LA CONSTRUCTION DE L'ESPACE

tion et l'expression. L'analyse qui vient d’être faite n’est pas la transposition mathématique de ce que Kant appelle « l’exposition transcendantale du concept d'espace ». Ce que le mathématicien appelle espace, c’est un ensemble de nombres de diverses espèces, sur lesquels sont définies diverses opérations; les propriétés de l’espace ne sont rien d'autre que celle des nombres et des opérations ainsi introduits. Or, dans ces conditions, qu'est-ce qu’un ordre d’analyse vraiment rationnel?

Ce peut être un ordre qui mette en lumière les principes a priori; mais nous savons qu'il n’existe rien de tel, il n’existe pas d’axiomes qui ne puissent être .niés en eux-mêmes. À cet égard l’axiomatique abstraite nous donne les cadres les plus profonds de la théorie géométrique, en même temps qu’elle en met en lumière le caractère parfaitement arbitraire et indéterminé. Nous ne pouvons justifier ni le choix de ses objets, qui ne sont d’ailleurs que des termes, ni celui de ses principes, ni l’ordre de ses énoncés. Une géométrie n’est, en dernière analyse, ni plus vraie, ni plus rationnelle qu’une autre, pas plus que le jeu d'échecs n’est plus vrai ou plus rationnel que le jeu de dames. Tout se réduit à des caractères esthétiques ou à des aptitudes à l'interprétation physique. Les géométries analytiques sont des schémas plus particuliers, aptes à illustrer les mêmes lois, mais dont l’épistémologie est la même.

C'est pourquoi, d’un point de vue strictement logique, la structure de l’espace est a priori totalement indéterminée. Chaque fois que nous croyons pouvoir restreindre définitivement le champ des hypothèses, nous sommes victimes d’une illusion. Le privilège de la géométrie euclidienne, celui des géométries non-euclidiennes classiques, celui des espaces riemanniens se sont évanouis à l’analyse. Il n’y a aucune raison pour que les espaces de M. Cartan soient considérés comme le terme dernier de cette généralisation. Ils sont les plus généraux des. espaces localement euclidiens à liaison différentielle simple, ou, si l’on veut des espaces à repère variable. D'ailleurs, il est peut-être aventuré d’affirmer que l’expression de la connexion affine est la plus générale qui nous permette d'associer en un espace des domaines euclidiens élémentaires.

Quant à savoir si ces espaces sont les plus généraux que nous puissions jamais employer dans l'interprétation des phénomènes physiques, il est bien difficile de le dire. Ils ne correspondent plus à ce que nous appelons normalement l’espace; or, si nous acceptons d’exprimer géométriquement des faits tenus d’abord pour purement physiques, nous ne savons guère où nous nous arrêterons. Quelle est la structure des espaces de configuration les plus généraux? Nul ne peut le dire à l’avance. Le problème de cette structure est donc une pure affaire d’opportunité expérimentale.

Un ordre rationnel peut être un ordre de simple exposition, qui permette de classer en une hiérarchie régulière les diverses formes d’espaces ordinairement étudiées. A cet égard, l’emploi de la géométrie différentielle marque un progrès insigne, car elle admet comme cas particulier la géométrie non- -euclidienne classique; les espaces de Riemann comprennent les espaces cayléens. Mais il semble qu’à cet égard la théorie de Weyl marque plutôt un changement de langage et t de plan qu’un point de vue vraiment nouveau. Or, les changements de notations ne peuvent nous instruire indéfiniment.

Prendrons-nous les choses d’une manière plus philosophique? et

dirons-nous que l’ordre le plus réel, le plus profond d’une étude de l’espace doit calquer la construction de l'espace abstrait sur l’exploration progressive de l’espace physique? Mais il ne s’agit pas de l’ordre historique suivant lequel notre notion de l’espace s’est développée pour s'appliquer de mieux en mieux à l’univers physique, ordre contingent et irrégulier qui nous a mené de l’étude des figures planes à la stéréométrie des Grecs, à la géométrie analytique et à la reconstruction différentielle des modernes, mais d’une exploration systématique, infiniment précise, et d’ailleurs parfaitement fictive.

