CHAPITRE IV

La construction différentielle de l’espace

S 1. — Le concept d'espace riemannien.

La description de l’espace en termes finis est tout à fait conven- +tionnelle, et le privilège des géométries non-euclidiennes classiques est fondé sur des exigences formelles arbitraires, qui ne se justifient pas plus, eu égard à la raison, que le souci d’établir une dualité parfaite. Ausssi les mathématiciens ont-ils généralisé bientôt le concept des espaces non euclidiens en celui des espaces riemanniens. Ils ont été guidés par l’image des surfaces les plus générales et des propriétés de leurs géodésiques : la géométrie des espaces de Riemann équivaut à la description intrinsèque de surfaces ou d’hypersurfaces d’un espace

been l))

euclidien à —— dimensions. Mais c’est là une manière de parler,

car elle n’est au fond que celle de figures algébriques définies dans un certain système de coordonnées, peu important, d’ailleurs, que ces coordonnées soient prises sur telle ou telle surface, et soient de telle ou telle nature. C’est pourquoi si nous voulons nous la représenter intuitivement, le plus simple est de considérer une portion de plan, avec un réseau de coordonnées quelconques, par exemple cartésiennes, en chaque point duquel est définie une métrique. Nous aurons ainsi une généralisation du procédé cayléen. La chose est toute naturelle, puisque, moyennant un dictionnaire approprié, la géométrie d’une surface ne diffère pas de celle de sa représentation plane, obtenue par une projection de nature quelconque.

Les géométries non euclidiennes classiques étudient le cas des surfaces à courbure constante, qui possèdent cette propriété singulière et caractéristique qu’elles peuvent être représentées sur un plan de telle manière que les géodésiques deviennent des droites (propriété évidente dans l'exemple de la sphère, puisqu'il suffit de prendre une projection centrale). Il est donc possible d’établir sur ces surfaces un réseau de coordonnées géodésiques par rapport auquel toutes les autres géodésiques s'expriment linéairement. La géométrie euclidienne correspond au cas où la courbure est nulle, elle apparaît ainsi comme une espèce moins accidentelle qu’elle ne le faisait dans Pinterprétation cayléenne, où elle n’était plus qu’une sorte tout à fait particulière de géométrie parabolique.

De même que Hilbert considérait des figures absolues généralisant les, quadriques, il est naturel de considérer maintenant la géométrie des sur-faces à courbure variable. Mais, l’ordre des définitions doit être modifié. En effet, nous ne pourrons plus partir de la notion de droite, et caractériser en termes finis la mesure dés distances et des angles. La métrique de la multiplicité doit être construite'en termes différentiels, contrairement à la métrique cayléenne. On peut soutenir d’ailleurs que cetteconstruction progressive a quelque chose de satisfaisant pour la raison. En effet, nous n’explorons l’espace physique que morceau par morceau; nous le déterminons cellule par cellule, et il est normal que notre description algébrique suive l’ordre génétique.

Au lieu de définir directement la distance entre deux points à inter-. valle fini et par là l’égalité de deux segments finis, nous ne définirons donc d’abord que l’égali‘é de deux segments infiniment petits ayant même origine, pour défin:; ensuite l’égalité des segments en deux points: éloignés l’un de l’autre, et enfin la longueur d’un segment fini. En langage différent, au lieu de partir du groupe fini de tous les déplacements, nous partirons du groupe des rotations d’un vecteur infinitésimal en unpoint, et nous associons ensuite les rotations aux différents points de la multiplicité.

. Imagincns par exemple une multiplicité repérée par deux coordonnées æx, y ; soient deux points voisins O et M, les différences de coordon-nées correspondantes seront dx, dy. Soit ds la distance de ces deux points. Admettons que ds* est une fonction quadratique définie positive de dx et de dy nous aurons ds =gudx" + 2 g»dxdy+gzdy". Les points à égale distance de O seront placés sur une ellipse (au sens purement algébrique du mot). Il sera toujours possible par un changement linéaire de variables, les gix étant des coefficients constants en O, de ramener le ds* à la forme euclidienne ds*—=dx+dy": Pour associer les métriques aux divers points de l’espace, si l’on suppose que partout le ds a même forme, il suffit de considérer les g;iX comme des fonctions des coordon-nées, prenant en chaque point une valeur bien déterminée. On impose d'ordinaire au ds° d’être régulier, c’est-à-dire que les gix et leurs déri-vées des deux premiers ordres doivent varier continument, et que les gix ne sauraient changer de signe. Désormais nous savons comparer lagrandeur de deux vecteurs infiniment petits, d’azimuts et d’origines quelconques; nous dirons que nous avons établi une connexion métrique sur la multiplicité, qui fait correspondre un ensemble de vecteurs congruents entre eux et attachés en O et un ensemble de vecteurs attachés en M, congruents entre eux et aux premiers. La distance de deux points à éloignement fini est la somme des distances des points successifs: qui forment une chaîne entre les deux premiers; en d’autres termes, c’est la longueur d’arc qui les joint, calculée en ajoutant les distances infini-ment petites qui correspondent aux segments infiniment petits qui, mis bout à bout, forment l’arc en question, cette distance étant calculée pour chacun par la méthode indiquée ci-dessus. Mais cette distance varie avec Parc, ce qui est naturel, puisqu'il en est de même en géométrie eucli. dienne. Nous pourrions choisir, comme dans celle-ci, pour distance, la distance en ligne droite, c’est-à-dire définir l'arc de courbe par une: fonction linéaire des coordonnées. Mais on voit immédiatement que la distance ainsi adoptée n’est pas, en général, la plus courte possible, Il est:

donc naturel de prendre la distance géodésique, celle qui rend station-- CE * on .

naire l'expression :S u,p =: ds. Les équations d’Euler correspondant à Ju

cette extrémale donnent la géodésique qui joint M à P ; remplaçant alors dans ds les x, par leurs valeurs en fonction de l’un d’entre eux, on obtient la distance par quadrature.

Il reste à définir le parallélisme de deux vecteurs infinitésimaux. La géométrie étant euclidienne dans l’infiniment petit, l’angle des vecteurs est parfaitement défini. Nommons vecteurs parallèles en M et P ceux qui font un angle égal avec la géodésique qui unit les origines. Alors nous vérifierons que deux vecteurs parallèles à un troisième ne sont pas en général parallèles entre eux. Si nous appelons vecteur parallèle en un point P à un vecteur en un point M tout vecteur obtenu par déplacement du second de M en P suivant un contour formé d’éléments géodésiques, de manière à lui faire former un angle constant avec chacun de ces. éléments, alors tous les vecteurs en P sont parallèles à tous les vecteurs en M. On les obtient à partir de l’un quelconque de ceux-ci en choisissant convenablement le contour de déplacement. La correspondance par parallélisme, en d’autres termes la connexion affine, n’est pas déterminée à intervalles finis. Elle n’est déterminée que si nous nous donnons: un arc particulier joignant les deux points.

Considérons un système de deux vecteurs pris en M, tangents aux deux courbes de coordonnées, et le système parallèle en M = M + qdM. Celui-ci n’est plus, en général, tangent aux courbes de coordonnées. Il fait avec elles un angle infiniment petit, mais bien déterminé, et l’expression différentielle qui donne le nouveau système en fonction des accroissements de coordonnées met en jeu les composantes de la connexion affine.

Tout ceci ne représente que des conventions sur des nombres. Mais ces conventions correspondent à des faits intuitifs très simples. Et d’autre part, elles généralisent celles de la géométrie non euclidienne ordinaire. Imaginons une surface sur laquelle nous avons tracé un quadrillage quelconque. Nous aurons donc deux familles de courbes. Les courbes successives de chacune d’elles auront un numéro d’ordre. Chaque point sera défini par l'intersection de deux courbes, et aura pour coordonnées les numéros correspondants. On peut concevoir que par une suite infinie d’expériences, un vecteur ayant été déplacé par rotation autour de son origine, puis de point en point, par déplacement très général, nous ayons mesuré sa longueur en fonction de ses coordonnées. Alors il est naturel de trouver pour les vecteurs infiniment petits autour: d’un point la forme métrique générale que nous connaissons déjà. La loi de connexion nous est donnée ensuite par l’expérience.

Une justification plus intuitive et plus particulière se présente si nous songeons aux surfaces ordinaires de l’espace à trois dimensions, et si nous considérons comme coordonnées les courbes d’intersection par les plans x=C*, y=C", x et y étant des coordonnées cartésiennes dans: le plan de projection. Il est alors natürel de prendre comme numéros des courbes les valeurs x et y qui sont, mais peu importe, des distances euclidiennes dans le plan de projection. Dans ces conditions, la surface

admettant en chaque point un plan tangent, Vu. dx est la longueur du:

vecteur qui a pour projection dx, V g» dy celle du vecteur de projection

Ji

dy, Era est le cosinus de l’angle que font sur la surface les deux vec- 11 Jo

teurs de projections dx et dy, et qui se projette suivant un angle droit.

En effet, le rectangle dxdy projette nécessairement un parallélogramme.

