DIVERS TYPES D'ESPACES ABSTRAITS

pression ordinaire (XY)=+ V (ii À +... (An—Yn) Il faut alors que la

série sous radical soit convergente. Au type de dimension de l’espace de Hilbert se ramènent l'espace des séries convergentes, celui des fonctions entières, celui des fonctions continues, celui des fonctions mesurables, des courbes continues, des surfaces continues, etc. Il est même possible de définir des espaces, comme celui des fonctions arbitraires d’une variable, dont le type de dimensions est supérieur à celui-là.

Remarquons ici que la notion de types de dimensions est, à certains égards, plus compréhensive que l’intuition courante; précisément à cause de l'intervention de la continuité, elle comprend certains caractères que l’on rattache d'ordinaire à la forme des multiplicités. C’est dire que l’ordre des éléments nécessaires à la définition des dimensions dépasse quelque peu notre image courante. C’est ainsi qu’une courbe fermée n’a pas même type de dimension qu’un segment de droite. Il faudrait alors recourir à une définition locale, suivie d’une extension aux diverses parties de la multiplicité.

Nous pourrons ainsi définir dans un espace donné des ensembles qui correspondent aux figures de lanalysis situs. Cette reconstruction synthétique en met d’ailleurs en évidence la complexité, et permet de les généraliser. C’est ainsi qu’un arc simple de Jordan est un continu borné à une dimension, tandis qu’une courbe cantorienne est simplement un continu à moins de deux dimensions.

Sur ces données nous pouvons aussi introduire d’autres spécifications du concept d’espace. Nous considérerons, par exemple, des vecteurs liés aux différents couples de points. Il n’est pas nécessaire, pour que cette adjonction soit possible, de supposer que les espaces qui serviront de champ à ces vecteurs sont des espaces (D). M. Fréchet montre comment peuvent être introduits des espaces topologiquement affines très généraux. Mais il est plus simple de se placer dans le cas déjà si général des espaces (D). Il faut alors définir tout d’abord des lois propres aux vecteurs, ensuite des conditions qui permettent de les associer aux couples de points de la multiplicité. Deux notions se rattachent à celle de vecteur, l’une est celle de direction, l’autre celle de longueur. Il est possible de définir l’une par l’autre, mais la définition directe de celle-ci en sera plus compliquée. Nous pourrons, au contraire, prendre pour accordée la notion de vecteurs en prolongement, c’est-à-dire celle de droite abstraite, puis définir le lien de la longueur et de 4 distance topologique; ce lien peut être plus ou moins étroit : si nous supposons que deux couples de points colinéaires à égale distance topologique déterminent deux vecteurs congruents, nous aurons un espace affine ; admettons-le, alors même que les couples ne sont pas colinéaires; notre espace devient vectoriel. Il est en outre complet, si la longueur d’un vecteur tend vers zéro en même temps que la distance des points correspondants, c’est-à-dire en même temps que ces points convergent l’un vers l’autre. Il sera tendu si, sur une droite, À, B, €, étant trois points, |A B|| désignant la longueur du vecteur déterminé par A et B, on a |AB|| = + |[AC| + ||BCI|.

On voit ainsi combien les définitions élémentaires accoutumées sont déjà riches de conséquences, et combien il est possible de distinguer

de types d'espace en séparant les propriétés abstraites ordinairement confondues.

$ 3. — Valeur épistémologique de la géométrie abstraite.

Quelle est, maintenant, la valeur philosophique de la géométrie

abstraite? En quel sens nous permet-elle de déterminer rationnellement le concept d’espace ?

. Le prestige de rationalité qui s'attache à elle tient, semble-t-il, à diverses raisons. Tout d’abord, si l'algèbre numérique nous donne bien le sentiment de n’être à l’ordinaire qu’une combinatoire de signes, la géométrie élémentaire et plus encore peut- -être la théorie des ensembles nous paraissent porter sur des idées, a première parce que le sens logique et le sens intuitif des termes en jeu sont naturellement entrelacés, la seconde parce que les notions d’élément et d'ensemble nous semblent les catégories les plus simples, les plus fondamentales de notre connaissance de la nature; la distinction de l’un et du multiple n’en est-elle pas le principe essentiel ? Ne touchons-nous point par là le fondement rationnel et à priori de la mathématique, par lequel elle se rattache à la logique, acquérant une nécessité du même ordre que la logique des classes et des propositions? On comprend alors que les logisticiens aient vu dans la réduction à la théorie des ensembles la rationalisation définitive des mathématiques.

D'autre part, la géométrie abstraite semblerait s’organiser synthétiquement, allant du. simple au complexe, par genres et par espèces. Les théorèmes s’y ordonneraient en séries causales et comme généalogiques, suivant une sorte de classification naturelle. Dans cette spécification progressive nous irions à la fois du rationnellement nécessaire au contingent, de ce qui est certain physiquement à ce qui est douteux et approximatif. Dans les degrés successifs de la géométrie se refléteraient les assises successives de l’expérience spatiale.

