D ÉCURIES

expression arbitraire comme A =4/ Z(x;, — x; “Une-telle géométrie n'aurait qu’un intérêt formel ou matériel très médiocre. Rien ne nous -empêcherait de même d’étudier les transformations de plans qui laissent invariants les angles définis par 0= V(a—a)+(b—b')"+(c—c); a, b, c -étant les coordonnées des plans dans l’espace. En fait, la géométrie s’est surtout généralisée de deux manières : d’une part, en termes finis, en corrélation avec la métrique projective; d’autre part, en termes différentiels, en corrélation avec la théorie des surfaces.

Considérons d’abord la première; distances et angles sont donnés par des rapports anharmoniques assez dissemblables : la mesure des distances est déterminée dans l’ensemble du plan par la droite de l'infini (lieu des points à l’infini de toutes les droites); la mesure des angles dépend des points cycliques I et J (intersections de toutes les droites isotropes passant par tous les points). Or, une droite est la dégénéresceïce ponctuelle d’une conique, deux points sont la dégénérescence tangentielle d’une conique. Il semble donc naturel de considérer le cas de coniques non dégénérées. Les droites isotropes seraient les tangentes menées d’un point à une conique, les points à l’infini seraient les intersections d’une droite avec une conique, et les deux coniques pourront -coïncider. On supposera même, par raison de simplicité, qu’elles coïncident. Tel est le point de vue cayléen, suivant lequel la géométrie noneuclidienne dérive de l’application d’une certaine métrique au plan pre jectif ordinaire.

Nous obtiendrons alors divers types de géométrie suivant la nature de la conique et sa position par rapport au domaine mesuré. Or, le domaine mesuré peut être intérieur ou extérieur à elle, et la conique elle-même peut être réelle ou imaginaire, dégénérée ou non, et en ce -dernier cas, elle peut être une ellipse ou une hyperbole.

Si la conique est imaginaire, tous les points du plan réel forment le

domaine mesuré, Le plan est dit elliptique; les intersections d’une droite avec la conique sont imaginaires, de même les tangentes qui lui sont menées. Les logarithmes des rapports anharmoniques sont donc imaginaires, et pour avoir des distances et des angles réels, il faut les multiplier dans les deux cas par un coefficient imaginaire (contrairement à ce qui a lieu en géométrie euclidienne), En principe, la dualité est donc établie dès l’origine. Ce cas correspond à la transposition sur le plan de la métrique de ia sphère.

Si la conique est réelle, nous sommes en présence d’une métrique hyperbolique. Deux cas se présentent : ou bien le domaine réel est pris à l’extérieur (dans le cas d’une hyperbole entre les deux branches). Alors les deux tangentes et les deux intersections sont réelles, et nous avons encore une métrique dualiste (tout à fait différente d’ailleurs, en général, de la géométrie courante, et inutilisable). Ou bien le domaine réel est pris à l’intérieur, alors les tangentes sont imaginaires et les intersections. réelles. Dans les deux cas, si les points intérieurs sont réels, les points extérieurs sont imaginaires, et inversement, la conique jouant le rôle de lieu des points à distance infinie. Un cas particulier est celui de la parabole, qu’une droite coupe ên un seul point et à laquelle on ne peut mener qu’une tangente.

Il arrive que les coniques fondamentales dégénèrent en droites et en points. Nous avons alors des métriques particulières, et des expressions particulières de la distance et de l’angle. Mais dans cette dégénérescence, il faut savoir ce que deviennent les intersections avec une droite, les tangentes passant par un point. Cela apparaît immédiatement au premier cas, si l’on prend la conique en coordonnées ponctuelles, au second si on la prend en coordonnées tangentielles. Mais les deux nous importent également, il faut donc en tenir également compte, et la dégénérescence ne sera définie que si nous la donnons à la fois ponctuellement et tangentiellement. Divers cas se présentent alors ; la conique donne :

a) Ou bien deux droites réelles, avec un point réel d’intersection (à l'infini ou non) ;

b) Ou bien deux droites imaginaires conjuguées, avec un point d’intersection réel;

c) Ou bien une droite réelle avec deux points réels;

d) Ou bien une droite réelle avec deux points imaginaires conjugués;

e) Ou bien enfin une droite réelle avec un point réel.

(I ne peut y avoir deux éléments imaginaires conjugués de chaque côté, car l'intersection de deux droites imaginaires conjuguées est un point réel, et la jonction de deux points imaginaires conjugués est une droite réelle.)

