B) LA THÉORIE PHYSIQUE

S 1. — La courbure de l'espace-temps

Deux procédés sont possibles pour préciser la loi géométrique qui doit remplacer celle de Newton. Le premier est de caractériser directement les composantes de la connexion affine; il s’imposerait si l’on mettait au premier plan cette connexion, si l’on adoptait le point de vue de M. Cartan. Le second procédé consiste à déterminer directement le ds?. Posons ds?=4y;x dx ‘dxY, les x étant les coordonnées courantes qui repèrent la multiplicité. Comment choisir ces gixk, qui ne peuvent être obtenus directement à partir d’un changement de variables fini, autrement dit qui ne peuvent être euclidiens, puisque nul changement du système de référence ne peut faire disparaître le champ gravifique? Ici encore deux mctaodes sont possibles; l’une est toute empirique : chercher par tâtonriements des expressions simples, satisfaisant à un certain nombre de conditions. C’est ainsi, par exemple, que M. Painlevé présente les choses (2). Parmi les conditions que l’on peut imposer, citons les suivantes : que le ds? soit statique, c’est-à-dire que les gix ne soient pas fonction explicite du temps (principe de relativité, ou plutôt d’homogénéité du temps, que M. Painlevé appelle, par une métonyrie regrettable, principe de causalité) ; qu’il n’y ait pas de termes rectangles en dé

(1) Et, au fond, à l’énergie cinétique, qui n’est plus une énergie au sens

courant.

(2) Cf: CR: ac. des. sc. 1922 II. 1140.

. . # (principe de réversibilité, qui n’a aucune raison mathématique, mais qui correspond au fait que les équations de la mécanique classique sont réversibles : dans un renversement du temps, l’action change en bloc de signe, mais les expressions élémentaires sont invariables. D'ailleurs on peut toujours éliminer le terme rectangle par simple changement de variables. Or, nous voulons qu’en chaque point, le ds? soit de la forme do? — cd do et dr étant les composantes locales de l’espace et du temps. Il est done raisonnable de faire de d6 et de dr des fonctions séparées du ds spatial et du dt). Nous pourrions aussi imposer que la déformation de l’espace-temps conservât l’élément d'hypervolume, D'autre part, il faut que le ds, réduit au terme en dt qui est de beaucoup le plus considérable, se réduise

approximativement à l’action élémentaire newtonienne #2 (U-h) dt, ou encore qu’en prenant les équations d'Euler correspondantes sous la dX5 \%É) dxa dxf \ 44 —— ——-=0 nous obtenions pour ; ds? L'oj ds ds (1 première approximation, la force de Newton. C’est ainsi que se mêlent les considérations formelles et expérimentales dans l'établissement des lois abstraites : nous pouvons chercher une expression de l’action à forme et sens géométriques, comme M. Schrôdinger cherchera une expression à forme ondulatoire de l'équation de Hamilton-J'acobi.

Maintenant, le potentiel newtonien vérifie l’équation de Laplace- Poisson qui joue un si grand rôle dans toute la physique mathématique. Cette loi doit avoir un homologue portant sur les 7ix qui jouent le rôle de potentiels; ainsi sera rétabli le caractère quadridimensionnel. Ces équations seront évidemment aux dérivées partielles du second ordre, prises par rapport aux variables courantes x; elles constituent si l’on veut la loi formelle de la gravitation. Il faut avouer que le sens physique d’une telle loi ne peut guère être que de rattacher l’état stationnaire du champ à sa loi d'établissement et de propagation, le laplacien étant une forme dégénérée du dalembertien.

M. Einstein est parti de considérations à priori, de type géométrique. Comme il croit saisir, dans la structure de l’espace-temps, p ie dogmatiquement, la raison profonde du mouvement accéléré des corps, il cherche des analogies dans les lois qui caractérisent les multiplicités riemanniennes : elles portent sur leur courbure, au sens le plus général, et lient les gx ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres groupées dans les symboles de Christoffel et les tenseurs formés à l’aide de ceux-ci. L'espace euclidien vérifie un système d'équations que l’on écrit symboli-

forme ; au moins en

quement Re =0. Dans le cas d’un espace vide, M. Einstein a admis la

loi plus générale Ruv—0. Elle remplace, si l’on veut, l'équation de Laplace, Il reste alors à intégrer cette loi : si nous en obtenons une solution particulière, toutes les valeurs des yix obtenues par changement de variables sur les x, et application de la loi de transformation des tenseurs deux fois covariants vérifieront encore la loi dite de gravitation. Schwarzschild a trouvé par tâtonnements et identifications successives la. solution bien connue qui vaut dans le cas d’une seule masse ponctuelle déterminant dans le vide un champ géométrique de gravitation

2 pu 2u\7 as=#ar| ee ar(1—<#) 1° (407+ def cos”0).

Cette formule, qui à donné des résultats expérimentaux intéressants, à fini