C’est là une donnée assez difficile à préciser, et pourtant réelle. Nous avons le sentiment qu'il y a dans notre connaissance empirique de l’espace divers plans de certitude : il y a des faits qui ne sont connus qu'indirectement et approximativement, des propriétés qui nous décrivent moins l’espace lui-même que les lois des mouvements des corps solides, lesquelles ne sont jamais exactement déterminées. Au contraire, il y à des propriétés qui semblent immédiates et sûres : ainsi les propriétés topologigues. Sans doute, il est possible de les isoler, même dans le cas d’un espace algébrique, mais il faut procéder alors d’une manière indirecte : il nous faut encore passer par l’intermédiaire d’un système de coordonnées, et considérer les propriétés invariantes dans une déformation continue, ou, si l’on préfère, dans un changement de coordonnées continu. Il'semble donc beaucoup plus conforme à la raison d’essayer de construire progressivement le concept d'espace, en démêlant dans l'expérience les éléments superposés de sa structure géométrique.

Si spécieuses que soient ces pensées, il est pourtant bien difficile de leur attribuer une valeur objective. Il est vrai que nous sommes parfois surpris, déconcertés, inquiets presque de voir combien un petit nombre de conventions itofensives entraine de conséquences singulières et

où ff dt

VALEUR DE LA GÉOMÉTRIE ABSTRAITE 169 importantes; la chose est surtout sensible quand les résultats sont rassemblés indépendamment de leurs démonstrations; dans leur brève confrontation, il nous semble entrevoir une nécessité idéale, absolue, nous dépassant. Mais, outre que ces sentiments sont évoqués aussi bien en nous par les propriétés les plus élémentaires des nombres, ils s’atténuent dès que nous prenons un contact plus étroit avec les faits, dès que nous les replaçons dans leur atmosphère déductive. Nous prenons conscience de leur caractère relatif, de leur origine conventionnelle; ce qui nous reste alors, c’est un sentiment de familiarité, de camaraderie, semblable à celle qui existe entre l’artisan et ses outils, et qui nous fait traiter les objets mathématiques en créatures vivantes ; mais ce sont là des manières de parler, impressions subjectives plutôt que faits objectifs et révélateurs.

N'’exagérons point, par ailleurs, l’ordre qui se révèle dans la construction synthétique. Souvent, au contraire, nous sommes frappés par le sentiment de l’artifice, de l’arbitraire même, du caractère purement logique qui préside aux choix des axiomes. La chose est manifeste chez Pasch ou même chez Peano. Aussi bien la même géométrie peut-elle ètre exposée à partir de systèmes de concepts équivalents, mais dissemblables : que l’on compare les exposés des deux auteurs précédents à celui de Schilling ou même à celui de Hilbert. Celui-ci même, si remarquable et si communément adopté qu’il soit, n’a pas de valeur absolue. Il n’y à pas de classification naturelle des concepts géométriques. Des remarques analogues vaudraient pour le développement déductif proprement dit. Il est vrai que certains jugeront précisément plus révélateur le caractère souvent irrégulier, dissymétrique, imprévisible, de ce développement.

Maintenant, les lois et les objets initiaux de la géométrie abstraite ont-ils une valeur proprement rationnelle? Les réquisits inévitables de toute expérience sont-ils mis par là en évidence? Telle était, semble-t-il, l’idée de Russell dans son « Essai sur les fondements de la géométrie »; où il cherchait à discerner les lois à priori de toute forme d’extériorité, c’est-à-dire l'élément à priori de la structure spatiale. Nous ne discuterons pas ici les conclusions d’uw ouvrage que l’auteur lui-même ne défendrait sans doute plus. Toutes les tentatives pour isoler l’a priori à la faveur d’une expression particulière de la géométrie sont vouées, croyons-nous, au même échec que la déduction des principes de la physique dans les « Principes métaphysiques de la science de la nature ». Russell arrivait seulement à des thèses paradoxales sur ie lien du principe de dualité et de la relativité de l’espace, ou à des antinomies fictives comme celle-ci : puisque tous les points sont identiques, comment peut-il y avoir des points différents ?

Or, cette conclusion vaut aussi bien pour les notions fondamentales de la théorie des ensembles. C’est se moquer que de vouloir tirer de la simple ‘assertion « l’expérience se divise en objets séparés les uns des autres », le moindre enseignement touchant ce mode de séparation qu’est la distance spatiale, et ses propriétés même purement topologiques. Certes, il existe un esprit capable d’organiser les données de l’expérience sensible, mais nous ne saurions le concevoir comme un ensemble d’assertions précises, si réduit qu’en soit le domaine, et travestir en à priori métaphysique les données les plus rudimentaires de la perception. La

théorie des ensembles n’a pas plus de privilège par rapport à celle des nombres algébriques que le jeu de dames n’en a par rapport au jeu d'échecs. L'existence des solutions abstraites de la géométrie peut prouver la cohérence logique de celle-ci, non la rationaliser.