Cette exploration est même doublement fictive. Son avantage est de mettre en relief certaines opérations qui pourraient donner des résultats intéressants touchant les divers degrés d’holonomie de l’espace si nos moyens de mesure étaient assez précis, et, suivant les résultats, de conclure à des types de structure beaucoup plus généraux que ceux de la géométrie non euclidienne courante. Par contre, dans la mesure où elle sous-tend intuitivement des définitions purement algébriques, et qu’il serait aussi simple de donner directement, elle mène à une sorte de paradoxe : en effet, notre intuition est foncièrement dissymétrique en ce qui touche les longueurs et les angles; en elle, les points constituent les droites ou les plans et non inversement; les longueurs déterminent les angles, non inversement. En un mot, dans la mesure où elle est définie, elle est euclidienne. Il est alors un peu surprenant de vouloir associer un criterium de dualisme à un criterium d’intuition sensible. D’autre part, cette infinité d’expériences nous donnant la connexion métrique en tout point est évidemment un artifice de pensée qui dissimule le mouvement réel de l’esprit. Notre géométrie, et avec elle les caractères de notre espace sont construits à la fois « in finito » et « in angusto-» et c’est par un double prolongement que nous arrivons à la. géométrie différentielle et à la géométrie d’ensemble. Pourtant, il y a, dans cette reconstruction plus qu’un jeu de mathématiciens. il y a une certaine idée du réel que nous retrouverons à propos du « sens physique » des notions. La définition de notre espace sous forme finie, dans une multiplicité à six dimensions, n’a de sens que pour un observateur étranger à cet espace, et comme transcendant. Il n’y a pas là un point de vue réel. Inversement, l’expérience effectivement réalisée ou effectivement possible est un cadre trop étroit. individuel, relatif. Le réel est formé par l’ensemble des expériences humainement possibles, ou du moins qui appartiennent aux types ayant, humainement parlant, un sens défini. Peu importe ici que les opérations mises en jeu soient agrandies ou rapetissées en pensée, qu’elles soient multipliées à l'infini, les impossibilités qui peuvent se présenter sont accidentelles, le type de l’expérience reste défini, le caractère est réel. C’est de là que naît le souci d’une exploration systématique et progressive de l’espace. qui nous semble en définir la structure réelle, indépendamment de la manière dont nous l’avons effectivement connue, ou inventée. Pourtant nous croyons qu’il y a dans cette manière de voir une erreur psychologique et épistémologique. Ni en fait, ni même en droit, nous ne trouvons la théorie dans le prolongement de l’expérience. I n’y a ni continuité, ni parallélisme entre elles. L'esprit forge des constructions imaginaires en s'inspirant de l’expérience, mais sur un autre plan, sans lui être lié. I1 confronte ensuite ses œuvres avec elle, mais par retours provisoires et

discontinus. C’est l’œuvre d’un peintre dont les yeux vont parfois du modèle à la toile, mais qui plus souvent encore construit directement et d'imagination ses figures, dont il retrouve parfois les traits dans les corps réels. Ce n’est pas l’œuvre d’un savant qui par une suite de mécanismes ingénieux arrive à photographier d’une manière de plus en plus exacte et approfondie le disque d’une planète. Entre l’expérience et la géométrie, il y a l'effet créateur et libre de l'esprit, dont les œuvres abstraites symbolisent avec la nature, et ne la copient pas.

S 4 — Les propriétés. d'ensemble de l’espace.

Nous dirons quelques mots des propriétés d'ensemble des espaces. Elles correspondent, en effet, à des problèmes auxquels on attache parfois une importance philosophique considérable : l’espace est-il ouvert ou fermé, fini ou infini? Appliquées au monde réel, ces questions ont occupé un grand nombre de penseurs : Grecs curieux d’homogénéité et de finitude, chrétiens attachés à l’image d’un infini dont la démesure les effraie, rendant sensible à l’homme sa misère, mais lui annonçant une destinée. Les physiciens ne les négligent pas, car leur science tend à nous présenter une image totale de la nature et du devenir, et lorsqu’elle se contente de décrire une cellule de l’univers physique, C’est par une sage résignation. Enfin, elles ont un sens expérimental au moins virtuel : un rayon lumineux peut tourner dans l’univers ou s’y perdre, l’énergie peut se disperser à l'infini ou simplement se répandre dans un domaine fini, et y égaliser ses niveaux. Il convient donc de rechercher si, dans le concept mathématique d’espace, nous ne rencontrons pas certaines déterminations inévitables, qui préformeraient par avance notre image du monde physique, nous imposant ctrtains jugements, certaines prévisions objectives, dont la valeur serait liée à l’accord nécessaire de la nature et de l'esprit.

