CHAPITRE TI

La construction en termes finis

L'exemple de la géométrie ordinaire montre, de la façon la plus simple, comment s’introduisent les déterminations numériques qui en définissent les divers degrés. Parmi ceux-ci, on en considère d’ordinaire essentiellement deux qui correspondent à la FOIE projective et à la géométrie métrique.

$S 1. —— La géométrie projective.

La première a pour relation fondamentale le rapport anharmonique de quatre éléments colinéaires, dont Pappus avait déjà montré le caractère projectif. On sait qu’il a pour expression [æ: % %3 %&] = mn = ee différences (x; — ax) pouvant être remplacées FR La — T2 par les distances euclidiennes. Cette expression ne suppose aucune notion métrique, puisque les x; ne sont pas a priori des distances, mais de simples coordonnées, et que ni la longueur d’un segment, ni l’angle de deux droites ne sont encore définis. Nous pouvons alors définir constructivement le rapport anharmonique de quatre plans passant par une même droite, ou de quatre droites coplanaires et concourantes, comme celui des points d’intersection de ces droites ou de ces plans avec une droite quelconque. Le groupe correspondant est celui des collinéations. On peut donc dire indifféremment que les propriétés projectives des figures sont celles qui se conservent dans une collinéation ou celles qui s’expriment au moyen de rapports anharmoniques associant certains des points dont elles sont formées.

La géométrie projective conserve la dualité qui existe dans les relations d’appartenance des points et des plans, et dans les propriétés axiomatiques qui les définissent en géométrie élémentaire. Ces deux notions jouent un rôle exactement symétrique. Le rapport anharmonique de quatre plans s’exprime en fonction de leurs coordonnées propres de la même manière que celui de quatre points en fonction des leurs. Tout

théorème ponctuel correspond donc à un théorème tangentiel qui, lorsque l’on considère les plans comme des lieux de points, équivaut à un autre théorème ponctuel. L'avantage de cette dualité est double, logique et intuitif, car chaque démonstration détermine en réalité deux énoncés, et l'intuition qui peut nous faire défaut quand il s’agit de l’un d’eux peut nous guider de la manière la plus heureuse quand il s’agit de son corrélatif, Nous avons vu que la dualité des points et des plans se manifeste d’une manière également intéressante dans l'interprétation des théorèmes réglés. ;

Que nommerons-nous espace projectif? L’ensemble des points et de leurs figures, considérés uniquement dans leurs rapports projectifs. C’est dire que rien n’est déterminé par là touchant son étendue et sa forme. Mais nous n’avons aucune raison a priori d'identifier des points naturellement différents, l’espace projectif normal est celui des nombres illimités. Comprend-il des points à l’infini, ces mots n’ayant bien entendu aucun sens métrique? Il s’agit simplement de savoir si nous considérons comme éléments propres les points de coordonnées infinies, et c’est là, évidemment, une simple affaire de convention. Convention utile, parce qu’elle permet de symétriser certains énoncés, convention presque inévitable si nous prenons des coordonnées homogènes; en effet, il semble naturel de ne pas exclure la valeur 0, pourvu qu’elle ne soit pas prise à la fois par toutes les variables (1).

Comment les points à l'infini sont-ils distribués? Ici encore, la réponse est conventionnelle et dépend des coordonnées adoptées. En coordonnées homogènes ou plus généralement projectives (pour lesquelles les éléments à l'infini vérifient une équation linéaire), nous sommes amenés à les placer sur un plan; en coordonnées polaires, nous les placerions volontiers sur une sphère. Ce ne sont là que des dénominations factices, car c’est sur un plan sans direction, une sphère sans courbure. Des analogies géométriques peuvent nous guider dans le choix de nos conventions. Associons par projection centrale les points du plan projectif à ceux d’une demi-sphère tangente. Les demi-grands cercles correspondent aux droites déterminées sur le plan projectif par l'intersection du plan qui contient le centre de projection et le demigrand cercle qui est en jeu. Or, les éléments à l'infini correspondent à un grand cercle, il est donc normal de les situer sur une droite. Mais associons le plan à la sphère toute entière par projection stéréographique, dont le centre est le pôle opposé au point de contact : les éléments à l'infini correspondent à un seul point, et nous pourrons les considérer comme constituant un seul point. Nous pourrons d’ailleurs, d’un autre point de vue, revenir à l’ancienne convention : il nous suffira d’observer que les droites par lesquelles nous pouvons associer les points du plan à ceux de la sphère se disposent dans un plan quand nous faisons correspondre le sommet de celle-ci aux éléments à l’infini de celui-là, et que l'intersection des deux plans peut être, par continuité, nommée droite.