Considérons, enfin, la géométrie comme instrument d’analyse des propriétés empiriques de l’espace. Laissons la correspondance curieuse, mais bien aléatoire, que M. Enriquez établit entre géométrie projective et. espace tactile, géométrie métrique et espace visuel. Cherchons simplement si les types de géométrie abstraite correspondent aux plans de clivage des certitudes expérimentales.

Assurément, l’espace peut être considéré comme un ensemble de points. Mais dès qu’il s’agit d’en préciser le moindre caractère, nous sommes arrêtés. Nous ignorons même si un segment peut être indéfiniment divisé : ce n’est là ni un fait d'expérience, ni une exigence objective de la raison. Comment ériger en loi de la réalité notre tendance à agrandir les étendues insécables, ce qui les rend de nouveau divisibles, et affirmer l’homogénéité indéfinie de l’infiniment petit et du fini intuitif? Admettonsle pourtant : nous n’aurons affaire qu’à un infini dénombrable, et non pas continu. C’est l’application des théorèmes de la géométrie élémentaire qui oblige à admettre à la fois l’existence de nombres irrationnels et celle de grandeurs incommensurables. Si maintenant nous arrivons aux dimensions de l’espace, il est évidemment impossible d’en confronter la définition abstraïte et constructive avec l’expérience.

Maintenant, attachons-nous à la géométrie élémentaire courante. Les axiomes n’en ont assurément aucune certitüde empirique particulière. La chose est évidente du postulat d’Euclide, elle ne l’est pas moins des axiomes de la congruente, ou de tous les autres. Comment savons-nous que deux droites n’enferment pas d’espace, que deux points ne déterminent qu'une droite? Qui prétendra que les propriétés projectives des figures soient plus assurées que leurs propriétés métriques? En fait, il y a dans toute expérience une double indétermination, l’une en profondeur, Pautre en étendue, car toute expérience est approximative et locale. La géométrie synthétique facilite, il est vrai, le passage à la limite, elle favorise le concours de faits expérimentaux imparfaits et de conditions rationnelles aléatoires. C’est ainsi que lemploi des nombres où les décimales indéfinies sont virtuellement indiquées nous signale notre impuissance à les écrire à partir d’un certain rang, tandis que, parlant de la congruence de deux grandeurs, nous avons tendance à la croire aussi bien définie que l’égalité de deux nombres entiers. De même, la géométrie élémentaire associe les propriétés locales et les propriétés d'ensemble de l’espace, elle nous fait donc étendre spontanément les premières aux secondes. Nous savons bien, cependant, que s’il est naturel d'admettre que l’espace a en tout point la même structure locale, nous ne pouvons affirmer à l’avance qu’il est, comme les régions de notre expérience, ouvert et simplement connexe. Si l’exposé synthétique du concept d’espace facilite ces extrapolations, il ne les justifie pas, et ce nous est plutôt une raison de le juger philosophiquement imparfait.

Les éléments de tels espaces sont des nombres et des ensembles de

nombres. La géométrie est alors un chapitre de lPanalyse, celui qui étudie les propriétés de certaines expressions et de certaines figures. Si nous employons les mots de points, de droites, c’est d’abord qu’il y a là une manière abrégée de nous rappeler que nous devons considérer plusieurs nombres à la fois. autant que l’espace et la géométrie ont de dimensions; — c’est ensuite que certaines images intuitives auxquelles ces nombres peuvent être appliqués peuvent nous éclairer et nous guider dans la connaissance de leurs propriétés analytiques. Ainsi, nous décorons de noms géométriques certaines expressions dont les propriétés ressemblent aux propriétés d’objets physiques, et nous étendons cet usage à des expressions du même type qui ne conviennent à aucune expérience réelle.

S 1. — Diverses espèces de nombres.