Une telle intention semble d’abord paradoxale, si l’on admet ce que nous avons dit touchant la nature même de la géométrie. Si celle-ci, considérée localement, n’est qu’un ensemble de signes, assujettis à des lois conventionnelles de combinaison, capables de correspondre formellement aux lois physiques, comment en serait-il autrement pour la forme des multiplicités, comment aurions-nous affaire à autre chose qu’à des conventions symboliques, incapables de prédéterminer la réalité, comment l’étroitesse de notre langage et de nos images pourrait-elle être consacrée objectivement ? Pourtant, l’opinion philosophique confère volontiers une valeur universelle à des analogies intuitives et elle érige en dogmes des lois accidentelles; c’est ainsi que le caractère euclidien de l’espace semble à beaucoup impliquer ipso facto son infinitude, tandis que son caractère hypersphérique leur paraît exiger qu’il soit fini. Mêmes des physiciens ont favorisé une telle croyance, en présentant dogmatiquement le caractère fermé de l’univers comme un corollaire de sa structure métrique. Il en est ici comme de la loi de Gauss ou de la conservation de l’énergie dont physiciens et mathématiciens, suivant un mot de Poincaré, s’attribuent réciproquement la justification. Malgré la difficulté du sujet, nous essaierons de donner sur ce point quelques indications très générales.

Qu'est-ce qu’attribuer une forme d’ensemble à l’espace? C’est em déterminer les propriétés topologiques, c’est-à-dire celles qui intéressent les coordonnées, abstraction faite de toute définition particulière, de type métrique par exemple. Ainsi le même point pourra correspondre à des coordonnées différentes, si les courbes de coordonnées s’y croisent. Une courbe de coordonnées pourra se fermer sur elle-même ou non. Sans doute, de telles propriétés peuvent s’introduire dans n importe quelle multiplicité par un choix particulier des coordonnées; mais ce qui est intéressant, c’est de savoir quelles sont les propriétés qui se retrouvent dans tout système particulier de coordonnées. Les caractères topologiques de l’espace sont donc ceux qui sont invariants dans un changement quelconque de variables, pourvu que celui-ci soit continu. De ce type seront par exemple le fait de ne pouvoir établir un système de coordonnées qui ne se recoupe pas, celui de ne pouvoir définir une transformation de l’ensemble des points qui ne laisse aucun point fixe, l'existence de courbes non réductibles à un point par transformation continue.

Une image de variétés douées de forme est donnée, pour les multiplicités à deux dimensions, par les surfaces de l’espace euclidien. Les courbes de coordonnées correspondront aux courbes tracées sur la surface, et nous aurons, de l’extérieur, une intuition correspondant aux observations intrinsèques et les déterminant. Les propriétés topologiques d’une telle surface appartiennent à toutes celles qui s’en déduisent dans l’espace par déformation continue. On voit donc en quel double sens. elles sont conservées dans une homéomophie, que celle-ci soit prise à l'intérieur de la multiplicité, ou qu’elle porte sur cette multiplicité ellemême dans un espace supérieur.

Parmi les propriétés qui semblent relatives à la forme intuitive des surfaces, il en est de trois catégories : les unes sont tout à fait contingentes et non topologiques, comme la différence d’une sphère et d’un cube, de deux cylindres de section différente; d’autres ne sont topologiques qu’en un sens relatif : elles ne sont pas définissables intrinsèquement, mais elles le sont dans un espace donné; par exemple, un tore présentant un nœud ne peut être ramené: dans l’espace ordinaire à un tore simple, mais un observateur lié à ces surfaces ne peut en voir la différence; il suffit d’une dimension supplémentaire pour qu’elles se réduisent continument l’une à l’autre; enfin l'existence d’anses et d'ouvertures sur une surface a un sens intrinsèque et comme absolu.