La métrique euclidienne est un cas particulier de d, celui où la droite réelle est à l’infini, et où les points cycliques sont 1 : à: 0,1: — i: 0. C’est donc un cas limite d’une géométrie inégalement dégénérée. Elle correspond à une mesure elliptique de l’angle, et à une mesure parabolique de la distance. Elle a pour symétrique par corrélation la métrique b,. où l’angle n’a plus d'unité normale, mais où la distance en a une.

On remarquera que la géométrie elliptique est parfaitement dualiste,

en ceci que distances et angles sont donnés par des expressions sem

blables, avec des coefficients également imaginaires et qu’il est aisé d’égaliser. La métrique hyperbolique n’est dualiste que pour les points situés à l’extérieur de la conique.

On peut généraliser pour l’espace à trois dimensions et définir une quadrique fondamentale, On considérera alors comme éléments fondamentaux l’angle de deux plans et la distance de deux points. Le premier sera déterminé par le rapport anharmonique des deux plans en question et des plans tangents à la quadrique menés par leur intersection. De même la distance sera donnée par le rapport anharmonique des deux points et des intersections. avec la quadrique de la droite qui les joint. Il y a cette fois 28 géométries possibles, avec beaucoup de variantes : ainsi parmi les quadriques réelles nous avons l’ellipsoïde, le paraboloïde hyperbolique, le paraboloïde elliptique, l’hyperboloïde à une ou deux nappes, le tore. Et les formes dégénérées sont multipliées, car une quadrique peut dégénérer en cône, en système de plans avec une ou deux droites, en un plan avec une conique, ou une ou deux droites.

Nous pouvons, dans ces conditions, définir très facilement les divers sous-groupes du groupe qui transforme en elle-même la conique absolue. Considérons (1) en effet les homographies correspondantes, appliquées à des coordonnées homogènes :

z' — dx + 2ab y + b’°z y" —= aux + (ab’ + ba) y + bb'z oz” = ax + 24b'y + b”°z Si ab’ — ba est positif, nous avons des déplacements.

Si ab’ — ba est négatif, ils sont suivis d’une symétrie.

Dans le premier cas, si l’homographie a des points doubles imaginaires, nous avons une rotation. Si elle a des points doubles réels, nous avons une translation. S'ils sont confondus, les droites passant par ce point, et qui sont les parallèles de Lobatchewsky, sont inchangées. Chaque point du plan décrit un horycycle.

Nous avons dit que dans la notion de parallèles euclidiennes étaient rassemblés une série de caractères : jonction à l'infini et à distance infinie, angle nul, équidistance, droites qui se transforment en ellesmêmes par la même translation. Or, il est possible de définir en chaque point, en géométrie non-euclidienne, des droites qui se rejoignent à distance infinie, ce sont par exemple les parallèles de Lobatchewsky généralisées, ayant même intersection avec la quadrique absolue. Mais toutes les parallèles à une même droite ne sont pas transformées en elles-mêmes par une même translation. Par contre, il est possible de définir des droites qui, sans se couper à distance infinie, jouissent de la dernière propriété : ce sont les parallèles de Clifford, qui conservent un certain nombre des propriétés classiques : elles sont équidistantes en tous leurs points, elles ont une infinité de perpendiculaires communes.

() Cf Cartan. Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, p. 157.

On a = ee 2,4 étant un paramètre en fonction duquel les points de la conique absolue s’expriment rationnellement, a, b, a, b', correspondant à Vh hope enr

omographie = 5

On aurait pour l’espace des formules correspondantes.

qui échange avec eux-mêmes les points de la conique

Soit une droite A. Elle coupe la quadrique absolue en deux points. Par chacun de ces deux points passent deux génératrices appartenant respectivement aux deux systèmes de la quadrique. Nommons-les g et 92 g'1, Q'2 Par un point P passent deux « parallèles » à À ; l’une s’appuiesur gi, gi, l’autre sur g:, g' Deux droïtes ainsi « parallèles » ne sont jamais coplanaires.

Considérons un système formé de deux parallèles de première espèce et de deux parallèles de seconde espèce. Elles forment un parallélogramme gauche, où la somme des angles vaut 2x, et dont tous les. points parcourent le même segment dans une translation.

Il est possible de définir des parallèles de ce genre dans la géométrie hyperbolique, mais par un point réel ne passent que des parallèles. imaginaires conjuguées à une droite réelle.

En résumé, la notion de parallèles euclidiennes se dissocie en deux autres : celles de parallèles de Clifford et celles de parallèles de Lobatchewsky. Par chaque point on peut en mener deux à une droite réelle. Mais en géométrie elliptique, les parallèles de Clifford sont réelles, les. autres imaginaires; en géométrie hyperbolique c’est l’inverse. Si les. deux géométries tendent vers la métrique euclidienne, les deux systèmes: de parallèles se confondent (1).

