LA COURBURE DE L'ESPACE-TEMPS

mentale : nous ne connaissons le monde des corps célestes que par d'immenses triangulations, faites sur des bases assez étroites, au moyen de la géométrie euclidienne ; nous localisons les événements dans l’univers tangent, où nous ne définissons en réalité que leur projection. Mais on répondra que la nature ne se réfère pas à nos constructions erronées pour déterminer les mouvements objectifs, et sans doute il y a là quelque chose de singulier. Seuiement, quand nous tentons de préciser ce que seraient ces coordonnées intrinsèques, auxquelles s’appliqueraient naturellement les lois objectives, nous nous heurtons à un véritable paradoxe. Prenons le cas d’une simple surface d'espace : si nous partons du centre gravifique, nous lancerons des géodésiques dans toutes les directions, et sur chacune d'elles nous établirons une échelle métrique par report d’un segment congruent à lui-même. Nous aurons ainsi des coordonnées intrinsèques de type polaire, 6 et r.

Malheureusement, il est évident que le ds? de Schwarzschild n’a plus aucun sens possible : par définition, le coefficient de dr sera nécessairement 1. Si l’on veut que > soit pris dans la multiplicité elle-même, il faut commencer par abandonner la formule en question, et avec elle toutes les formules comme celles qui donnent un espace isotrope, et qui correspondent à un 9,, variable, Naturellement le ds? de Schwarzschild n’a aucun privilège a priori; mais si on l’accepte, il faut se résigner à l’appliquer a des coordonnées extrinsèques. Inversement, on peut poser en principe que, le champ ayant une symétrie sphérique, des coordonnées de forme polaire s'imposent. Alors on ajoutera aux conditions empiriques citées précédemment la suivante : le ds doit être de la forme dr?+g dr d6+g d6 — g,, dt.

Considérons maintenant les variables de temps : dr a certainement un sens physique, maïs il faut que dt en ait un. Iei la solution est plus simple ; nous dirons, par exemple, que le temps cosmique, ou temps de l’univers tangent, est obtenu de la manière suivante : nous envoyons à intervalles égaux des signaux lumineux d’un point-très éloigné de la masse gravifique vers cette masse. Quelle que soit la structure de l’espace, dès l’instant qu’elle est statique, ils passent en chaque point à des intervalles réguliers, qui définissent en ce point des durées égales entre elles et aux durées origines. Quant au réglage des simultanéités, il suffit d'envoyer de À (point très éloigné) en B (point plus proche) un signal qui sy réfléchit. Nous marquerons 0 en B au moment où le signal arrive, et 0 en À au milieu de l'intervalle qui sépare l’émission du signal de son retour. Nous vérifierons alors qu’un atome transporté de À en B change de fréquence par rapport au temps ainsi défini, ou que la vitesse de la lumière varie suivant les lieux.

Prétendra-t-on maintenant que la nature ne saurait avoir égard à une définition aussi artificielle du temps? Où s’arrêtera-t-on dans cette voie? S'il y a deux temps dr et dt, ils ne peuvent avoir la même réalité physique, puisqu'ils ne peuvent être obtenus par les mêmes mesures. Au fond, ce réalisme de l’espace et du temps est tout à fait illusoire. On peut soutenir que la nature se réfère à l’espace et au temps objectifs quand on les imagine uniques et absolus, mais la chose n’a plus aucun sens quand ils se dédoublent. Il n’y a pas de coordonnées vraiment objectives, il y a des méthodes de mesure inégalement simples, qui sont à la fois naturelles et artificielles. La science consiste à les coordonner, et la justification de

telles mesures consiste justement dans le fait qu’elles peuvent être asso-

ciées les unes aux autres par des lois simples. L’exploration rationnelle

de l’univers géométrique est un mythe, comme les idées claires et distinctes

de Descartes. Les concepts se forgent avec les lois, les mesures d’espace et, de temps en sont au même point.

$ 2. — La jonction avec les autres forces.

Dans la théorie classique, nous ajoutons purement et simplement, d’une manière algébrique, les diverses forces qui s’exercent sur un corps. Le champ électromagnétique se superpose ay champ gravifique, de même les énergies correspondantes. Or, nous pouvons raccorder, par un procédé semblable, la gravifique einsteinienne et les autres types de champ. Il nous suffit de tirer, par exemple, de l’expression du ds, considéré comme une différentielle d'action, les équations d’'Euler qui le rendent stationnaire. Nous aurons ainsi une loi de forces du type classique, où s’introduit un terme correctif, et nous traiterons cette force comme nous faisions pour celle de Newton. De même, nous tirerons une expression de l’énergie, qui sera géométrique d’origine, d'intention, de nature si l’on veut, mais que nous traiterons comme une énergie classique (1). En d’autres termes, nous appliquerons les corrections de relativité comme nous ferions intervenir des perturbations, retranscrivant toutes les grandeurs géométriques de la théorie en grandeurs physiques de type ancien, après en avoir simplement amélioré l’expression,