Deux problèmes se posent alors : définir la nature topologique d’une surface, montrer comment cette nature se reflète dans les propriétés. des figures qui peuvent lui être attachées. La topologie peut d’ailleurs, comme toute théorie géométrique, être étudiée en relation avec une interprétation algébrique, ou au contraire d’une manière abstraite, qui la rattache à la théorie des ensembles. C’est ce dernier point de vue qu’adopte par exemple M. de Kerekjarto (1). Pour celui-ci une surface est définie par un assemblage de petits triangles, elle est polyédrique. Sa nature topologique est caractérisée par son genre, qui est le nombre de ses anses, par le nombre de ses contours d'ouverture, enfin par son orientation, qui est liée à celle d’un repère déplacé le long d’une courbe fermée. Cette nature détermine les propriétés des rétrosections, celles-ci

() Vorlesungen über Topologie (Springer).

LA FORME DE L'ESPACE x 215 pouvant avoir un ou deux bords et se ramencr à un nombre détérminé de rétrosections distinctes; elle détermine aussi celles des sections transversales, lignes ouvertes qui touchent une frontière. Elle détermine enfin certaines propriétés des courbes et des faisceaux de courbes que l'on peut tracer dans la multiplicité; on montrera par exemple que sur une surface fermée de genre 0, on ne peut établir de système de coordonnées sans singularité, et que la chose est d’ailleurs impossible en dehors des surfaces annulaires, de l’anneau circulaire et du feuillet de Môbius. On peut faire correspondre aux points singuliers un indice lié à la nature topologique de la surface. On peut étudier les correspondances possibles entre les courbes fermées définies sur la surface; ainsi s'introduisent les concepts d’isotopie et d’homologie auxquels se rattache ja définition du groupe fondamental de Poincaré; on peut étudier les intersections des courbes fermées de divers types, et l’on arrive ainsi à la définition de l'indice de Kronecker. Enfin, on peut considérer, d'une manière très générale, le comportement des courbes définies par des équations différentielles, dont M. Hadamard a pu dire, qu’il n’avait presque rien de commun suivant qu’il s’appliquait à des multiplicités de forme différente.

On peut se demander quelles sont les formes possibles d’une surface : il est clair que le nombre des anses ou celui des contours d’ouverture peut être quelconque. La. seule restriction qui peut s’introduire est relative aux propriétés d'orientation : c’est ainsi qu’il n’y a pas de surface non orientable entièrement férmée dans l’espace à trois dimensions.

L’intuition ne définit pas la notion de forme pour les multiplicités d'ordre supérieur. Mais il est possible de généraliser les définitions précédentes, en considérant l’espace comme engendré par assemblage de polyèdres connexes. On procédera par abstraction, substituant les cycles aux rétrosections, et caractérisant par exemple l’indice de connexion par le nombre maximum de cycles indépendants qui existent dans la multiplicité. On peut aussi généraliser la représentation plane des surfaces : par une suite méthodique de rétrosections et de sections transversales, on peut toujours ramener une surface à une forme simplement connexe et ouverte, que l’on appliquera sur un domaine plan par simple déformation. Inversement un domaine ouvert simplement connexe est l’image d'une surface quelconque lorsqu'on établit entre certains éléments de sa frontière une identification; suivant le procédé d'identification, on obtiendra des surfaces orientables ou non. Cette méthode s’étend tout naturellement à un domaine ouvert simplement connexe, à un nombre quelconque de dimensions: c’est ainsi qu’un cube dont on identifie successivement les faces opposées donne l’image de la multiplicité annulaire la plus simple. M. Volterra, H. Poincaré ont en particulier construit des modèles remarquables de multiplicités. L'étude des propriétés topologiques de ces variétés n’a,pas encore été poussée très loin; elle semble devoir donner des résultats très différents de celle des variétés à deux dimensions.

Quand on associe le concept de forme topologique aux concepts métriques, on arrive à des conséquences très importantes, celles mêmes auxquelles on attribue d'ordinaire un très grand intérêt philosophique. Les géodésiques de la variété, qui sont notre mode naturel d’exploration, présentent alors des caractères remarquables, correspondant à des

expériences physiques au moins virtuelles : elles seront finies ou infinies, se couperont ou ne se couperont pas; la géométrie élémentaire, prise sur l’ensemble de la multiplicité, dépendra à la fois de la structure et de la forme de celle-ci. Une série de grandeurs caractéristiques se trouveront, le cas échéant, déterminées : les rayons de la variété, son étendue, etc.

