DIVERS TYPES D'ESPACES ABSTRAITS

qu’il nomme (J) et (J:) (1). Les notions mêmes de point d’accumulation et d'ensemble dérivé y sont définies à partir des transformations de l’ensemble fondamental en lui-même, les caractères et les noms de l’espace étant liés aux propriétés de ces transformations. Si celles-ci sont bicontinues, nous sommes en présence d’espaces (J), qui sont des espaces (V) particuliers.

On voit qu’à la diversité des points de vue correspond une diversité assez mal coordonnée des définitions de l’espace. Nous sommes évidernment très loin d’une hiérarchie absolue de concepts, établie suivant la loi traditionnelle : par le genre prochain et la différence spécifique. Aussi bien la théorie des espaces abstraits est-elle très loin de sa forme définitive.

Le premier souci du géomètre est évidemment de préciser dans quelle mesure les divers types d'espaces ainsi définis sont indépendants, quelles conséquences implique pour un ensemble le fait de posséder à la fois les propriétés caractéristiques de deux espaces élémentaires, et quelle différence spécifique nous permet de passer d’un type quelconque à un autre. Ainsi l’on montrera qu’un espace (H) devient un espace (D) s’il admet une suite monotone de couvertures, qu’un espace est (D) s’il est à la fois (E) et (H), qu’il est (S). s’il est à la fois (H) et (L).

Nous pouvons résumer quelques-unes des définitions précédentes dans le schéma suivant, où l’on voit comment les spécifications indépendantes de l’espace topologique se rassemblent dans le concept d’espace distancié.

©) (espace tesslogique L plus general”

(h) (S) Œ regulier complètement normal ve ()

Les espaces (D) eux-mêmes sont extrémement généraux. S'ils A une interprétation particulièrement simple dans lexemple ue multiplicité numérique à un nombre fini de CoStAoAneer; on peut eur “e faire correspondre une infinité. D'abord, l'espace à nombre entier : dimensions fini ou infini. Ensuite, la série des espaces s ROP EEE parmi lesquels on peut citer ceux qui suivent, et qui ont même type de dimensions (2) :

(1) Fréchet. p. 199. à (2) Fréchet, pp. 83-99.

L'espace Es, l’espace Q de Hilbert, l’espace des séries absolument convergentes, l’espace des surfaces continues, l’espace des fonctions

mesurables, l’espace des fonctions de carrés sommables, l’espace des

fonctions continues, l’espace des fonctions entières complexes.

Nous avons des types de dimensions supérieurs, par exemple : l’espace (Du), l’espace (F).

La structure élémentaire de l’espace ainsi définie dans le caÿ général “est extrêmement pauvre : elle correspond dans le cas normalement considéré à l’assertion; l’espace est une multiplicité ordonnée, dont les éléments sont localisés les uns par rapport aux autres; elle est repérée.

= Pouvons-nous spécifier davantage? Le premier problème qui se pose alors est celui des dimensions. Cette seconde démarche dans la description du concept: doit nous permettre de définir les divers types des figures de l’espace, considérées topologiquement, par exemple les volumes, les surfaces et les courbes, et être ainsi le point de départ de Panalysis situs, au sens courant. Ainsi Poincaré à proposé du nombre de dimensions une définition récurrente fondée sur la notion de frontières. Un point est frontière sur une courbe, une courbe sur une surface, une surface dans un volume. Nous leur attribuerons donc les dimensions 0, 1, 2, etc. Maïs cette définition ne donne que des nombres entiers de dimensions.

Un autre procédé consiste à associer les multiplicités non par une simple correspondance biunivoque, mais par une homéomorphie, c’està-dire une correspondance bicontinue. Lüroth a en effet montré que dans ces conditions les méthodes qui associent le plan et la droite, par exemple, ne s'appliquent plus. Si un ensemble peut être associé de la sorte à une partie d’un autre ensemble, il a un type de dimensions inférieur ou égal. La réciproque n’est d’ailleurs pas vraie, mais un théorème de M. Banach prouve que deux ensembles qui ont même type de dimensions peuvent être décomposés en deux ensembles disjoints respectivement homéomorphes. Nous pouvons alors définir une échelle «croissante de types de dimensions, de même que Cantor a défini des ensembles transfinis de puissance croissante. Si la droite a comme type de dimension 1, celui des ensembles linéaires sera <1. Ainsi l’on pourra former une suite d’ensembles linéaires dénombrables, et cette suite sera même non dénombrable. Parmi eux, l’ensemble des nombres rationnels aura le type de dimensions le plus grand possible, comme d’ailleurs parmi tous les ensembles dénombrables comprenant un ensemble dense en soi. I sera de même possible de définir des types plus élevés, des types infinis, et parmi ceux-ci mêmes d'établir des degrés. Un espace où chaque point a un nombre de coordonnées variables avec lui-même peut-être considéré comme ayant une infinité de coordonnées qui sont nulles à partir d’un rang n, fonction du point. Nous poserons, par exemple, pour l'expression de la distance :

1e NT En Tai OR AT n! 1+1Xn—Yn |

Un tel espace a un nombre infini de dimensions. Une classe considérable d’entre eux est fournie par l’espace de Hilbert, où chaque point a une infinité dénombrable de coordonnées, et où la distance généralise l’ex-