Si un espace n’est qu'une multiplicité, objet d’une géométrie, un premier caractère en sera tiré, semble-t-il, des nombres dont il est formé. Ce peuvent être des nombres ordinaires : un point d’un espace à n dimensions sera simplement un ensemble de x coordonnées, prises dans un certain ordre, et représentées par des lettres différentes, par exemple, x, y, z. Ce peuvent être des nombres complexes, et l’on chercherait volontiers à associer à chaque coordonnée un opérateur caractéristique; sans doute, les types de nombres complexes ne peuvent être multipliés indéfiniment, ni appliqués à toute multiplicité : ceux du type courant, où Ë — -— 1, ne s'adaptent pas à l’espace tridimensionnel. Mais nous n’avons qu'à prendre dans celui-ci des coordonnées homogènes, auxquelles nous pouvons appliquer les quaternions. Si nous cherchons, suivant le procédé de Helmholtz et de Lie, à définir la géométrie par certains groupes de transformations, comme celui des déplacements, les propriétés des transformations complexes pourront nous permettre de classer les géométries possibles, et d’attribuer un privilège à certaines d’entre elles.’ Ainsi, dans l’espace elliptique correspondant à une quadrique ai + x + ax + x:°— 0, les déplacements peuvent être exprimés par la transformation générale x—ax’h, x, x’, a, b, étant des quaternions, et les déplacements de première et de seconde espèce étant donnés respectivement par des équations æ=ax, æ—x b (la multiplication n’étant pas commutative). Dans le plan, les nombres complexes traduisent. plus aisément encore les propriétés des géométries non-euclidiennes : ainsi Poincaré considère comme déplacements les substitutions linéaires d’un point (x+iy) qui transforment en lui-même un cercle unité; les droites sont alors des cercles orthogonaux au précédent. Ce qui est important, c’est que les points soient définis directement par des nombres de ce genre. En effet, il est rare que l’on ne puisse, dans une théorie quelconque, introduire ceux-ci à titre subsidiaire de manière à illustrer ou à ‘rendre plus élégant l’exposé géométrique. C’est ainsi que, dans l’espace hyperbolique, nous pouvons encore associer les déplacements aux substitutions linéaires d’une variable complexe définie à partir des coordonnées cartésiennes d’un point courant, en posant

RER STATE SA a n=atoi=(—) +: (2)

Les déplacements sont donnés par des substitutions de la forme

b SA HAE DES PE ou et les retournements par des substitutions }’= — , À étant

ci+d ci+d

le conjugué de À.

Ce point de vue peut être généralisé; soit que l’on fasse correspondre à chaque coordonnée d’un point un nombre complexe, ce qui mène à la définition des figures hyperalgébriques, soit que l’on introduise des nombres complexes de type supérieur, comme les nombrés bi-complexes, ou encore comme les nombres de la forme à + be, où e* = 0, que Study a utilisés comme coordonnées homogènes des droites de l’espace, sous le nom de « grandeurs duelles ». L'emploi des nombres complexes n’est d’ailleurs qu’un moyen d’expression qui ne crée pas de géométrie proprement irréductible, il équivaut à un simple changement de coordonnées.

S 2. — Les espaces réels. Leur spécification.

Considérons donc maintenant les espaces algébriques au sens ordinaire. Il faut, pour les spécifier, leur attribuer des propriétés. Celles-ci peuvent être de deux ordres : les unes se rapportent à la distribution même des nombres qui les constituent, et sont proprement topologiques; ce seront, par exemple, le nombre de dimensions de l’espace, représenté par celui des coordonnées; la nature. des valeurs que peuvent prendre ces coordonnées (entières, fractionnaires, irrationnelles, etc.) ; le domaine où elles sont définies; le fait que nous considérons deux points de coordonnées différentes comme coïncidant. Les autres propriétés sont celles des figures formées par les éléments de l’espace. Mais elles sont en nombre infini; il faut donc les spécifier et les classer. Deux attitudes sont possibles, qui sont foncièrement équivalentes : ou bien nous ne considérerons que des figures et des propriétés définissables à l’aide d’un certain nombre d’expressions élémentaires, ou bien nous ne considérerons que celles qui sont communes à des figures équivalentes d’un certain point de vue. Mais cette dernière définition ne prend un intérêt véritable que s’il est possible par ailleurs de définir directement l’équivalence. C’est ce qui a lieu lorsqu'on adopte la manière de voir exposée par F. Klein dans son célèbre « Programme d’Erlangen ». Les figures équivalentes peuvent être engendrées les unes à partir des autres au moyen de certaines transformations données sous forme finie, et qui forment un groupe; leurs propriétés géométriques seront alors construites uniquement à l’aide des invariants du groupe. Ainsi l'analysis situs étudie les propriétés invariantes dans une transformation bicontinue; la géométrie projective celles qui se conservent dans une transformation QT + bit: |-Cits + di Ts + Dit + Ci: + d; celles qui se conservent dans une collinéation du type : +’; — aix; +b;æ, Lx: + di ; enfin la géométrie métrique considère des transformations

homographie du type x’i— ; la géométrie affine (1)

(1) Les transformations projectives sont donc les collinéations qui peuvent envoyer à l'infini un point fini, les transformations affines celles qui ne peuvent le faire.

plus particulières : les retournements, les déplacements et leurs espèces, translations et rotations. Il revient évidemment au même en ce cas de définir une géométrie par les invariants qu’elle admet comme relations fondamentales ou par le groupe correspondant (1). Mais il convient d’observer que c’est là un point de vue assez étroit ; les espaces riemanniens sont le type des espaces sans groupe fondamental, et l’on ne doit pas interpréter d’une manière trop étroite et trop dogmatique ces grands raccourcis de pensée en lesquels Poincaré laisse parfois entendre que nous atteignons ainsi l’essence même de la géométrie.