Se demander si æ et y sont des coordonnées intrinsèques où non n’a aucun sens. Ce sont des numéros qui correspondent aussi bien à des courbes de la surface qu’à n’importe quelles courbes y associées (par exemple, à leur projection), il faudrait, pour que la question signifiât quelque chose, que l’on eût indiqué à l’avance les méthodes possibles pour construire et numéroter « intrinsèquement » les courbes repères de la surface. Il suffirait à la rigueur de définir un seul repérage de cette espèce, et de considérer comme intrinsèques tous ceux qui en dérivent par changement de variables. Mais comment le ferait-on sans considérations métriques ? D'ailleurs, ces repérages eux-mêmes auraient leur image dans le plan. :

En réalité, la géométrie de la surface est exactement celle du plan sur lequel on a défini, cette fois par procédé différentiel, une certaine métrique. Elle n’est d’ailleurs pas plus celle du plan que celle de toute autre surface, sur laquelle un repérage et une métrique sont définis. Dans le plan même, les coordonnées ne sont pas plus les coordonnées cartésiennes que n’importe quelles autres. Nous choisissons seulement celles-là, étant donné la forme du ds, afin d’avoir une image qui ne diffère pas trop de ce que nous nommons, dans l’ordre intuitif, distance, angle, etc. La géométrie des espaces de Riemann peut être alors considérée comme la généralisation différentielle de celle de Cayley, et son approfondissement.

Naturellement, sur les multiplicités ainsi définies, il n’y a pas, en général, de déplacements finis formant un groupe. Autour d’un point subsiste le groupe des rotations d’un vecteur infiniment petit, mais il n’y a pas de groupe des translations, même d’un vecteur infiniment petit, il n’y a pas de groupe des déplacements d’une figure finie. Il est impossible de déplacer une figure de telle manière que toutes les distances respectives de ses points soient conservées, ainsi que ses angles.

$ 2. — Autre type d'exposé.

Les moments successifs de la description de l’espace sont donc ainsi ordonnés : les coordonnées, la congruence des vecteurs infinitésimaux autour d’un point, les angles en un point, la connexion métrique, la distance géodésique de deux points à intervalle fini, le parallélisme de deux vecteurs. Mais on peut se demander si cet ordre est rationnel, et s’il ne vaudrait pas mieux en chercher un autre; ainsi les géomètres, dans le cas des espaces non-euclidiens, mettent alternativement au premier plan la distance, la quadrique absolue, les caractères formels du groupe des déplacements. Quatre idées peuvent alors nous guider : essayer de mettre en lumière les conventions les plus difficiles à rejeter, — établir une symétrie plus grande dans l’exposition, — trouver un point de départ commode pour de nouvelles généralisations, — enfin, révéler les cadres les plus aptes à l’applicätion physique.

C’est ainsi qu’on peut mettre d'emblée en évidence, comme l’a fait M. Cartan, la connexion affine, et se donner ainsi la correspondance des grandeurs et celle des directions. Puisqu’elle n’est pas holonome, il faut se la donner de proche en proche. Considérons donc en un point un repère fondamental, et cherchons à définir les déplacements infinitésimaux qui le laissent congruent et parallèle à lui-même, ou si lon préfère définissons le repère qui lui est équipollent en un point infiniment voisin : ce repère sera, par exemple, un multivecteur, généralisant le trièdre mobile que l’on utilise dans la théorie des surfaces. La variation des composantes de ce multivecteur sera donnée par des expressions vectorielles où figureront : les composantes elles-mêmes, les composantes du déplacement, enfin des fonctions du lieu qui seront les composantes (finies) de la connexion affine. Nous explorerons ainsi l’espace, construisant de proche en proche le repère équipollent au précédent, c’est-à-dire transportant avec nous, pas à pas, l’unité de longueur et l'orientation primitive. Qu'est-ce donc qu’un espace, pour M. Cartan ? C’est une multiplicité où l’on sait construire en termes différentiels un repère équipollent à un repère donné, repère de grandeur et de direction à la fois.

Sans doute, il serait possible de définir directement en termes finis une connexion parallèle, comme on définit normalement la connexion métrique; ii suffirait, par exemple, de prendre en chaque point un repère tangent aux courbes de coordonnées ; mais cette connexion n’aura en général aucun intérêt, les géodésiques n’auront plus pour propriété d’avoir des tangentes parallèles dans le prolongement les unes des autres ; les notions de direction et de grandeur seront entièrement indépendantes. Il faut donc en revenir à la définition différentielle.

M. Cartan a utilisé dans l'étude des espaces ainsi définis un algorithme qui lui est particulier, celui des opérateurs w, et il est arrivé aux résultats qui ont illustré son nom; mais ces résultats, comme le principe général, sont indépendants de toute espèce d’algorithme. Divers cas peuvent se présenter : la connexion parallèle peut être intégrable; les déplacements sont alors définis d’une manière holonome, et nous retombons sur l’espace euclidien. Si elle ne l’est pas, ou bien les composantes de la connexion ne sont assujetties à aucune condition de symétrie, et nous avons les espaces à torsion les plus généraux, ou bien elles sont symétriques par rapport à leurs indices inférieurs, et nous retrouvons ainsi, soit les espaces riemanniens proprement dits, soit les espaces de M. Weyl. Celui-ci considère d’abord, d’une manière en quelque sorte parallèle, les translations et les déplacements congruents les plus généraux, la connexion affine et la connexion métrique. Mais celle-ci a sur celle-là une sorte de prééminence, elle la détermine, elle est en quelque sorte première par rapport à elle. D’autre part, elle a une valeur épistémologique, métaphysique même, toute particulière, car nous apercevons en elle, parfaitement clivés, l’élément à priori et l’élément purement empirique de la structure spatiale.