Le problème le plus important qui se pose maintenant est le suivant : quel est le lien qui existe entre la forme d’une multiplicité et sa structure métrique ? Quelles sont les données qui nous permettent de déterminer totalement les propriétés de l’espace, et quelles hypothèses doivent être à cet égard implicitement admises? En effet, dans l’application de la géométrie au monde physique, seule la métrique locale peut être justifiée expérimentalement, et c’est par des raisonnements purement théoriques que nous attribuons, à tort ou à raison, une forme et une grandeur d’ensemble à l’univers. Nous avons ici le procédé inverse de celui par lequel on peut déterminer la structure géométrique locale à l’aide de considérations portant sur les mouvements d'ensemble de l’espace.

Les mathématiciens entreprennent seulement l’étude de ce problème. Tout ce qu’il est possible de faire ici, c’est d’en indiquer les thèmes principaux.

Tout d’abord, deux multiplicités dont la forme topologique et la structure métrique sont données peuvent-elles différer par quelque autre caractère, par exemple par l’étendue? Cette question peut se présenter sous deux formes différentes : existe-t-il des multiplicités de ce genre formant une suite continue, c’est le problème de l’indéformabilité; y a-t-il des multiplicités de ce genre qui soient isolées, que l’on ne puisse réduire les unes aux autres par déformation continue, respectant la métrique ?

En second lieu, une métrique donnée est-elle compatible avec une forme quelconque? La donnée de l’élément linéaire nous permet-elle de préciser la nature topologique de la variété?

L’intuition est, sur ces différents points, fragmentaire, irrégulière, et liée à des circonstances manifestement accidentelles; elle est plus instructive lorsqu'elle nous révèle une possibilité que lorsqu'elle montre une impossibilité. Donnons quelques exemples : deux troncs de cylindres peuvent différer par le diamètre et l'étendue; nous ne connaissons pas de surface à ds* euclidien qui soit annulaire ou de forme sphérique; la sphère est manifestement indéformable, comme d’ailleurs toute surface polyédrique convexe; par contre. il existe des surfaces intrinsèquement indiscernables, mais non superposables par déplacement : par exemple, celles qui sont symétriques par rapport à un plan; mais il n'existe pas de surface homéormophe à une sphère donnée, et qui ait même courbure sans lui être identique. Mais il est clair que beaucoup de ces faits sont relatifs à l’espace tridimensionnel où la surface est baignée; les figures symétriques deviennent superposables, la sphère déformable, si l’on ajoute une dimension, (il est vrai qu’intrinsèquement, ces faits ne peuvent être mis en évidence). De même la surface de Killing définit un tore à métrique euclidienne. Or, s’il est extrêmement intéressant d’étudier les surfaces dans l’espace à trois dimensions, c’est-à-dire l’ensemble de trois variables, fonction de deux paramètres, il n’y a pas là un point de vue objectif. qu’il suffise de généraliser pour l’espace lui-même, considéré dans une multiplicité d’ordre supérieur.

On trouvera certains résultats exposés au tome II du traité de Darboux ou tome I des « Leçons sur la géométrie différentielle » de Blaschke, par exemple la généralisation aux surfaces convexés des théorèmes sur l’indéformabilité de la sphère, l’énoncé de Weyl suivant lequel il n’existe essentiellement qu’une surface convexe présentant un élément linéaire donné à courbure positive, ou les théorèmes de Hilbert touchant les surfaces à courbure négative. Il faut observer d’ailleurs que l’on ne peut exclure l’existence de certaines formes qu’en imposant aux surfaces de n’avoir pas de lignes singulières. C’est ainsi qu’on écartera la surface hélicoïdale de Minding pour les multiplicités à courbure constante négative. On écartera même les surfaces à courbure constante positive formées par jonction de deux sphères auxquelles on a enlevé respectivement une calotte. Encore faut-il bien voir la nature de cette singularité : elle n'a d'intérêt que si elle est intrinsèquement définissable. Voici une sphère dont on enlève une calotte, que l’on resoude sur son contour, après l’avoir retournée. Nous avons une surface nouvelle, que nous ne saurions superposer à l’ancienne. Elle a une ligne singulière, pour un observateur extérieur; mais cette frontière n’a aucun sens intrinsèque. Il est vrai qu’intrinsèquement les deux surfaces sont totalement indiscernables : elles ont même étendue, mêmes caractères. Il en est tout autrement pour les formes à courbure constante que propose F. Klein, la sphère d’une part, la surface de révolution engendrée par la tractrice de l’autre, n’étant que des cas limites de surfaces en quelque sorte périodiques.