Le véritable intérêt de ces conventions de langage est lié au rôle que jouent les points à l'infini dans la définition de la métrique, et à

(1) Il en est de même si l’on considère l’espace projectif comme l’ensemble des transformés d’un point dans une homographie quelconque.

catch Ltée

‘leur invariance dans les déplacements. Il convient alors de leur adjoindre certains éléments imaginaires, également à l'infini : les points cycliques, ‘imaginaires conjugués, dont les coordonnées sont, dans le cas du plan ‘(: + i: 0). Joints à un point réel quelconque, ils déterminent deux droites imaginaires conjuguées, dites isotropes, qui possèderont, après l'introduction des concepts métriques, la propriété d’avoir une longueur nulle, et d’être invariantes dans une rotation autour du point origine.

Les éléments à l'infini de toutes les directions du plan étant situés sur une seule droite, il est naturel de considérer le plan comme fermé suivant cette droite. On constate alors qu’il n’est pas orientable; il est du type des surfaces unilatères comme le feuillet de Mœbius. Entendons par là qu’il résulte de l’emploi des coordonnées homogènes le fait suivant : une indicatrice déplacée le long d’une droite et s’éloignant à l'infini, tandis que +: tend vers 0 revient inversée de l’autre extrémité -de la droite, x; recommençant à croître en valeur absolue, après avoir changé de signe : elle s’est donc inversée sur la droite de l’infini (1). Cette propriété ne se retrouve pas quand le nombre de dimensions de l’espace est impair.

$ 2. — La géométrie métrique.

Passons à la géométrie métrique, ce qui, dans l’ordre axiomatique, correspond à l’introduction des axiomes de congruence. Nous pourrions définir directement le groupe des déplacements, mais il est plus simple de définir directement la distance, en posant

IMM'|= + V @—2) + QG — y).

Les propriétés métriques ne feront intervenir que des expressions formées avec des distances ponctuelles, elles seront invariantes dans un déplacement. On peut alors vérifier directement les propriétés métriques essentielles de la droite. On voudrait pouvoir définir une relation symétrique entre deux droites, qui serait la mesure de leur angle, qui s’exprimerait par la même formule en fonction de leurs coordonnées propres, et qui serait invariante dans les mêmes transformations que les longueurs; ainsi toute transformation conforme serait isométrique, et inversement. Mais la chose n’est pas possible, et la fonction la plus simple des coordonnées de deux droites invariante dans un déplacement du type

ab'—ba ad +bb’ définition ordinaire de l’angle par l’arc qu’interceptent, sur une circon- ‘férence de rayon unité, les deux demi-droites en jeu.

précédent est de la forme tg 0 — (2). Elle correspond à la

() Si l’on fait correspondre le plan projectif à une demi-sphère tangente, par projection centrale, le sens intuitif de la propriété devient évident. (2) Dans l’espace, nous aurions les fo#mules suivantes, pour la distance “de deux points et l’angle de deux plans.

MM Ga) + —y + G 2

tro (ab/—ba’)?+(ac'—ca)+(bc'—cb’)° RUR aa/ +bb'+cc’

Il est alors possible de justifier toutes les propriétés fondamentales. des congruences, et par là même la géométrie métrique abstraite.

La géométrie métrique, à l'inverse de la projective, n’est évidemment pas dualiste, les formules précédentes le montrent. Ce fait se manifeste: en toute circonstance, et quel que soit le langage adopté. Il y a unedifférence très nette entre l’expression des rotations autour d’un point et les translations le long d’une droite. Exprimons l’angle et la distance sous forme de rapports anharmoniques. La formule de Laguerre nous.

Su RC EURE ; 1 apprend que l’angle peut être défini comme le produit par oi du loga-

rithme du rapport anharmonique des deux droites en jeu et des droites isotropes passant par leur intersection : = 5 log [uv HJ]. Nous pouvons.

représenter par ailleurs la distance de deux points par l’expression |OMI = {MIOL], L étant le point à l'infini de la droite, I un point de cette droite tel que OI serve d’unité. La différence est alors manifeste : le logarithme imaginaire correspond au caractère périodique de langle; le point à l’infini est unique et réel, il y a deux droites isotropes imagjinaires. Les éléments critiques diffèrent donc radicalement (1). Il y a par ailleurs symétrie dans leur rôle métrique respectif : deux droites passant par le point à l'infini forment un angle nul, deux points d’une droite isotrope sont à distance nulle; une rotation conserve les droites isotropes passant par son centre, une translation conserve le point à l’infini passant par son axe. Est-il besoin de dire que la dissymétrie des éléments. critiques traduit celle des définitions métriques, et n’en rend pas raison ?