La connexion affine elle-même peut être assujettie à deux conditions, d’ailleurs équivalentes. D’une part, l’extrémité d’un vecteur dx déplacé parallèlement suivant un vecteur Ôxi doit coïncider avec celle d’un vecteur x déplacé parallèlement suivant un vecteur dxi ; c’est la condition de commutativité. D’autre part, il doit être possible de définir er

tout point un système de coordonnées géodésiques, par rapport auquel un vecteur déplacé parallèlement à lui-même garde ses composantes. Ces. conditions correspondent justement à la symétrie des composantes. dela connexion affine.

Considérons alors la métrique proprement dite, c’est-à-dire la définition des congruences. Nous pourrions, dans une certaine mesure, la faire dériver de la connexion affine. En effet, si celle-ci n’est pas inté-. grable, nous pouvons considérer comme congruents les vecteurs obtenus. à partir de l’un d’entre eux par transport parallèle le long de différents contours, définir les propriétés qui leur sont communes, caractériser les rotations.

M. Weyl prend les choses plus directement. Supposons qu’en chaque point le groupe des rotations soit défini à priori (1), et qu’il conserve une forme différentielle quadratique des coordonnées ; la longueur brute d’un vecteur ti sera donnée par LÀ = gti. Comment déterminer la congruence des vecteurs attachés en des points différents ? Dans un espace riemannien, c’est par l’égalité des longueurs brutes, et la donnée des gx comme fonctions finies des coordonnées. M. Weyl admet que la congruence ne suppose pas l’égalité des longueurs brutes ; dans un déplacement, la longueur brute d’un vecteur peut varier, suivant la loi : dl = lo(xi, dxi. Si l’on admet que le congruent d’un vecteur nul est nul, que le vecteur congruent d’une somme doit être égal à la somme des congruents des termes, la variation de longueur est donnée par dl = lo;dx;i . Les vi sont les composantes de la connexion métrique, ils. ne sont soumis à aucune restriction. La structure métrique de l’espace est alors entièrement définie par la double donnée d’une forme quadratique, qui donne l’équivalence des longueurs brutes, et d’une forme linéaire, qui donne la congruence des vecteurs. Un vecteur déplacé par différents chemins cesse d’être superposable à lui-même, et la variation de sa longueur le long d’un contour fermé permet de définir une courbure segmentaire de l’espace. Si l’on impose à la connexion affine de respecter la congruence des vecteurs, on constate que ses composantes s’expriment d’une manière univoque en fonction des gx , de leurs déri-vées et des «; ; ici encore la connexion métrique détermine la connexion affine. Dans ces conditions, un bivecteur transporté parallèlement à. lui-même par deux chemins différents ne coïncide plus avec lui-même, au point d’arrivée, que moyennant une rotation et une similitude, au lieu que, dans un espace riemannien ordinaire, il suffit d’une rotation pour que la superposition soit réalisée:

On peut se demander pourquoi la variation de la longueur d’un vecteur ne dépendrait que du chemin suivi par son origine, pourquoi dans. une translation, un bivecteur ne serait pas plus radicalement déformé. Signalons simplement que M. Eddington a généralisé l’espace de M. Weyl en associant la variation de la longueur d’un vecteur à une expression où intervient, au lieu des gx et des vi , une composante à trois indices, et, par là même, :la direction du vecteur.

F7 **# Que faut-il penser maintenant de cet exposé du concept d’espace? À. — En ce qui concerne son usage physique, il est tout à fait (1) Assertion qu’il justifie, comme on le verra plus loin.