Dans chacune de ces géométries, certains théorèmes fondamentaux ont des homologues assez caractéristiques. Ainsi, pour ne considérer que les multiplicités à deux dimensions, le théorème sur la somme des angles d’un triangle est changé en géométrie elliptique ou hyperbolique. Nous savons, en effet, que sur une sphère, un triangle curviligne limitépar trois arcs de grands cercles a pour somme de ses angles une grandeur comprise entre x et 2x qui croît avec la surface du triangle. L’excès de cette grandeur sur x est proportionnel à la surface du triangle divisée par le carré du rayon de courbure. Inversement dans le plan elliptique nous pouvons définir le rayon de courbure comme le quotient de l’excès par la surface. (C’est bien ainsi au fond que l’on procède en géométrie différentielle.)

Dans le cas d’une géométrie hyperbolique, la somme des angles d’un: triangle est inférieure à x d’une quantité proportionnelle à l’aire du triangle. Le contenu d’un triangle n’y peut excéder la moitié de l’airetotale du plan hyperbolique.

Ces formules ne se généralisent pas d’une manière régulière, En effet, dans l’espace elliptique à trois dimensions, la somme des angles solides d’un tétraèdre diminuée de celle de ses angles dièdres est égale: à 1. Et il en est de même en géométrie hyperbolique.

$ 2. — Représentations diverses de la géométrie non-euclidienne.

Il est curieux d’observer que d’autres considérations mènent à une généralisation identique. Si nous nous attachons aux généralisations purement axiomatiques de la géométrie euclidienne, nous Shserverons:

(1) On pourrait aussi considérer, en géométrie HA les droites. en nombre infini, qui, passant par un point, ne coupent pas à proprement parler une droite donnée. Mais elles n’ont pas d’intérêt.

qu’elles s’appliquent exactement à certaines surfaces et aux courbes. tracées sur elles. La géométrie de Lobatchewsky-Bolyai vaut pour les géodésiques de la surface de révolution, à courbure négative constante, engendrée par la tractrice (1); celle de Riemann (où il n’y a pas de parallèles) vaut pour les géodésiques (grands cercles) de la sphère, dont la courbure est positive et constante. Si nous établissons entre deux. surfaces une correspondance biunivoque et continue, de telle manière: qu'à toute courbe de l’une corresponde une courbe de l’autre, à deux courbes sécantes de l’une deux courbes sécantes de l’autre, et si nous convenons de prendre pour mesure des angles et des segments de lune: la mesure, au sens courant, des angles et des segments de l’autre, elles: auront évidemment même géométrie métrique.

Supposons que la seconde surface soit le plan. Un cas privilégiésera celui où les courbes de la première correspondront à des droites : c’est ce qui peut arriver pour les géodésiques des surfaces à courbure: constante. Prenons le cas de la sphère et voyons comment, transposéesur un plan, la métrique de la sphère nous pousse à introduire un: rapport anharmonique (2).

Soit une sphère æ°+y°+z=R?. Prenons pour coordonnées projectives; des points d’un plan tangent les trois coordonnées du point de la sphère qui lui est associé par projection centrale; ce seront donc x, y, z, liés. par l’équation x°+y+z=R. Les géodésiques de la sphère correspondent aux droites du plan dont les points ont pour coordonnées æ+Ax,. y+y’, z+)z’; (x, y, 2), (&', y’, 7’) étant les coordonnées de deux points. M et M’ de cette droite. Prenons pour distance A de ces deux points. celle des points homologues de la sphère :

cos NE 2 (xx’ + yy'+zz') RS ne

Considérons le cercle imaginaire x*+y*+7*=0; la droite le coupe aux points N:, N2 : t+hx”, y+hY, ZM et t+Ax, YHÀU", Z+):2, OÙ ethe-

A sont les racines de : X?+ 2) cos B +1 =0.

A DE R RE D'oùe R= [MM'NN,] et A= ;; log [MM'NiN.]

Ainsi, la géométrie de la sphère, que nous savons de type non-

euclidien, est celle du plan où la distance est définie par A = 5;108

[MMN,N,], N, et N, étant les intersections de la droite M M’ avec une conique imaginaire. Nous retrouvons ainsi les formules mêmes auxquelles nous arrivons en généralisant la métrique projective.

Ceci nous amène, par une marche inverse, à chercher quelles images intuitives on peut donner de la géométrie non euclidienne. Car nous sommes jusqu'ici dans le domaine des nombres purs : un point est un ensemble de nombres, une distance ou un angle sont encore des nombres. Mais nous ne pouvons nous satisfaire de cette vue abstraite.