La non-dualité de l’espace euclidien se réflète dans l’existence de figures semblables non-superposables, dans les propriétés des parallèles. Le concept de parallèles, dans la mesure où il se réduit à celui de droites non sécantes, n’est pas métrique à proprement parler. Il est défini dès qu'est définie la notion de droite, c’est-à-dire avec les concepts projectifs. Mais dans le plan projectif complet, la droite de l’infini n’a aucun privilège, et nous pouvons dire que toutes les droites se coupent. Il n’en serait pas de même si nous ne considérions qu’une portion limitée de ce plan. D’un autre point de vue, on peut dire que la notion de parallèles. est affine, parce que, dans le plan affine, la droite de l’infini joue un rôle privilégié. Dans l’espace affine complet, il y a des droites qui ne se coupent pas à proprement parler. L’introduction des concepts métriques permet d'attribuer aux droites parallèles une série de propriétés locales remarquables, qui se dissocieront dans les espaces non-euclidiens : elles sont équidistantes, d'angle nul, se coupent à distance infinie, admettent une infinité de perpendiculaires communes, procèdent les unes des autres par translation. Or, nous ne pouvons définir de points ayant des propriétés homologues : deux points réels ne sont pas joints par une droite isotrope, deux faisceaux ponctuels ont toujours un rayon: commun. +

Le caractère non-dualiste de la métrique se justifie tout naturellement

(1) Klein a donné pour les distances une expression plus homogène, mais.

également très différente de celle de l’angle.

ser ed idotiétidite

si l’on se réfère à l'expérience. Celle-ci nous montre dans les déplacements des solides des transformations qui respectent les longueurs et les angles euclidiens : or, il y a une unité d’angle naturelle, mais pas d'unité naturelie de longueur; la droite physique est ouverte et indéfinie, l’angle autour d’un point admet un module d’addition fini. Sans doute nous. pourrions adopter une autre définition des angles qui serait symétrique de la définition euclidienne des distances, mais elle ne serait d’aucun usage physique, et, algébriquement, les transformations qui conserveraient les angles ne conserveraient pas les longueurs, et réciproquement.

Quel est maintenant le lien de la géométrie métrique et de la géométrie projective? Dans le cas euclidien, il est très étroit : les transformations isométriques sont un sous-groupe du groupe projectif et il est naturel de passer de celui-ci à des transformations plus spéciales, similitudes, déplacements, retournements. Historiquement, les propriétés. métriques ont été étudiées les premières, et cela est naturel, car l’expérience les met en évidence avant les autres. Si les droites n’avaient pas un sens métrique, elles ne nous intéresseraient pas plus que les spirales logarithmiques ou les hypocycloïdes. Dans un espace riemannien, il existe toujours des courbes données par des équations linéaires, dont les figures vérifient les propriétés de la géométrie projective, mais, si elles ne sont ni des géodésiques, ni des lignes de courbure, ni des courbes quelconques métriquement remarquables, nous ne nous en soucions guère.

Il est facile de définir métriquement le rapport anharmonique de quatre éléments, comme un simple rapport entre leurs distances respectives. Inversement, nous pouvons présenter la distance de deux points comme un cas particulier du rapport anharmonique de quatre points il suffit, par un procédé quelconque de déterminer deux de ceux-ci en fonction des deux autres; la relation entre quatre variables dégénère en relation entre deux. Toute métrique ainsi déterminée est dite projective. On voit en quel sens on peut dire que le plan projectif devient métrique et euclidien, quand on introduit la droite de linfini : cette droite existe indépendamment de toute métrique, mais il faut entendre : quand on convient d'introduire ia droite de linfini dans la définition projective de la métrique. Dans l’ordre purement algébrique, cette réduction n’a d'intérêt que par les généralisations qu’elle suscite.

Dans l’ordre axiomatique, au contraire, il est curieux d’observer que nous pourrions construire, avec des notions purement projectives, un certain modèle de métrique, ou, si l’on préfère, un certain repérage de la multiplicité, qui équivaut à une définition des distances. On y arrive en généralisant la célèbre construction du quadrilatère de Staudt, par laquelle, à l’aide de simples intersections de droites, on construit le quatrième harmonique de trois points colinéaires. (L’unicité de cette construction dans le plan ne peut être d’ailleurs démontrée que si l’on admet le théorème de Desargues, et, par là, que si l’on fait appel aux concepts projectifs de l’espace. Hilbert l’a démontré en inventant une géométrie plane où ce théorème est nié.) Nous pourrons alors définir, d’une manière purement nominale, une relation que nous appellerons distance, de telle manière que toute proposition sur les distances se réfère à des opérations complexes du type précédent; nous aurons ainsi défini une métrique projective abstraite, où seront démontrés des énoncés correspondant aux axiomes de congruence.