remarquable; il est un instrument de géométrisation parfaitement adéquat

à son usage. Il met en lumière à la fois le sens et l’étendue de cette géomé-

trisation, et il nous la montre à l’échelle véritable des actions réelles,

c’est-à-dire dans leur détermination différentielle, au lieu de la masquer

sous des principes variationnels qui ne sauraient être pris comme vraiment premiers. La chose est particulièrement claire lorsque nous introduisons un espace-temps à quatre dimensions. Le principe d’inertie généralisé affirme qu’un corps (que nous considérons comme ponctuel) conserve son impulsion-énergie à travers la suite des repères équipollents qu'il traverse. Géométriser une loi de force, ce sera la réduire à une définition de la connexion affine, de telle sorte que le repère équipollent à un repère initial soit déterminé à la fois par les circonstances extérieures (le champ physique) et par le mobile et sa trajectoire antérieure, si bien que l’on pourrait dire, en une figure un peu audacieuse de langage, que le mobile se crée à chaque instant son espace, en fonction des circonstances extérieures. La comparaison de l’escargot et de sa coquille prendrait alors un sens qu'elle n’a pas lorsque l’on considère la connexion métrique, celle-ci ne dépendant en rien du mobile qui explore l’espace. Enfin, nous verrons que le point de vue de M. Cartan est celui qui s’adapte le mieux à un élargissement de l’idée de géométrisation.

B. — Pouvons-nous mettre en évidence, par un procédé de ce genre, les éléments «a priori de l’espace métrique, les fondements inévitables de toute métrique possible ? Telle n’est pas, semble-t-il, l'intention de M. Cartan, malgré l’ampleur de sa conception géométrique. Au contraire, M. Weyl, esprit singulièrement métaphysique, et qui entreprend de saisir les raisons foncières des théories, en a lespoir. Si pour lui la forme euclidienne n’est pas a priori, cela n’implique pas la négation de tout a priori, une affirmation d’indétermination théorique et une profession de foi purement empiriste. En chaque point, la nature du champ métrique, la connexion d’un point avec son voisinage immédiat sont une donnée que l’esprit ne peut choisir arbitrairement. Nous ne pouvons admettre qu'aux divers points de l’espace la métrique soit différente, et nous n’avons pas le choix entre plusieurs métriques pour chaque point (la seconde assertion enferme et justifie d’ailleurs la première). Ce qui est à posteriori, et tout à fait indéterminé, c’est l’orientation relative des métriques en chaque point, ou, si l’on préfère, les repères auxquels cette métrique s’applique en chaque point. L’espace euclidien et l’espace riemannien sont formés des mêmes atomes métriques, mais dans le premier cas, ces atomes forment un cristal, dans le second, ils forment un fluide. Dans les deux cas, leur structure est à priori. La preuve en est que nous pouvons la déterminer par des considérations non empiriques. Transcrite en langage de théorie des groupes, cette pensée s'exprime ainsi : le groupe des rotations infinitésimales a une structure déterminée a priori et uniforme en tout point, la métrique pythagoricienne est seule concevable. Par contre l’orientation relative des métriques aux divers

“points de l’espace est entièrement indéterminée, et l'expérience seule

peut nous la révéler.

Nous ferons ici une remarque analogue à celle que nous avons faite plus haut à propos de Poincaré. Un mathématicien se résout difficilement

-à ne voir dans les fondements de ses théories que des conventions et un

maniement ingénieux de symboles. De même, dans lPapplication de ces symboles à la physique, il n’accepte qu’à contre-cœur l’idée d’une correspondance purement expérimentale en toutes ses arêtes. Il voudrait, assez inconsciemment, associer, dans les conditions essentielles imposées aux lois physico-géométriques, sa propre nécessité et celle de l’expérience, les lois de sa connaissance et celles de la nature. Ainsi Poincaré abandonne l'intuition géométrique, mais conserve une intuition propre à l’analyse, De même Helmholtz laisse l’a priori de la structure euclidienne, mais il formule des principes de linéarité, de libre mobilité, de monodromie qui limitent les structures spatiales à celles des multiplicités à courbure constante, les géométries possibles aux types cayléens (pour Helmholtz, il s’agit moins d’ailleurs d’a priori rationnel que d’exigences. précises et dogmatiques de l'expérience). M. Weyl, usant couramment de multiplicités riemanniennes plus générales, prétend à son tour faire le départ entre le nécessaire et le contingent, et naturellement, l’élément nécessaire est encore une fois appauvri.

Voici comment il raisonne, si nous l’avons bien compris : il doit y avoir des déplacements congruents généraux, qui se divisent naturellement en deux groupes : les translations et les rotations, qui doivent pouvoir être définis par des connexions infinitésimales. Or, les degrés de liberté et les dimensions se répartissent entre les composantes de cellesci d’une manière inévitable. Partons des composantes du déplacement infinitésimal le plus général ; elles seront à trois indices, et nous ne leur imposerons aucune restriction ; si nr est le nombre de dimensions de l’espace, n° sera celui des déplacements. Il est la somme de celui des rotations et de celui des translations. Adimettons que les composantes de la connexion parallèle soient assujetties à être symétriques par n (n+1) nn

rapport à deux indices ; elles n’auront plus que dimensions (1).