Un premier moyen consiste à prendre un plan repéré en coordonnées. cartésiennes. Les coordonnées de points abstraits correspondent à des-

(1) Ou pour la sphère de rayon imaginaire. (2) Cartan, p. 138.

distances euclidiennes, leurs distances à des fonctions plus compliquées. Dans le cas de la géométrie hyperbolique ordinaire, la conique est une conique intuitive, les droites isotropes sont les tangentes imaginaires qui lui sont menées par un point intérieur, les points à l'infini sont les intersections de la conique avec une droite passant par les points dont on cherche la distance. Un second moyen consiste à associer aux droites du plan et à leur mesure cayléenne les géodésiques d’une surface et leur mesure euclidienne.

Mais rien ne nous oblige à restreindre ainsi cette correspondance. Nous pouvons associer aussi bien les droites du plan à un réseau de courbes quelconques de la surface, pourvu que nous le définissions assez simplement. Ainsi, Poincaré présente un modèle de géométrie non euclidienne où l'intérieur de la conique, supposée circulaire, est la projection d’une demi-sphère. Les droites correspondent aux sections de la demi-sphère par des plans perpendiculaires au plan fondamental (1).

Rien ne nous oblige même à choisir une interprétation où le plan corresponde à une surface, les droites à des courbes. Considérons une gerbe de droites dans l’espace, et la sphère de rayon 1 qui a pour centre leur point de concours. Définissons l’angle de deux droites par Ja distance sur la sphère de leur intersection avec elle. La géométrie des droites et de leurs angles est indiscernable de celle des points de la sphère et de leurs distances, et par là même de celle du plan eliiptique ou du cercle de Poincaré.

Il y a donc une infinité d’objets auxquels, sous des noms divers, on peut attribuer des relations ayant mêmes propriétés que les relations géométriques ainsi définies. Elles sont des figurations intuitives de la géoométrie abstraite. C’est ainsi que la droite non-archimédienne peut être représentée par une bande plane limitée d’une manière particulière.

D'une manière générale, toute figure qui peut être définie par des coordonnées en nombre égal à celui des points du plan peut être associée aux figures de même espèce par des relations auxquelles nous pourrons donner le même nom qu’à des relations géométriques courantes, et qui auront des propriétés plus ou moins comparables. S’il arrive que les relations soient exactement semblables, nous aurons deux géométries identiques : ainsi celle des droites et des points dans le plan projectif, celle des grands cercles et celle des points sur la sphère métrique.

On voit quel sens il convient maintenant d’attribuer à cette expression : l’espace est-il euclidien ou non-euclidien? Elle suppose successivement un repérage et une organisation métrique de la multiplicité, qui sont indépendants. L’épithète donnée à l’espace n’est qu’une manière de désigner par abstraction les propriétés conventionnelles des figures. I n’y a donc aucune contradiction entre ies diverses géométries, car elles s’appliquent à des objets différents. Non pas au sens où le prend M. Goblot, lorsqu'il prétend que la géométrie non-euclidienne est simplement celle des surfaces de l’espace euclidien, car c’est établir une sorte de primauté injustifiable de la géométrie euclidienne, et d’ailleurs,

(1) Un schéma de Poincaré fait correspondre aux droites non-euclidiennes des ares de cercles orthogonaux à un cercle pris comme absolu. Les angles gardent alors leur signification euclidienne.

LA CONSTRUCTION NON-EUCLIDIENNE 193 Poe ANT CNE AIT :

‘cela suppose :un espace euclidien à ————— dimensions, dans le cas

général, enfermant une multiplicité non-euclidienne à n dimensions.

Se demander si c’est le même espace qui peut être euclidien ou non-euclidien, c’est se demander si ce sont les mêmes nombres qui interviennent dans les polynomes ou les fonetions circulaires. La question n’a guère de sens.

Physiquement parlant, on voit à quelles conditions l’espace peut être tel ou tel : il faut que la nature du repérage soit déterminée, que le sens des variables soit fixé; que d’autre part la nature des distances et des angles soit elle aussi déterminée, et que nous puissions exprimer la grandeur d’un solide invariable aux divers points de la multiplicité en fonction des coordonnées précédentes, ou si l’on préfère, d’une manière générale, la distance de deux points ou l’angle de deux droites en fonction finie de leurs coordonnées respectives. Un espace vide est entièrement amorphe, il n’a de structure projective que si l’on y définit des droites physiques, de structure métrique, que si l’on y définit des -équidistances et des égalités d’angles physiques.

À S 3. — Autres généralisations possibles.