Il faut évidemment chercher un point de vue plus général et intrinsèque pour définir les formes. On pourrait interpréter le ds dans un espace à nombre quelconque de dimensions, mais il n’est pas sûr a priori que l’on puisse réaliser toutes les connexions intrinsèquement possibles. On pourrait aussi, raisonnant du point de vue cayléen, chercher quelles métriques peuvent être définies, d’une façon régulière, sur une multiplicité de forme donnée. C’est ainsi qu’on montre, par un raisonnement qui s'appuie sur les formules d’Euler, qu’une sphère ne peut être recouverte régulièrement d’une métrique euclidienne. Mais il y a dans ces procédés quelque chose d’artificiel et d’imparfait. Nous voudrions pouvoir engendrer tout l’espace par enchainement de domaines élémentaires et saisir comment la structure de ces domaines détermine, d’une manière en quelque sorte absolue, les raccordements possibles et la forme de l’espace. La méthode la plus générale est celle qui consiste à engendrer les diverses formes par identification des contours d’un domaine ouvert et simplement connexe, où le ds” soit naturellement régulier. Il faut seulement que sur les contours identifiés les repères métriques soient superposables. Le problème fondamental est : alors celui-ci : déterminer dans le plan métrique les contours identifiables. Un certain nombre de faits deviennent alors évidents. On obtient le tore de Killing, qui équivaut à la surface de Clifford-Klein, en identifiant les côtés respectivement opposés d’un rectangle. (On arriverait d’ailleurs à un résultat équivalent en considérant comme distinctes la face interne et la face externe d’un tronc de cylindre, et en les mettant dans le prolongement l’une de l’autre.) Inversement, pour obtenir une surface entièrement fermée à partir du domaine initial, on doit identifier l’ensemble des points d’un contour, et fixer sur ce contour le prolon-

gement des repères métriques. Ce contour doit être de longueur nulle, et la seule composante du repère qui intervient est sa composante norinale, Comime il n’y a pas dans le plan euclidien de contour fini de longueur nulle, on voit directement pourquoi il ne peut y avoir de multiplicité euclidienne de forme sphérique.

M. Cartan est parti d’un point de vue analogue dans son étude des variétés riemanniennes à ds’ euclidien. II considère la variété comme développée sur un espace euclidien de recouvrement de telle sorte qu’à chaque point correspondent autant de points qu’il y a de géodésiques joignant sur la variété le point initial à une origine donnée. Le groupe qui échange ces points entre eux constitue le groupe d’holonomie; il correspond aux applications successives de la variété dans son déroulement sur l’espace de recouvrement. On engendrera donc les diverses formes possibles en définissant le recouvrement de lespace euclidien au moyen des opérations du groupe d’holonomie appliquées à un domaine fondamental. Ces opérations définissent des domaines successifs dont les frontières sont identifiables, ainsi que les repères métriques y adjacents. Le problème fondamental consiste donc à déterminer le groupe d’holonomie, qui est fait dans le cas considéré de translations et de symétries. La définition des formes possibles devient alors un problème de combinatoire. M. Cartar a généralisé cette méthode, en l’appliquant aux surfaces à courbure variable négative ou nulle; le groupe d’holonomie devient le groupe de connexion qui s'applique à l’espace simplement connexe de recouvrement. Il peut être curieux de noter l'identité du procédé par lequel M. Cartan généralise l’idée de forme et celle de structure : dans les deux cas il retient, par abstraction, comme définition du concept, une conséquence des définitions ordinaires : la juxtaposition des repères métriques parallèles sur la multiplicité, celle des domaines de développement sur l’espace de recouvrement, et il caractérise l’opération par laquelle nous passons de chacun d’entre eux au suivant (1).