D'autre part, le nombre de dimensions des rotations est le produit du nombre de degrés de liberté correspondant N, par le nombre de äimen-. nm (n+1) 1m (n—1) n (n—1{)

DOTE ND NO ce qui est la propriété fondamentale des rotations. Weyl impose ensuite aux rotations de conserver les volumes, Enfin il impose là condition qu’il n’y ait parmi les matrices définissant les rotations possibles aucune: matrice double symétrique qui ne soit nulle. Ceci posé, les rotations conservent nécessairement une forme quadratique non dégénérée des coordonnées. Nous retombons sur la définition euclidienne. Nous avons défini du même coup la structure métrique la plus générale qui soit applicable à l’espace.

Il est bien difficile de voir quelle est la valeur de ce genre de démonstration. Elle se rattache aux tentatives de déduction formelle des grandeurs physiques, dont M. Weyl lui-même a donné l’exemple, et que M. de Donder a développées d’une manière extrêmement abstraite et complète. Nous dirons plus loin quelles réserves il convient de faire sur Pemmêlement systématique des raisons physiques, des conventions rationnelles, et des symétries purement formelles.

sions de l’espace. On a donc : nN=r°

() On voit que, malgré sa primauté, la structure métriqie ne peut être caractérisée que si l’on à égard aux lois du déplacement parallèle, et à ses. conditions a priori.

Dans le cas actuel, nous avons un essai de justification formelle des conditions de Helmholtz et de Lie, transposées dans le domaine infinitésimal. Mais il semble bien aléatoire. Pourquoi les translations doivent-. elles avoir des composantes symétriques ? Quand nous partons d’une connexion métrique holonome, il est tout naturel que la connexion affine ait les mêmes symétries que les symboles dont elle est formée. Mais comment poser directement cette convention ? La preuve de son caractère: artificiel est que M. Cartan l’a supprimée, et a construit des espaces supérieurs dont il a donné une image extrêmement simple. D’autre part, pourquoi tout déplacement serait-il décomposable en une translation et une rotation ? Pourquoi imposer aux rotations de conserver les volu-mes ? Quant au fait que la métrique sera déterminée par la double donnée d’une forme quadratique et d’une forme linéaire, il est bien difficile de lui attribuer une valeur philosophique quelconque.

Au fond, il n’y a là ni déduction, ni même explication, mais simpletransposition, comme c’est transposer que caractériser une géométrie par l’expression directe de la distance, ou par ses éléments isotropes, ou par ses déplacements, ou par sa quadrique absolue. Nous caractérisons la géométrie par une propriété formelle des rotations infinitésimales. comme M. Buhl déduit les équations de Maxwell des formules stokiennes, c’est-à-dire qu’il met en lumière certaines propriétés caractéristiques de ces équations. Or, si ces tranpositions sont parfois curieuse, elles ont l'inconvénient grave de dissimuler les véritables postulats, elles donnent une fausse apparence de démonstration, elles mêlent la paille des symétries formelles avec le grain des explications et des déductions réelles, elles nous montrent l’enchevêtrement et les équivalences des divers théorèmes d’une science, nous donnant par là l’illusion qu’ils se soutiennent lies uns les autres, au lieu de nous aider à séparer clairement les assises générales et la superstructure de la science.

C. — Les travaux de M. Weyl et de M. Cartan nous révélent-ils la structure rationnelle du concept d’espace? Mais comment faut-il l’entendre ?

En un sens purement formel, et si nous laissons de côté les symétries superficielles du langage, notre seul critérium de rationalité est, semblet-il, le caractère dualiste de la théorie. C’est ainsi que les géométries non-euclidiennes classiques, dans le cas général, attribuent aux points et aux droites, aux distances et aux angles, un rôle parfaitement symétrique. Cette dualité disparaît, il est vrai, dans l'infiniment petit, la métrique locale redevenant euclidienne. Mais c’est que cet infiniment petit est défini d’une manière purement ponctuelle, Si nous le définissions du point de vue linéaire. nous obtiendrions un autre aspect de Ia structure infinitésimale, exactement corrélatif du précédent : aux vecteurs infinitésimaux correspondraient des couples de droites d’angle infinitésimal, aux rotations de ces vecteurs autour d’un point des translations de ces couples le long d’une droite, etc. La symétrie des propriétés serait parfaite dans le cas d’une métrique comme celle de la sphère. Au contraire, la construction riemannienne est foncièrement non-dualiste,, en ses matériaux comme en leur loi d'assemblage : les coordonnées sont ponctuelles, la géométrie locale euclidienne, la connexion primitive celle des congruences.

