LA NOTION DE DÉPLACEMENTS

nous pourrions pousser le raisonnement plus loin et dire que l’espace euclidien est seul acceptable, car il n’y aurait pas de raison suffisante pour que la courbure fût telle ou telle; exclure cet espace lui-même, parce qu’il est tridimensionnel et que le nombre trois n’a pas davantage de raison suffisante. Il faut convenir que la nature, prise dans sa structure physique ou géométrique, repose sur un irrationnel irréductible, et que toute diversité est, d’un certain point de vue, un scandale pour l'esprit. Mais comme cet irrationnel est un fait, il est bien difficile d’en délimiter a priori le domaine. Le mieux est donc d’accepter le postulat de l’homogénéité, sans prétendre le déduire d’un principe métaphysique général, en lui attribuant moins une valeur dogmatique qu’une utilité heuristique et un agrément intellectuel.

Ce postulat ne saurait d’ailleurs nous indiquer à l’avance les formes géométriques légitimes; comme l'expérience, il n'intervient qu'après coup, pour condamner une certaine construction, il n’est qu'un instrument de triage. C’est pourquoi nous ne saurions arriver directement au concept définitif de l’espace; tout ce que nous pouvons dire c’est que, tels matériaux étant choisis, telles constructions sont seules acceptables pour la raison et l’expérience. Le problème, toujours ouvert, de la géométrie, est de définir de nouvelles formes, présentant une autre espèce d’homogénéité. Assurément, si nous gardons au principe toute son étroitesse, comme toutes ces formes doivent avoir en quelque sorte une commune mesure, celles qui seront acceptables se correspondront et même n’en feront, à certains égards, qu’une seule : c’est ainsi que la géométrie des multiplicités à courbure constante coïncide avec la géométrie noneuclidienne classique. Mais il est curieux d’observer que suivant la construction étudiée, le critérium d’homogénéité est plus ou moins impérieux, plus ou moins étroit; il se fait de plus en plus modeste, il ne porte plus que sur la structure locale au lieu de ‘Porter sur la structure d’ensemble; il diminue comme la peau de chagrin de Balzac, il perd son prestige métaphysique, pour se réfugier dans le domaine de l'esthétique formelle. C’est ce que nous allons vérifier en examinant brièvement la construction différentielle de l’espace, telle que l’ont entreprise Riemanm et ses successeurs.

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