La détermination des formes possibles de l’espace à partir du groupe de connexion correspond à celle de ses structures à partir du groupe des déplacements, telle qu’elle nous apparaît dans la géométrie noneuclidienne classique. Et nous sommes amenés par là à nous demander si nous avons le point de vue le plus général possible touchant la forme de l’espace ? D’un point de vue strictement théorique, le problème n’a guère de sens : ne choisissons-nous pas librement nos définitions, et les restrictions auxquelles elles doivent satisfaire ? Les espaces riemanniens sont des espaces dans la mesure où il nous plaît de les nommer tels, et de même les espaces à torsion de M. Cartan. De même les formes possibles sont définies par les raccordements imaginables entre les contours d’un domaine fondamental, et si surprenantes que soient les limitations qui se présentent, elles sont des faits expérimentaux, matériels, plus ou moins réguliers, comme ceux qui touchent la résolubilité par radicaux des équations ; elles apparaissent dans leur véritable nature lorsqu'elles sont associées à des phénomènes simplement combinatoires.

Mais le problème véritable n’est pas là. Ce qui nous touche dans cer-

: (1) Voir: Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann. M. Cartan a d’ailleurs jeté les fondements d’une étude systématique et immense des propriétés intégrales des espaces à partir de la théorie des groupes.

tains des résultats signalés, c’est que, d’une manière indirecte, la structure du monde physique se trouverait déterminée dans son ensemble, comme si la raison géométrique impuissante à définir a priori la structure de l’espace, pouvait, à partir d’une étude locale, en déterminer normativement la forme. Celle-ci ne pourrait être prédite par une intuiion intérieure, mais pourrait être définie de l’extérieur, par une sorte d’encerclement logique. Nous aurions ici un dernier reflet de la conception dogmatique et législatrice de l'esprit.

Nous savons bien, il est vrai, que le ds* local peut être prolongé arbitrairement, qu’une surface peut être raccordée à une surface de nature toute différente. L’expérience seule ne nous permet donc pas de préjuger de l’ensemble de l’espace, mais peut-elle le faire si on lui adjoint le principe de raison suffisante, sous forme d’un principe d’homogénéité de l’espace vide ? Il faudrait évidemment définir celui-ci d’une manière plus précise. Implique-t-il la libre mobilité de l’ensemble de l’espace sur lui-même ? Il ne le semble pas. Nous ne devons imposer que des conditions proprement locales, comme le caractère constant de la courbure. Mais ne pourrons-nous pas aller plus loin, et exiger que tous les points soient équivalents comme origines des coordonnées ? La chose est acceptable, mais ne nous permet pas à priori de choisir entre des multiplicités de connexions différentes : sur le tore à métrique euclidienne, comme dans l’espace normal, il nous est impossible de trouver une origine privilégiée. Mais nous pourrons exiger encore que toutes les directions soient équivalentes, ce qui exclut immédiatement toute surface annulaire; d’une manière plus générale, l’homogénéité de l’espace semble exiger qu’il soit simplement connexe. S'il en est ainsi, on évite malaisément l’idée qu’il est entièrement déterminé, dans sa forme et son étendue. ;

Cette conclusion est, à certains égards, satisfaisante. On peut éliminer assez facilement certaines dissymétries superficielles entre le cas de l’espace euclidien et celui de l’espace riemannien à courbure constante, en considérant que le premier est fermé à linfini, et qu’il est lui aussi indéformable; et il est probable qu’une symétrie formelle du même genre doit se retrouver pour les multiplicités de connexion supérieure.

Mais on peut, inversement, être surpris par ce résultat. Il est bien malaisé d’admettre que, même dans l’hypothèse d’une homogénéité des régions élémentaires de l’espace, la connaissance de la structure locale détermine celle de l’ensemble; que, pour prendre une application physique, du fait que les rayons lumineux définissent en chaque point une métrique euclidienne, on puisse conclure que deux rayons issus d’un même point ne se rencontreront jamais plus. C’est 1à un sentiment confus, comme celui par lequel nous doutons qu’on puisse jamais mettre en évidence le mouvement absolu de la terre.