Pouvons-nous généraliser davantage la métrique euclidienne? Assuréement. On trouvera dans l'Encyclopédie des sciences mathématiques {traduction française III, 1, fascicule 1) les références à ce sujet.

Tout d’abord rien ne nous oblige à prendre une quadrique plutôt que toute autre surface de même forme. Hilbert a examiné le cas plus général où l’on garde bien l’expression de la distance : À — k log! MN PQ], P,Q étant les points d’intersection de la droite MN avec une surface convexe. Les droites sont des géodésiques, et ont une longueur infinie. Un autre cas particulier est fourni par l’expression de la distance due à Minkowski; la surface, concave, se réduit à un plan double à l’infini.

Au lieu de rattacher la distance au rapport anharmonique de quatre points, en spécifiant deux de ceux-ci, nous pouvons la rattacher à des rapports plus généraux.

Nous pouvons d’ailleurs partir de la définition de la distance en coordonnées quelconques et chercher à la rattacher à une forme plus générale. Ceci revient à chercher des expressions vérifiant certaines conditions. Donnons-nous, par exemple, cinq points : si l’on connaît neuf de leurs distances respectives, la dixième est déterminée. Il y a donc une relation des distances en question qui est identiquement vérifiée. Nous pouvons chercher les expressions de la distance qui vérifient cette condition, ou une condition du même type. Ceci se traduit fort simplement : un point est déterminé par ses distances à trois points non-colinéaires, qui peuvent être prises pour ses coordonnées. Un second point l’est par trois autres coordonnées semblables, et leur distance respective doit être donnée par une fonction de ces six coordonnées, qui peut servir de point de départ pour une autre généralisation.

En résumé, de même que nous pouvons appeler droite ce qui nous “plaît, et que nous pouvons définir assez arbitrairement les transforma-

tions projectives, nous pouvons d’abord nommer distance une fonctiom quelconque de deux points. Nous aurons une infinité d’espaces et demétriques. Seulement, ces fonctions n’auront ni intérêt théorique, ni intérêt pratique. La définition des parallèles perd beaucoup de son. utilité s’il n’existe pas de translations les échangeant entre elles ou avec elles-mêmes, translations analytiques répondant à des opérations physiques. De même celle de la distance n’a de valeur que s’il existe des déplacements pour lesquels elle soit invariante; transformations mathématiques qui correspondent à un fait physique, le mouvement des solides.

indéformables dans l’espace.

$ 4 — La notion de déplacements. Sa valeur philosophique.

Depuis les suggestions d’'Uberweg, les études de Helmholtz et le programme d’Erlangen, de Klein, les mathématiciens se sont accoutumés à partir de la définition des déplacements, pour arriver à la distance qui en est l’invariant. Helmholtz, Sophus Lie, Poincaré, Hilbert, ont cherché à exprimer le plus simplement possible les conditions suffisantes pour spécifier la géométrie générale (géométrie non-euclidienne comprise) .On est surpris de voir le petit nombre d’axiomes nécessaires :

il suffit d'admettre que les déplacements forment un groupe à 9

paramètres pour qu’il soit pratiquement déterminé, étant donné les fonctions dont nous disposons. Dans le cas de deux dimensions, il faut admettre que les rotations ramènent un ensemble de points à sa position primitive (axiome de monodromie de Helmholtz) ou que deux points fixent une figure (axiome de Poincaré).

Aux yeux de beaucoup, il ne s’agit pas là simplement d’un changement d’indéfinissables, comme nous en trouvons dans beaucoup d’exposés. géométriques, et qui souvent obscurcissent au lieu d’éclairer; mais du passage d’un ordre superficiel d'exposition à un ordre plus rationnel et plus déterminé. S

Pouvons-nous dire, tout d’abord, que l’étude des déplacements met en évidence la structure irréfutable de l’espace physique, confusément aperçue dans la description statique des figures ? Mais que nous montre l'expérience ? Des corps matériels finis, de structure complexe, doués de n (n+1)

différents déplacements, deux solides congruents à un troisième sont-ils. congruents entre eux ? Le fait ne se vérifie que d’une manière indirecte et imprécise; à la même approximation, nous pouvons constater que l’espace est euclidien, en mesurant la somme des angles d’un triangle, en vérifiant l’existence de figures semblables. C’est par une double induction que nous passons de cette expérience locale et imparfaite aux déplacements géométriques, érigeant en faits rigoureux des constatations. approximatives, étendant les lois du mouvement de corps physiques. intérieurement liés et organisés à celles du mouvement de portions. amorphes de l’espace, de grandeur entièrement arbitraire. Naturellement

degrés de liberté. Sont-ils superposables à eux-mêmes après