Quel intérêt avons-nous à spécifier de la sorte espaces et géométries ? D'une double espèce, à ce qu’il semble.

Tout d’abord, il convient d'isoler celles des relations et des transformations qui trouvent dans la nature une interprétation plus ou moins immédiate, de séparer l’ensemble des figures algébriques susceptibles. d’être appliquées à l’espace physique et au mouvement des solides.

Mais il existe, à ce faire, un intérêt proprement épistémologique, et nous rejoignons ici un souci très général. Parmi les propriétés d’un ensemble d’objets mathématiques, il en est de corrélatives, de subordonnées les unes aux autres, il en est qui leur sont communes avec d’autres objets; il existe à l’intérieur d’une théorie des familles d’énoncés solidaires, qu’il est naturel d'isoler, afin de mettre en évidence ce que M. Bouligand a nommé les « domaines de causalité » (2). Ceci répond à deux desseins. L’un est esthétique et philosophique : tirer de l’enchevêtrement des théorèmes et des démonstrations les éléments d’une classification naturelle. L’autre est d'économie de la pensée : nous guider dans la recherche des propriétés et des vérités intermédiaires, nous permettre de discerner les géométries isomorphes et de transférer de l’une à l’autre l’ensemble des procédés de démonstration et des résultats déjà acquis.

Si nous nous en tenons au premier, il nous suffit de spécifier et de classer les objets géométriques proprement dits. À cet égard, nous réunirons tout naturellement les énoncés qui sont invariants dans une transformation donnée de leurs objets; nous revenons ainsi à la définition kleinéenne des géométries, ce qui revient à isoler les objets dont la définition ne fait appel qu’à des données communes.

Mais ce n’est là qu'un premier degré de l’abstraction. Nous sommes amenés, dans une seconde démarche, à séparer les énoncés dont la démonstration ne fait appel qu’à certaines propriétés des nombres et des opérations algébriques. Il est naturel de chercher à les démontrer séparément, et d’une manière en quelque sorte intrinsèque. C’est pourquoi les mathématiciens ont tendance à isoler axiomatiquement des corps de propriétés, et à en faire l’objet de théories abstraites générales. C’est ainsi qu’ils traitent la théorie des vecteurs indépendamment de tout système de référence, qu’ils définissent analytiquement les quadriques, afin d’en justifier les propriétés élémentaires, et de pouvoir désormais

(1) Naturellement, nous pouvons multiplier les géométries ainsi définies. Parmi les transformations bicontinues, nous pouvons séparer celles qui admettent des dérivées continues jusqu’à un certain ordre. Nous pouvons adjoindre les inversions aux déplacements et aux symétries, et obtenir ainsi la géométrie conforme. Voir sur cette conception les ouvrages de F. Klein Elementarmathematick vom hôkheren Standpunkte aus (en particulier t. Il, Nicht-euklidische Geometrie, Hôhere Geometrie.

(2) Cf. Revue générale des Sciences, 31 janvier 1930.

raisonner indépendamment des nombres et des équations; qu’ils essaient en un mot d’instituer, chaque fois que la chose est possible, des définitions absolues et des théories générales. :

Donnons de cés deux modes d’abstraction un exemple très simple. Si nous isolons, parmi les relations algébriques, celles qui sont invariantes dans un déplacement, nous obtenons la géométrie métrique. Mais dans celle-ci, nous pouvons isoler les théorèmes qui ne font appel qu’à une axiomatique moins riche, par exemple ceux qui correspondent à la géométrie élémentaire courante, aux problèmes de second degré, aux constructions par la règle et le compas. A l’intérieur de cette géométrie même, nous pourrions distinguer, comme on sait, une série de sousgéométries obtenues par abandon de divers axiomes. Bien entendu, il y a une suite de géométries abstraites qui s’échelonnent, par multiplication de définitions et de postulats, de la géométrie courante à la géométrie analytique : ainsi, nous pouvons compliquer la théorie des vecteurs abstraits jusqu’à la faire coïncider avec celle des vecteurs analytiques.

‘: Nous voyons ainsi le double mouvement de pensée propre aux mathématiques. Tantôt nous élargissons le corps des principes afin de nous donner de nouveaux objets et de nouveaux instruments de démonstration, tantôt, au contraire, dans un corps trop riche, nous tâchons de discerner des séries abstraites et des unités plus particulières, nous revenons insensiblement à la géométrie synthétique.

Nous voyons aussi la relation qui existe entre les espaces algébriques, et les espaces abstraits. Les premiers constituent des « solutions » des seconds, et en prouvent la cohérence logique; mais ceux-ci sont en quelque sorte les types dégénérés et privilégiés à la fois en lesquels ceux-là tendent à cristalliser intellectuellement (1).

$S 3. — Divers noms donnés à l’espace. Espaces qui se réduisent les uns aux autres.