$ 1. — Comment on peut modifier la géométrie classique.

Un corps axiomatique donné peut être modifié de plusieurs manières. Nous pouvons tout d’abord l’élargir ou le restreindre, en introduisant ou en supprimant certains concepts, ceux-ci portant soit sur des objets, soit sur des relations, soit sur des opérations. Ainsi nous introduirons des dimensions supplémentaires, c’est-à-dire des points nouveaux; des symboles comme le nombre i ou le nombre <; nous adjoindrons aux concepts projectifs les concepts métriques de distance et d’angle, etc.

Nous pouvons ensuite changer les axiomes, soit en en supprimant, soit en en ajoutant, soit enfin en les remplaçant par d’autres, de même généralité, mais de sens différent. Suivant les cas, nous aurons généralisé, spécifié, ou simplement varié notre géométrie primitive.

Nous pouvons introduire des axiomes nouveaux sans concepts nouveaux, mais non inversement, et c’est un point délicat, nous l’avons montré, que de savoir si l’on peut reconnaître directement si les nouveaux axiomes équivalent ou non dans le domaine des notions anciennes, à une modification des axiomes anciens, c’est-à-dire à une: spécification.

D'autre part, il ne faut pas confondre la généralisation directe d’une géométrie avec sa généralisation abstractive, qui consiste à établir un modèle abstrait capable de représenter, relativement à un ensemble spécial de propriétés, les éléments sur lesquels elle porte.

Dans le cas d’une géométrie algébrique, les deux types de modification se retrouvent, mais non parallèlement. En effet, l’introduction des concepts nouveaux et celle des axiomes correspondants sont confondues, les concepts étant définis constructivement et non par postulats. Si je change la définition de la distance, toutes les propriétés de la notion nouvelle sont ipso facto déterminées. Je ne puis donc introduire d’axiomes nouveaux relatifs à un concept donné; tout au plus puis-je refuser de considérer parmi les grandeurs qui vérifient une certaine définition celles qui ne satisfont pas à une condition supplémentaire. Tout se résout donc en changements de définitions.

Toute géométrie est modifiable, et nous avons vu, à propos des espaces abstraits, comment les propriétés les plus élémentaires pouvaient être dissociées et changées séparément. Hilbert a montré que l’axiome d’Archimède pouvait être nié, et l’on trouvera dans Gonseth (1) un modèle géométrique de la droite non-archimédienne. De même rien n'empêche de modifier les axiomes de la géométrie projective et de trouver des figures algébriques vérifiant identiquement les propriétés homologues. Mais ne considérons ici que les généralisations de la géométrie proprement métrique. En effet, elles ont été entreprises les premières, et ont été l’objet des recherches les plus complètes. Elles seules d’ailleurs ont paru jusqu'ici devoir jouer un rôle en physique.

Autant il y a de points de vue possibles sur la géométrie métrique, autant il y a de propriétés caractéristiques de l’espace euclidien, d’expressions possibles des définitions métriques, autant il y a de points de

(1) Les fondements de la géométrie, p. 37.

“départ pour une généralisation. Bien souvent d’ailleurs, les généralisations ainsi introduites seront, au moins partiellement, équivalentes. Les mathématiciens ont, en général, été guidés par quatre intentions :

a) Changer directement les axiomes et les définitions de la manière la plus simple possible, en particulier par simples négations où par simples changements de signes.

b) S'inspirer des propriétés des géodésiques d’une surface, les droites étant les géodésiques du plan, en choisissant les surfaces les plus simples et ayant avec le plan le plus possible de ressemblances.

c) Prendre les expressions métriques sous la forme qui les rattache aux expressions projectives, de telle manière que les diverses métriques apparaissent comme des spécifications d’une même géométrie projective,

d) Spécifier directement les groupes caractéristiques, au moyen de leurs propriétés formelles, et ne passer qu’ensuite à leurs invariants.

Les géométries de Lobatchewsky et de Bolyai sont, dans l’ordre -axiomatique, un exemple du premier procédé, puisqu'elles se contentent de changer directement le postulat d'Euclide en un postulat de forme semblable et de contenu différent. Dans l’ordre algébrique, nous pourrions définir, en termes finis, la distance de deux points au moyen d’une