On est amené parfois à considérer une autre forme de dualité, liée-

à la connexion des métriques locales : c’est celle des distances et des directions, de la mesure et de l'orientation, de la congruence et du parallélisme. Elle n’est pas réalisée en général, la direction n’étant pas intégrale. La géométrie de la sphère, plus dualiste en un sens que celle du plan, l’est moins en un autre sens. Mais on peut chercher raisonnablement à considérer la dualité d’un point de vue plus général et, la mettant en évidence par un exposé ou une réforme convenables du concept de l’espace, à rationaliser celui-ci. :

Ce dessein est explicite dans la pensée de M. Weyl. Dans son « Analyse du problème de l’espace », il part de vecteurs isolés et, définissant à partir de leurs valeurs infinitésimales les rotations et les translations, il mesure et oriente parallèlement la multiplicité; c’est ainsi qu’il définit d’une manière symétrique la correspondance des directions, indépendamment de celle des segments, et celle des longueurs, indépendamment de celle des directions. Mais, comme sa conception est foncièrement non dualiste, cette entreprise ne réussit que d’une manière incomplète. Au contraire, M. Cartan, par le fait qu’il considère le repère métrique fondamental à la fois en grandeur et en direction, réalise sans en avoir formulé expressément l’intention, un degré supérieur de dualité: en effet, il n’impose a priori aucune restriction non-dualiste à la connexion affine. :

Cette dualité n’est d’ailleurs pas parfaite, elle ne porte pas sur le repère lui-même, mais sur sa définition aux différents points de la multiplicité. Mais cette multiplicité elle-même est essentiellement ponctuelle, et sa décomposition en domaines élémentaires l’est essentiellement. D'autre part, à l’intérieur de chacun de ces repères, la géométrie est euclidienne, et par là même non-dualiste. En un mot l’architecture est dualiste, les matériaux ne le sont pas.

On pourrait essayer de généraliser, et de tracer le cadre d’une construction différentielle de l’espace en partant de données dualistes, par exemple, dans le cas des surfaces, d’un bivecteur de grandeur et d’angle infinitésimaux. On passerait alors à la définition des angles et des droites en termes finis, les rotations autour d’un point répondant au prolongement géodésique des vecteurs, puis à la connexion des éléments de la multiplicité. Cette dualité dans les procédés de construction n'implique évidemment pas que le résultat soit dualiste, maïs elle lui laisse la latitude de l’être, et permet d’imposer par ailleurs cette condition qui restreint considérablement le choix des espaces possibles. C’est ainsi que la géométrie non-euclidienne ordinaire, dualiste en ses principes, ne l’est en ses résultats que si la quadrique absolue joue un rôle symétrique par rapport aux angles et aux distances; c’est ce qui a lieu lorsqu'elle est imaginaire, D’une manière générale, on peut dire que, si large que soit notre définition génétique de l’espace, il suffit d’un petit nombre d'’exigences formelles pour exclure à peu près toutes les formes possibles, et, en ce sens, nous retombons toujours sur le même espace. Ainsi, le critérium d’homogénéité ne laisse subsister que les multiplicités à courbure constante, et réduit les espaces riemanniens aux espaces non-euclidiens ordinaires; le critérium de dualité ne laisse subsister, parmi ceux-ci, que l’espace elliptique (1). :

(1) I y a bien un espace hyperbolique dualiste, mais il est par ailleurs inacceptable.

La valeur de ce critérium formel est-elle d’ailleurs très grande? Il est bien difficile de le dire. En. fait, notre intuition de l’espace est ponctuelle et non-dualiste, si bien que l’on voit mal pourquoi nous érigeons en loi de l'esprit un réquisit aussi conventionnel, et qui l’est d’autant plus que dans l’espace normal les plans n’ont plus le caractère physique immédiat des géodésiques, nous ne pouvons plus guère les définir directement.

Prenons maintenant le mot rationnel en un sens plus objectif : notre description mathématique de l’espace devra mettre en lumière les démarches successives de la connaissance de l’espace réel, c’est-à-dire de lexploration imaginaire d’un milieu vide intuitivement donné. Quelles sont les cpérations nous permettant de définir intrinsèquement la structure géométrique de l'univers, quel en est l’ordre näturel, quelles hypothèses peuvent se présenter ?

L'emploi de coordonnées générales et dépourvues de signification métrique ne correspond évidemment pas à notre exploration normale de l’espace; en fait, nos procédés de repérage sont eux-mêmes d’origine métrique. Mais il n’introduit pas d’indétermination, puisque, le ds? défini, nous pouvons déterminer un réseau à signification métrique, par exemple un réseau de géodésiques polaires, et ramener par le changement de variables correspondantes le ds à une forme en quelque sorte canonique. Cette réduction est d’ailleurs passablement théorique, puisqu'elle suppose que l’on sait intégrer, dans le cas général, l’équation des géodésiques.