En quel sens existe-t-il des espaces différents, et que signifient les noms qui leur sont attribués ? Ceux-ci peuvent désigner des partis-pris d'interprétation extrinsèque : nous parlerons ainsi d'espaces des points, des droites, des vitesses, d'espaces de configuration; ils peuvent caractériser le niveau de la géométrie que nous avons définie sur la multiplicité en jeu : un espace est topologique quand nous n’avons défini que les relations élémentaires de l’analysis situs, métrique quand nous avons défini les longueurs, conforme quand nous avons défini les angles (ou, ce qui revient au même, les transformations qui les conservent); ils peuvent être liés à la nature propre de ces définitions, ainsi un espace sera elliptique ou euclidien, suivant que nous aurons choisi telle ou telle expression de la distance de deux points; ils pourront être alors ou tout à fait conventionnels, où bien tirés d’analogies extérieures, et de leur interprétation physique la plus naturelle (ainsi nous appellerons volontiers réglé un espace dont l’axiomatique imite celle des droites physiques). Enfin, et en un sens en quelque sorte provisoire, nous pou-

() Naturellement, d’un point de vue pratique, nous avons toujours avantage à nous donner les éléments de démonstration les plus nombreux possibles, et, en ca sens, la géométrie abstraite est un jeu d’esprit sans intérêt,

vons dire qu'un espace est tangentiel, linéaire, etc., lorsque: 1 nous serons décidés à interpréter les éléments dont il est formé comme les coordonnées de certaines figures d’un espace d’une autre sorte, par exemple ponctuel. Tous ces noms ont donc, en définitive, une valeur strictement relative.

En quel sens tous ces types d'espace sont-ils solidaires, en quel sens sont-ils distincts ? Tout d’abord, rien ne nous empêche d’étudier une multiplicité à la fois du point de vue projectif et du point de vue métrique; il n’y a là contradiction que dans la mesure où nous choisissons des types de coordonnées spécialement adaptés à l’un ou l’autre point de vue, et où nous attribuons à l’espace certains caractères en accord avec eux. Localement, le même espace peut être métrique et projectif. Ces deux types d'espaces sont compatibles et associables.

En second lieu, il peut arriver que deux espaces en apparence différents se confondent en réalité ou se ramènent l’un à l’autre. Il est bien clair que deux multiplicités ne différant que par la manière d’écrire les variables, l’une les notant x, y, z, l’autre «, 8, y, ne sont pas spécifiquement. distinctes. Pourquoi? parce qu’il suffit par exemple de poser x = «%, y=8, z—Y, pour qu’elles soient indiscernables. Or, qu'est cela, sinon le plus simple des changements de variables? Par là, nous sommes amenés à dire : deux géométries, ou si l’on préfère, deux espaces ne sont pas distincts quand ils se réduisent l’un à l’autre par.simple changement. de variables. L'interprétation physique de cette assertion est simple : les points matériels peuvent être caractérisés au moyen de divers types de coordonnées, mais les propriétés géométriques des figures qu’ils constituent subsistent en dehors de tout système particulier de coordonnées. Il est naturel de transférer cette conclusion au cas où la notion de point n’est rien en dehors des coordonnées qui le définissent., La chose est d'autant plus normale que nous changeons souvent de coordonnées à l’intérieur même d’un espace donné, c’est-à-dire que nous considérons des nombres nous permettant de revenir, par une méthode régulière, aux nombres fondamentaux. Ces changements de variables nous permettent souvent de simplifier les démonstrations, de les abréger, de nous éclairer par des analogies intuitives ou algébriques. Ils nous permettent aussi, dans une certaine mesure, de classer les propriétés des figures d’après la nature des coordonnées qui en simplifient l’énoncé, et l’on peut essayer d'associer aux divers types de géométries des types privilégiés de coordonnées; c’est ainsi que nous pouvons chercher à définir des coordonnées invariantes dans le groupe de transformation correspondant. Prenons par exemple des coordonnées tétraédriques, et consiäérons comme d’un seul bloc l’ensemble du tétraèdre fondamental et des figures définies par de telles coordonnées; dans une transformation projective, celles-ci sont conservées. Les propriétés qu’elles traduisent, et qui lient les figures en jeu au tétraèdre fondamental sont donc projectives (on montre aisément, d’ailleurs, qu’elles se réduisent à des rapports anharmoniques). De même, les coordonnées pentasphériques sont invariantes dans une inversion quelconque. L'emploi de certaines coordonnées nous conduit d’ailleurs souvent à préciser la géométrie d’une manière en quelque sorte synthétique, par exemple à introduire des points considérés a priori comme impropres, et à fixer leur disposition : si nous considérons le plan projectif comme l’ensemble des rapports

21 : de: 2, il est naturel d’admettre la valeur 0 pour les trois coordonnées, et nous sommes amenés ipso facto à définir les points à l'infini et la connexion unilatère du:plan. Si nous prenons des coordonnées barycentriques, la convention dé langage qui place les points à linfini sur une droite semble presque inévitable.