Quand nous montrons, par un raisonnement élémentaire, qu’il ne peut y avoir dans l’espace plus de cinq polyèdres réguliers, nous voyons, par une intuition claire, que, dans la mesure où nous acceptons de donner à un objet physique le nom de polyèdre, nous serons obligés de lui attribuer les propriétés formelles des polyèdres abstraits, nous saisissons LE parallélisme, la superposition du schéma théorique à l’objet matériel, et par là même la nécessité où est celui-ci de vérifier les propriétés de celui-là. En est-il ainsi pour l’espace? Assurément, nous ne pouvons pas

en embrasser la forme d’une seule intuition, sans être dupes d’allégories tout à fait limitées, imparfaites, fragmentaires, comme est l’image d’une surface finie de l’espace à trois dimensions. Mais n’apercevons-nous pas clairement, intuitivement, l’enchaînement des parties de l’espace, n’en voyons-nous pas le prolongement indéfini et homogène aussi clairement que celui de la série des nombres entiers, ne saisissons-nous pas par là, comment l’ensemble de l’espace doit pouvoir être divisé en domaines simplement connexes et ouverts, raccordés sur leurs frontières, et comment les lois intrinsèques de ces raccordements, telles que nous les déterminons dans notre voisinage, sont celles des connexions possibles, la disposition empirique de l'univers pouvant exclure certaines des formes possibles, non en créer d’autres ? Nous craignons bien que cette intuition ne soit illusoire : une intuition de ce genre aurait aussi bien exclu la géométrie non-archimédienne.

En sens inverse, l'indépendance de la structure locale et de la forme de l’espace est loin d’être axiomatiquement claire, et peut être tout à fait illusoire. Nous n’avons, d’autre part, aucune image nous montrant la possibilité logique de cette indépendance, au sens où nous voyons clairement qu’un corps peut ne plus être superposable à lui-même après déplacement, et qu’ainsi la connexion métrique n’est pas intégrable a priori dans l’espace.

Il est donc certain que si nous entendons décrire les propriétés géométriques du monde physique dans un langage donné, nous ne disposons que d’un nombre très réduit d’exemplaires théoriques de l’univers, compatibles avec l’expérience; la structure en détermine la forme. Mais faut-il attribuer à ce langage une valeur absolue, croire que ros schémas, nos constructions symboliques déterminent objectivement la réalité? Nous ne le pensons pas, et nous croirions plutôt que toute notre science mathématique est essentiellement relative, non seulement à l’homme, mais à une époque de sa pensée symbolique; et de sa figuration abstraite de l’univers. Il est probable que nous arriverons à généraliser l’idée de structure, et celle de connexion, et, dans les deux cas, celle d’homogénéité de manière à laisser indéterminée, en dépit de l’expérience physique locale, la forme d’ensemble de l’univers, sans que soit mis en échec le principe de raison suffisante.

Si nous avons insisté sur des pensées par ailleurs très imprécises, c’est que l’on renonce malaisément à prédéterminer dogmatiquement les phénomènes au nom d’un fantôme de rationalité; ainsi l’on convient que les Grecs s’attachaient à tort aux mouvements circulaires, que Kant imposait indûment à la théorie physique les cadres de l’espace euclidien, mais on a l'illusion qu’il serait possible d’arriver sous la pression de l’expérience locale à une définition parfaite de la structure théorique de l’univers qui s’étendrait naturellement au delà de cette expérience, et l’achèverait. Ainsi se perpétue la pensée que les nombres gouvernent le monde, chaque siècle songeant à « ses >» nombres, et prétendant plier la nature aux lois de ses allégories et de son langage. Mais les nombres imitent le monde, et ne le préforment pas, et la raison, mathématique, comme la raison métaphysique est incapable d’en prédéterminer la nature. Est-ce à dire que le progrès de la science soit vain ? Assurément non, mais dans son usage objectif, il est étroitement solidaire de celui de l'expérience, et il ne réforme pas notre image de la raison. Il peut nous

plaire d’appeler raison un ensemble d’hypothèses, de principes, d’allésories, que l'expérience rend précieux, de parler d'évolution de la raison géométrique ou physique : c’est là une figure de langage acceptable, pourvu qu'il soit entendu que nul mode nouveau de comprendre, que nul type de vérité n’est créé par là, que les concepts nouveaux ne peuvent être vrais en un sens dogmatique, et surtout que, établis pour une zone limitée de l'expérience, ils n’ont aucun rôle normatif, et ne peu-

vent, faisant fonction d’a priori, préformer objectivement l’au delà expérimental,