LA COURBURE DE L’ESPACE-TEMPS

par représenter en pratique toute la théorie d’Einstein, en tant que théorie physique. On trouvera dans les livres de MM. Chazy (1) et Darmois (2) des indications sur l'intégration des équations gravifiques dans le cas général. Notons seulement que nous n'avons pas de: méthode générale pour les écrire.

Dans la matière, l'équation de Laplace se transforme en celle de Poisson, suivant la théorie classique. Nous retrouvons dans la théorie d’Einstein la même généralisation, mais comme la masse ne représente au fond que de l’énergie, il faut mettre en évidence les tenseurs d'énergie liés à la présence du divers physique, Tuv et Euv. L'expression générale proposée est Ru,— 5 guR=#4 (T,,+E,,). Ici se présente d’ailleurs une difficulté. À l’échelle macroscopique, l'énergie matérielle et l’énergie électromagnétique se distinguent nettement, mais à l’échelle de l’électron

(1) La théorie de la relativité et la mécanique céleste, t. I et II. (2) Les équations de la gravilätion einsteinienne (Mémorial des sc. math. xvi). (3) A côté du ds° de Schwarzchild, différents auteurs en ont proposé d’autres. On en obtient une infinité par simple changement de variable. Mais, on peut aussi en introduire par approximation qui présentent des propriétés intéressantes bien qu’ils ne vérifient pas a priori la loi fondamentale Ruv — 0 Rien ne montre mieux, à ce sujet, le peu d’importance qu’attachent bien des physiciens aux considérations théoriques par lesquelles on arrive à une loi. La valeur du tenseur de eourbure n'ayant pas de sens physique bien défini, la loi qui le détermine perd beaucoup de son intérêt. Donnons quelques exemples. (Darmois et Chazy - ibid.) ! 2c°o\° H. Weyl obtient par le simple changement de variable : at des à

Le

| a | \! 7 ze | u RE a Te MER es ds —otdth",\"1+# | (d9°+ 40" + 8° cos’0.de)

; 260 [Ua Ÿ 1 e | À ou 2y. U.

M. Painlevé pose r°—0° | 1 — + par approximationr=| p— — - | Cr È Cè 2 2u 2u° M das a 2 ds’ —|1— —; — — \ Le* dt —$" (d® + cos"0 de) ] — dé | 1+ 4 Co Co) Do) M. de Sitter pose r— 0 + de et obtient, par approximation 4 2y. 2u . ‘ PAT D 5 2 ds — Le REP IP TES ET | (dr*+r° d6*+r? cos?6 do’) r Core \ c?r

à 2 Runge propose ds°=— c'e dt—e . (dr°+r* a® + rt cos’ de)

Ces diverses expressions répondent à des soucis différents, d’ordre formel plutôt qu’expérimental. M. Painlevé cherche une force corrective centrale, mais cette condition n’a guère de sens lorsque la force dépend de la vitesse, non de la position seule. Les raisons de simplicité jouent, en principe, contre le ds* de de Sitter ou contre celui de Weyl. Par contre, celui de Runge est aussi harmonieux que celui de Schwarzschild, mais l’emploi d’exponentielles traduit en général l’existence d’actions statistiques. Le privilège de certains de ces ds* est d’être isotropes, c’est-à-dire que l’espace est modifié également dans toutes les directions ; on peut dire qu’il présente un indice constant de réfraction pour la lumière et le mouvement. h 3

On a essayé de faire apparaître des ondes par le choix de coordonnées normées, en ajoutant à la loi Ruv —0 des conditions supplémentaires qui rappellent curieusement celles de Maxwell. Comme le sens physique des variables est à priori indéterminé, il n’y a là aucun artifice ; on a prouvé simplement que la déformation de l’espace-temps pouvait se propager par ondes,

le départ est beaucoup plus difficile à faire, puisque nous ne Savons pas très bien si la masse même de l’électron n’est pas d’origine électromagnétique. Nous verrons plus loin comment on à essayé de prendre les équation mêmes de la gravitation pour guide dans l’analyse microscopique de l’énergie matérielle, Er ss %

Imaginons que les tenseurs Tuv et Euy soient écrits, il reste, lorsqu ils ne sont pas négligeables, à intégrer la loi de gravitation. Weyl a propose, dans le cas d’une masse pee ee Fa

; É T L2AL2 + L3AX:) ds?=(dx?+dx,2+ dx.) + NN L’altération du temps serait nulle, l’espace serait hypersphérique, comme on peut le mettre en évidence par l'emploi d’une coordonnée d’espace surabondante.

Il faut avouer que l'intervention, dans la loi géométrique de l’espacetemps, des énergies proprement physiques est un peu déconcertante. En effet, il devient bien difficile de lui attribuer un sens formel très général.

Il reste à préciser le sens physique des coordonnées #, r. Au premier abord, il semble tout naturel de les identifier aux coordonnées polaires qui ont pour origine la masse gravifique ponctuelle, Il nous suffira donc de prendre les coordonnées attribuées aux planètes dans la théorie classique et de leur appliquer la loi nouvelle pour obtenir leur mouvement exact. Mais plusieurs physiciens font observer que ce n’est là, que ce ne peut être là qu’une approximation. En effet, disent-ils, loin d’être un simple artifice de l'esprit, la loi de gravitation est profondément objective ; elle ne peut donc porter que sur des grandeurs objectives. Or, do, dr sont bien des espaces et des temps mesurés, mais dx, dt, si vous les interprétez comme vous le faites sont des coordonnées fictives, celles qu'aurait le point dans un espace euclidien sans gravitation. Mais la nature ne se détermine évidemment pas en ayant égard à ces mesures hypotiques, virtuelles. Il en est ici comme de l’entropie : comme valeur de

; m, dQ ; , RE l'intégrale mn elle n’est définie que pour un phénomène réversible, c'est-à-dire irréalisable. En ce sens, elle n’est qu’un moyen ingénieux de classer et de prévoir le sens des transformations; on peut soutenir que le rayon lumineux cherche à réaliser le trajet de durée minimum, mais pas que les réactions chimiques ont lieu pour qu’une autre réaction purement imaginaire donne tel résultat. De même, diront certains, vous raisonnez sur les coordonnées du plan tangent où la surface est projetée, mais la nature ne considère, dans ses lois, que les grandeurs propres à la surface.

Cette thèse peut paraître étrangement ontologique, dogmatique, mais elle est spécieuse. Malheureusement, à la réflexion, elle s’effrite quelque. peu, comme celle de Mach sur l’inertie, Tout d’abord, que nommons-nous grandeurs objectives? Celles qui sont construites à partir d'expériences simples, au moyen de constructions régulières? Alors les coordonnées en question sont telles. Elles seraient telles même si nous ne les obtenions que par application de la loi de Newton, qui est, après tout, une méthode systématique de détermination, Sans doute, on voit mal la nature procéder par approximations successives et calculer ses actions par la règle de fausse position; mais nous avons des moyens plus simples. Ces coordonnées de l’univers tangent correspondent à une construction expéri--