Mais les changements de coordonnées sont de nature très diverse. Le cas le plus simple est celui d’un changement de variables explicite de la forme x'x = f, (ti) ; c’est ainsi que nous passons des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires ou à des coordonnées curvilignes quelconques. Les expressions métriques peuvent alors se simplifier. Il en est de même en géométrie différentielle où l’adoption des géodésiques ou des lignes de courbure comme réseaux de coordonnées peut ramener le ds à une forme canonique. Mais il peut arriver que les nouvelles coordonnées ne soient définies qu'implicitement en fonction des anciennes, sans qu’il y ait intérêt à les expliciter. Il suffit d’avoir une méthode pour revenir aux nombres fondamentaux, ou du moins que l’on sache que la correspondance est bien déterminée. Ainsi l’on usera de coordonnées surabondantes, liées entre elles par des équations, ou rattachées aux valeurs fondamentales par des règles de calcul adéquates. Il se peut alors que des relations géométriques compliquées prennent une forme simple. On peut user aussi, comme nous l’avons vu, de changements de variables complexes.

Donnons quelques exemples pour éclairer ceci. Considérons les points du plan.

Pour rendre homogènes les équations les plus simples, on est amené à introduire au lieu des variables x, y, des coordonnées 2, 4, x: telles

que T = 0 Fe . Pour symétriser les. rôles respectifs des variables, QE 3

nous pouvons introduire directement à côté de x et de y une coordon-

née ,, sans influence sur le point considéré. Nous aurons alors la trans-

formati écipr PPS ES ù 1 ormation réciproque Zi =— %—=— %X,—=p f d

CRT Fes G0 pe 1

nous pourrons écrire aussi bien : Z—ço%, y—oX:, 1 = 94.

Nous obtiendrons des coordonnées projectives plus générales en effectuant une transformation linéaire sur les précédentes, et en posant Xi; = Qi di + Qi Ar + ax x, ; les formules qui donnent x, y, e, en fonction des X; seront parfaitement réciproques de celles qui donnent les x; en fonction de x, y, 0.

Si maintenant, nous convenons d’attribuer à un point du plan les coordonnées du point d’une sphère unité auquel il correspond par projection stéréographique, nous aurons trois coordonnées x, y, z liées par la relation 2° + y° L z° = 1. Prenons les points de la sphère en coordonnées homogènes, nous obtiendrons pour ceux du plan quatre coordonnées, liées par une équation explicite, et qui ne seront définies qu’à un facteur commun près; elles seront dites tétracycliques.

On nous permettra de renvoyer pour plus de développements au fascicule que M. Müller, dans l'Encyclopédie des sciences mathématiques, a consacré aux différents systèmes de coordonnées.

Les coordonnées surabondantes peuvent avoir, comme on le voit par l’exemple précédent, un sens intuitif très simple, lié à l’existence de. ‘dimensions supplémentaires. Nous sommes alors amenés à dire qu’un espace se réduit à un autre quand il est possible de construire une image ‘de l’un dans l’autre, de telle manière que les éléments et les relations de même nom se correspondent. La chose est surtout possible quand le second a plus de dimensions que le premier, et que celui-ci peut être représenté comme baigné dans celui-là. C’est ainsi qu’une demi-sphère est, dans l’espace euclidien, l’image du plan elliptique.

Nous pouvons aussi faire correspondre les éléments d’un espace aux coordonnées d’une figure d’un autre espace. L’exemple le plus simple est ici celui de l’espace tangentiel ou de l’espace réglé par rapport à l’espace ponctuel. Un espace tangentiel est formé de plans, mais qu’estce qu’un plan? Ce peut être un ensemble de trois nombre (p, q, r) destinés à garder leurs symboles propres. Ceci n’a de sens que s’il existe d’autres nombres définissant par exemple les points; en effet, si nous n'avions affaire qu’à un seul type d’éléments, il n’y aurait pas plus de raison pour les nommer plans plutôt que points. Un espace ne peut être dit tangentiel que s’il est en même temps ponctuel. Dans ce cas, l’équation px + qy + rz + 1 = 0 ne définit ni un ensemble de points ni un ensemble de plans, mais l’appartenance réciproque d’un point et d’un plan. Il n’y a là, d’ailleurs qu’un mode de langage ; peu importe au fond que nous nommions les p, qg, r, plan ou paramètres caractéristiques d’un plan. En fait, cette multiplication des indéfinissables n’est que provisoire. Ce qui nous intéresse, c’est de pouvoir transcrire les théorèmes sur les plans, pris intrinsèquement, en théorèmes sur les plans, considérés comme lieux de points, de passer des ensembles de plans aux surfaces qu'ils enveloppent. C’est à cette condition que le principe de dualité est fécond.