Les hypothèses sur la structure métrique sont liées au comportement des solides dans leurs déplacements, et il y en aura autant de distinctes qu’il y aura de types intuitivement plausibles de ce comportement. Nous pouvons, par exemple, les considérer successivement du point de vue des points ou du point de vue des directions; prenons le cas d’une surface, partons d’un bivecteur infinitésimal, formant un angle infiniment petit, et raisonnons du point de vue ponctuel. Notre première démarche sera de définir les rotations autour du point origine, et la géométrie locale. Il n’est pas sûr, a priori, qu’un vecteur infiniment petit coïncide avec lui-même lorsqu'il revient après rotation sur sa direction ancienne, qu’un bivecteur coïncide en angle et en grandeur avec lui-même dans ces conditions. En un mot, les rotations pourraient n’être pas intégrables. Sur une surface, la variation ne pourrait guère dépendre que du nombre de tours effectués autour de l’origine; dans l’espace elle pourrait dépendre du chemin suivi par un trivecteur infiniment petit dans ses arêtes et dans ses angles. Si maintenant nous supposons les rotations intégrables, rien ne nous en définit à priori la forme : ce peut être la forme euclidienne, ce peut être une forme non-euclidienne; non pas au sens ordinaire, puisque les géométries non-euclidiennes cessent de l'être dans l’infiniment petit, mais en ce sens, par exemple, que les rotations, au lieu de conserver une forme quadratique des coordonnées, pourraient en conserver une du type A =. E dæin . Il reste à associer les divers points de la multiplicité. L'entreprise est alors double : associer d'une part les repères, de l’autres les métriques liées aux divers points. La première intention est réalisée d’une manière très générale par la définition de la connexion affine; la seconde le sera si l’on se donne, par exemple, la forme de l’élément métrique en fonction du lieu, et l’on obtiendra la plus grande généralité si l’on suppose qu’elle est liée au déplacement de l’origine du vecteur par une expression différentielle

pon nécessairement intégrable. Nous obtenons ainsi une généralisation considérable de la notion d’espace, qui équivaut à l’introduction d’une mécanique héréditaire : en effet, en un point donné, deux corps superposables pourront ne pas le rester dans une rotation semblable.

On pourrait mettre en parallèle avec cette description ponctuelle de l’espace, une description par les orientations : passer du bivecteur infinitésimal au prolongement axial de l’une des composantes, définir alors les translations d’un vecteur d’angle infinitésimal le long d’un tel ‘axe, associer enfin les différentes directions dont l’ensemble épuise l’espace. Aux divers cas d’intégrabilité de la longueur correspondront des cas d’intégrabilité de la direction.

Telles sont, à ce qu’il semble, les structures les plus générales qui puissent être attribuées à l’espace pour peu qu’on lui conserve quelque affinité avec l’objet concret que nous avons coutume de nommer ainsi. Mais d’un point de vue purement logique, il est possible d’en modifier plus radicalement encore le concept, non plus simplement en le variant, mais en le compliquant. Qu'est-ce en effet que l’espace? C’est le milieu qui guide le mouvement des corps inertes; une description complète devra donc donner en chaque point les éléments du mouvement d’un point matériel. Ceci introduit tout naturellement le temps comme vecteur supplémentaire, incorporé au repère.

A l’ordinaire, nous superposons au champ de coordonnées un champ de circonstances physiques; et nous attribuons à chacun d’eux une action propre. Le premier détermine le repère métrique, d’une manière plus ou moins complète. Le second détermine le champ de forces, qui peut être représenté lui aussi par un vecteur, déterminant l’accélération du mobile à l’intérieur même du repère métrique. Une théorie est dite géométrique lorsque l’action du lieu et celle des circonstances physiques se traduisent toutes deux par une variation du repère métrique, le mobile continuant à s’y mouvoir par inertie. Mais nous pourrions considérer comme formant un seul repère l’ensemble des vecteurs repères d’espacetemps et des vecteurs fonctions des circonstances physiques, pourvu que le mouvement du mobile fût par rapport à ce repère complexe en inertie généralisée. Le problème serait alors de donner une définition satisfaisante de l’inertie.

S 3. — Conclusion sur la construction de l’espace.

Quelle est maintenant la portée de tout ceci ? H. Weyl prétend que la structure de l’espace nous est rendue pleinement intelligible par la définition des groupes abstraits qui le caractérisent. Il semble à l’entendre, que l'esprit humain touche alors la nature profonde du concept. Mais il y a là beaucoup d’exagération, comme lorsqu'on prétend atteindre l’essence du temps, parce qu’on a mis en évidence le coefficient imaginaire de la variable { dans les équations généralisées de la mécanique. Tout d’abord, il n’y a pas un concept de l’espace donné objectivement, comme une idée platonicienne, que nous arriverions à connaître enfin du point de vue le plus vrai et le plus fécond. L’espace abstrait n’est pas une chose que l’on découvre, mais une invention mentale. Il n’y a même pas une intuition géométrique pure dont la théorie analytique serait la traduc-