LA NOTION DE DÉPLACEMENTS

nous pourrons dire que la structure métrique de l’espace doit être déterminée par les lois des solides idéaux. Mais que savons-nous de ceux-ci ? Au fond, ce que nous voudrions, c’est pouvoir définir a priori les lois générales des déplacements théoriques (comme on a voulu parfois définir les conditions a priori d’une forme d’extériorité) et ne faire appel à l’expérience, pour les spécifier, que sur des points où elle peut répondre d’une manière rigoureuse, ne s’agissant que de grandeurs nécessairement entières, nombre de dimensions ou de degrés de liberté. Ainsi notre trame géométrique serait absolue, bien qu’elle fût au croisement de l'expérience et de la raison.

En fait, ce rôle de l’a priori est bien illusoire. Dirons-nous, en nous reportant à l'intuition de l’espace comme milieu physique des événements, qu’il doit évidemment pouvoir être transporté sur lui-même? Ceci n’a guère de sens, puisque l’espace est par nâture immobile. Dirons-nous que des solides, de grandeur et de forme quelconque, doivent pouvoir se déplacer ? Mais la chose n’est pas douteuse; il reste à savoir dans quelles conditions. Ajouter : sans déformation ne signifie rien, car nous n’avons pas défini les longueurs et les angles. Il faut donc dire : il doit y avoir des déplacements, conservant une certaine propriété du solide, sa grandeur, et ayant un sens absolu, de telle manière que le solide soit superposable à lui-même après un parcours quelconque. Cette assertion est Pidée essentielle, elle seule donne un sens à la condition que deux figures congruentes à une troisième soient congruentes entre elles. Mais pourquoi n’exigerions-nous pas qu’il existe des similitudes admettant comme invariant la forme du solide ? Pourquoi n’imposerions-nous pas à la direction d’être absolue comme la grandeur? D’autre part, dans un espace de Riemann quelconque il est possible de transporter un solide élastique suivant des lois telles qu’il coïncide en chaque lieu avec luimême. Le nerf du raisonnement est que les transformations du groupe soient des transformations finies, biunivoques, portant directement sur tous les points du solide, et c’est là une exigence purement formelle, qui ne peut être a priori. En fait, il y a des géométries sans groupe fondamental, qui n’enferment rien de proprement irrationnel.

Si nous admettons les conditions énoncées, la géométrie est étroitement délimitée, dans notre univers mathématique actuel, car S. Lie a montré que les groupes possibles se ramenaient à ceux qui caractérisent la géométrie euclidienne et les deux types fondamentaux de géométries non-euclidiennes. Mais qu’en conclure ? C’est que la considération des déplacements est un artifice très ingénieux, admirable même, qui met en évidence certaines propriétés des métriques non-euclidiennes, liées au fond à ce que les géodésiques y sont des droites. Mais elle n’éclaire pas les principes par une intuition rationnelle, les raisonnements qu’elle fait intervenir prennent souvent cet aspect de dénombrement systématique et en quelque sorte matériel des hypothèses, que nous avons signalé déjà. L'esprit est convaincu, plus qu’il ne saisit la raison intérieure des choses; peut-être la familiarité lui donnera-t-elle un jour le sentiment de le faire. D’autre part, nous n’apercevons point par là un concours particulièrement significatif de la raison et de l’expérience. Le rôle des déplacements semble un peu du même ordre que celui des nombres complexes; c’est en dire toute l’importance, mais peut-être y aurait-il

danger à laisser croire qu’un procédé formel reflète une nécessité physique ou métaphysique particulière (1).

$ 5. — Comment choisir entre les diverses géométries ?

Peut-être convient-il d’élargir un peu ces remarques et de chercher quelles raisons peuvent nous faire accepter ou rejeter une géométrie, en général. Il en est, semble-t-il, de trois ordres. S

Les unes sont expérimentales. L'expérience nous donne rigoureusement quelques faits numériques, touchant le comportement des solides; et elle nous apprend d’une manière approximative, par des mesures physiques, macroscopiques et locales, que l’espace est euclidien, ce caractère imparfait se retrouvant, quel que soit le procédé de description mis en œuvre. Nous devons donc dire que l’espace, en tant qu’il doit traduire les propriétés de l’espace physique, doit être tangent à l’espace euclidien.

D’autres raisons paraissent proprement intrinsèques et d’esthétique formeile. C’est en dire le caractère aléatoire : une géométrie dualiste estelle plus belle qu'une géométrie non dualiste, une courbure constante qu'une courbure variable ? Vaut-il mieux qu’il y aït des figures semblables ou qu’il n’y en ait pas, que les géodésiques soient des droites, que les rotations ne se séparent pas des translations, qu’il y ait deux espèces de parallèles ou une seule ? Nous revenons ici à chercher si la sphère est plus belle que le plan, le cercle que la droite, si la dyade est le principe du désordre et du ‘mal, l’un celui de l’ordre et du bien; problème : bien décevant, d’autant que, suivant le point de vue adopté, telle ou telle géométrie nous semble plus parfaite, et que, en fin de compte, toutes s’équivalent.

Enfin, nous pouvons invoquer certaines raisons générales et comme philosophiques, dans la mesure où nous attribuons à l’espace géométrique un rôle physique en général. Quel rôle peuvent jouer les principes qui se rattachent à la causalité, principes de raison suffisante, de symétrie, de continuité ?

Sans doute, nous ne saurions dire brutalement qu’un triangle de côtés invariables doit avoir des angles de somme invariable, parce qu’une variation de cette somme n’aurait pas de raison; en effet, la structure. de l’espace serait justement cette raison suffisante. Maïs nous pouvons admettre que, d’une manière très générale, l’espace vide doit présenter une certaine homogénéité, une certaine uniformité de structure. Sans doute, l’emploi de tels principes est assez dangereux, et mène à des assertions incompatibles avec l’expérience : nous pourrons exclure le plan elliptique, parce que les demi-droites issues de divers points ny ont pas la même longueur (2); les multiplicités à courbure variable, parce que cette courbure n’a pas de raison d’être plus grande ici que là; mais

(4) Les considérations tirées de la théorie des groupes jouent un grand rôle dans la détermination des transformations de la mécanique, qui portent sur l’espace-temps. Voir, par exemple, le mémoire de Poincaré: Sur la dynamique de l’électron. Cf. Gonseth, Les fondements de la géométrie, ch. vx et 1x. Cartan, Revue du mois, 1913, p. 438.

(2) À moins que nous le considérions comme unilatère et fermé,