Parler d’un espace tangentiel, d’une manière absolue, c’est donc ne rien dire; nous voulons dire simplement, quand nous parlons de raisonner dans l’espace tangentiel, que nous mettons en évidence les coefficients des plans ponctuels, que nous les représentons par üne notation particulière, pour la commodité du discours, et que nous précisons les relations qui lient ces coefficients lorsque les ensembles de points corréspondants ont entre eux certaines relations.

Le cas de l’espace réglé nous montrera les divers aspects de la notion d’espace (1). Il est formé de droites. Nous pouvons poser par définition qu'une droite est l’ensemble de quatre nombres désignés par une notation spéciale. En fait, il est plus commode d’adopter des coordonnées homogères, que l’on désignera par rx, les rix étant symétriques gauches, et liés par une équation w(r) = 0. Un simple changement de variables complexes nous permettrait de passer aux coordonnées kleinéennes, qui vérifient une équation Q (x) — È x —o. Nous pourrions tout aussi bien prendre des coordonnées du type æ'i = xi + À x avec 2 — 032 + 03 — 1, À} étant un paramètre indifférent, comme l'était dans le cas des cocrdonnées homogènes (ceci revient à représenter une droite par ses cosinus directeurs et les coordonnées cartésiennes d’un de ses points). Tant que nous n’avons affaire qu’à des éléments de

(1) Voir : Kœnigs. La géométrie réglée.

l'espèce des rx , notre espace n’est pas plus réglé que ponctuel ou pla-naire, et la condition de sécance de deux droites, qui est l'annulation de la forme polaire correspondant à w (r), exprimerait tout aussi bien une: relation entre points ou entre plans. Il ne devient tel qu’au moment où nous introduisons des points, et où nous nous donnons la correspondance des droites et des points. Par exemple, si(xi 2 Xi 2), (2 aa &'a æ's) sont deux points, la droite les joignant aura pour coordonnées rik les.

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Deux droites sécantes déterminent un point. Elles déterminent aussi un plan, et inversement, deux plans, comme deux points, déterminent unedroite, et les ry, s'expriment en fonction des coordonnées des plans exactement de la même manière qu’en fonction des coordonnées des, points. Nous avons donc là un autre aspect de la dualité. Toute figure: de droites détermine donc une figure de plans et une figure de points, et à chacune de ses propriétés correspondra respectivement une propriété de celles-ci, les théorèmes correspondants étant exactement homologues; ils coïncideront aux mots points et plans près, et ils pourront être résumés dans l’énoncé portant sur les droites, prises intrinsèquement. Mais ceci n’a d’intérêt que dans la mesure où les plans sont définis. comme figures ponctuelles, de telle manière que le double énoncé, qui ne différerait sans cela que par le nom des variables, détermine deux théorèmes ponctuels différents, portant par exemple sur une surface lieu de points et sur une surface enveloppe de plans ponctuels.

Nous comprenons ainsi à la fois comme l’idée d’espace réglé prise absolument n’a pas de sens, et comment cet espace est corrélatif de. l’espace ponctuel et coïncide avec lui.

Ce qui fait le caractère propre d’un espace algébrique, ce n’est donc aucunement la nature des objets dont il est formé, l’intuition particulièredont il serait l’approfondissement; à cet égard, il n’y à qu’un seul espace.. celui des nombres réels. La diversité ne s’introduit qu'avec celle, purement formelle, des géométries, et celles-ci se caractérisent, suivant lepoint de vue adopté, soit par les principes de la construction axiomatique directe, soit par le groupe fondamental qui définit l’équivalence des. figures.

Quand dirons-nous qu’une géométrie se réduit à une autre ? Quand’ il est possible d’en construire en celle-ci une image, de telle manière que les éléments de la première soient définis comme figures de Ja seconde, les axiomes devenant alors des théorèmes. Si deux géométries: se réduisent respectivement l’une à l’autre, elles sont équivalentes, et l’on peut dire qu’elles caractérisent le même espace engendré seulement à partir d'éléments différents. Du second point de vue, il faut que le groupe fondamental de l’une soit déterminé par celui de l’autre, quand on interprète les éléments de la première comme coordonnées de figures de la seconde. Cette interprétation et cette réduction supposent que les: groupes ont même structure, c’est-à-dire même loi de composition de leurs opérations (1).

Les géométries irréductibles qui se présentent alors ne correspondent en rien aux diverses espèces de noms que l’on attribue souvent à:

1! (Mi T'x Lx Li):

(1) cf. Cartan. Revue du mois. 10 Avril 1914. p. 449.

lPespace : métrique, réglé. euclidien, et aux divisions correspondantes : la géométrie de la gerbe euclidienne est celle du plan elliptique, la géométrie hyperbolique à deux dimensions se réduit à celle des surfaces à courbure négative constante, la géométrie métrique peut se réduire à la géométrie projective dans un espace à nombre plus élevé de dimensions. Les types de géométries ainsi caractérisés sont purement formels,

et ne répondent pas à une classification naturelle et intuitive de leurs objets.