sera l’intervalle de deux points, par exemple la plus grande des différences de leurs coordonnées homologues, opposé à la distance euclidienne ou riemannienne. Mais, dans l’ordre abstrait, cette distance topologique est-elle même une notion complexe; ses propriétés dépassent de beaucoup celles qui sont nécessaires pour que l’espace ait une structure topologique et des dimensions; tout ce qui est requis en effet à cette fin, c’est la définition des points d’accumulation, c’est-à-dire d’un espace dérivé. Or, si l'existence de ces points suppose une certaine notion de la convergence, de l’acheminement vers ce point, il y a là beaucoup moins que dans l’idée d’intervalle numérique. Celui-ci, en effet, vérifie les axiomes suivant

1° L’intervalle de deux points (A, B) est égal à l’intervalle (B, A). 2° Si À et B sont confondus, cet intervalle est nul.

3° Si cet intervalle (A, À,) tend vers o avec D, les points Ai …. A P

<onvergent vers A.

4° Si À, B, C sont trois points : (A, C)<(A, B) + (B, C). Or, il n’est pas nécessaire d’admettre simultanément les quatre pos-

tulats. Si nous les admettons, nous avons un espace distancié (D), dans la terminologie de MM. Fréchet et Bouligand. Mais il est possible de ne

(1) Fréchet. Les espaces abstraits (Gauthier-Villars. 1928).

spécifier que progressivement le concept d’espace en n’attribuant d’abord aux relations topologiques élémentaires que le minimum de propriétés. Nous aurons d’ailleurs des descriptions différentes suivant que nous nous attacherons à préciser axiomatiquement l’idée de distance ou celle de convergence, descriptions partiellement équivalentes, où les mêmes. alternatives devront en fin de compte se retrouver. Ce sont des points de vue complémentaires sur la spécification du concept.

Les plus simples des espaces topologiques sont les espaces V, où à la notion d’ensemble fondamental est ajoutée simplement celle d’un ensemble dérivé.

On arrive à une notion à peine plus étroite en associant l’idée de convergence à celle de domaines voisins d’un point. Un ensemble E converge vers un point À, s’il a un point au moins dans tout voisinage de A, si étroit soit-il. Ce qui implique qu’un point-limite d’une partie d’un ensemble est point-limite de cet ensemble.

Nous pouvons spécifier les espaces (V) en précisant un peu les propriétés de la convergence.

Un espace (L) est un espace topologique où les postulats suivants: sont vérifiés :

1° Si les termes d’une suite coïncident avec À à partir d’un certain rang, À est limite de la série.

2° Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite.

3° A est point limite de E, si E contient une suite d’éléments distincts convergeant vers A.

Un espace (H) ou espace accessible vérifie les postulats

1° L’ensemble des dérivés de E et de F est le dérivé de l’ensemble: de E et de F.

2° Un ensemble fini n’a pas de points limites.

3° Tout ensemble dérivé est fermé (c’est-à-dire que son dérivé lui appartient).

Les espaces (H) et (L) ne sont pas équivalents. Mais si un espace est à la fois (H) et (L), c’est-à-dire si un espace (L) n’admet que des ensembles dérivés fermés, nous avons affaire à un espace (S).

Si, par ailleurs, nous négligeons le dernier des quatre postulats qui caractérisent les espaces (D), nous aurons des espaces plus généraux que ceux-ci, moins généraux cependant que les espaces (L) : ce seront les. espaces (E).

Maintenant, parmi les espaces (H) nous pouvons distinguer ceux qui vérifient le postulat suivant : quels que soient a et b, il existe deux ensembles disjoints auxquels a et b sont respectivement intérieurs, ou, si l’on préfère, il y a un voisinage de «a extérieur à b, et inversement. Ce seront les espaces (h) ou de Hausdorff, parmi lesquels nous pourrons. distinguer des sous-espèces, caractérisées par les propriétés des ensembles disjoints contenus en eux; ce seront les espaces réguliers, normaux, complètement normaux.

Un point de vue un peu différent dans la définition des espaces est

celui de M. Wiener, qui a été amené par là à considérer des espaces