Ce procédé, qui en pratique est celui qu’on emploie, dans les cas exceptionnels où cela peut présenter un intérêt, est peu conforme à l’esprit dogmatique de la théorie. Aussi bien M. Einstein et les théoriciens de la Relativité générale ont-ils trouvé une solution formelle tout à fait élégante : les lois de la nature peuvent être formulées d’une manière ‘invariante dans les divers systèmes de coordonnées pourvu que dans leur expression nous fassions intervenir les g4, coefficients des termes du ds? correspondant aux nouvelles variables; elles sont alors mises sous forme tensorielle fondamentale (il ne suffit done pas qu’elles soient données comme des équations entre tenseurs; celles-ci pouvant n'être que des formes tensorielles dégénérées, il faut que les opérateurs eux-mêmes soient généralisés). Or, il nous suffit d'introduire dans ces expressions les g3, correspondant à la structure riemannienne de notre espace-temps pour que l’effet de gravitation soit superposé aux autres effets. C’est ainsi que sur une surface la loi des géodésiques s'exprime de la même manière que sur le plan, en coordonnées générales ; seuls les gx sont changés, et ne vérifient plus les mêmes conditions. Naturellement, une multiplicité riemannienne étant donnée, une forme particulière des gx doit s'appliquer à un système de coordonnées physiquement déterminé, et c’est la donnée simultanée de ce système et des 94 correspondants qui permet d’attribuer une structure à la multiplicité.

Aïnsi, nous introduirons des opérateurs tensoriels adaptés aux multi-

(4) C’est d’ailleurs le procédé que nous employons en relativité restreinte quand nous considérons m° -

É ds Comme une masse, quand nous traitons

l’énergie cinétique comme une véritable énergie.

LES CARACTÈRES D’ENSEMBLEH 325

plicités riemanniennes, qui se réduiront aux opérations ordinaires quand les 4 : redeviendront euclidiens et dont le plus simple est la dérivation covariante. C’est eux qui iuterviendront désormais dans l'expression générale des lois naturelles. Par exemple, au lieu d'écrire la seconde loi

de l’électromagnétisme

Fev uv Fos ne =Ju, nous poserons F —=Ju, La loi d'inertie Car’ °a V

S'écrira toujours 5 | ds=0o, mais l’équation différentielle des géodésiques

ue sera plus ©? —=0, mais: dx LE (ap dre dep" 0 ds? ds? Po MIS ds

Le principe d'équivalence est-il vérifié? Au sens large, il l’est assurément : 1l est possible de donner des expressions symboliques uniformes caractérisant les phénomènes en un point quelconque de la multiplicité. Au sens étroit, il ne l’est pas, car, sous cette unité symbolique superficielle, les lois, comme les grandeurs, sont covariantes, elles dépendent des coordonnées, et suivant les cas se simplifient ou se compliquent. Ce n’est que localement qu’elles peuvent être, par un changement de variables, ramenées à la forme euclidienne, qui est à la fois dégénérée et simplifiée.

dXo

3. — Les caractères d'ensemble de l'espace-temps. À. — LA STRUCTURE.

La loi de gravitation nous apprend que l’espace-temps cesse d’être euclidien au voisinage d’une masse matérielle, mais si nous adoptons le

ds? de Schwarzschild, nous voyons qu’à distance infinie du centre gra-

vifique, l’espace-temps reprend sa structure euclidienne. Mais imaginons que la densité moyenne de la matière ne soit pas nulle dans l’espace indéfini; nous n'avons aucune raison de ne pas généraliser la solution de Weyl : le ds? serait celui d’une hypersphère spatiale, le temps restant inaltéré : un corps immobile ne prendrait donc spontanément aucun mouvement, mais, une fois mû, il ne suivrait pas une ligne droite. Cette idée d’une densité moyenne et uniforme suppose d’ailleurs un ensemble de postulats physiques : attribuerons-nous une énergie latente à l’éther, comme le font certains physiciens audacieux, pour lesquels l’éther est un immense réservoir d'énergie obscure? Dirons-nous, au contraire, que cette densité n’est qu’une vue macroscopique, et que les masses en jeu sont les masses matérielles ordinaires prises dans leur ensemble ?

Même si l’espace est vide de matière, rien n'empêche d'admettre qu’il subsiste une courbure naturelle de l’espace-temps, et que la loi de gravitation devient Ruv=Aguvy, À étant un scalaire de courbure. Nous sommes done en face de multiplicités à courbure constante. On sait que M. Einstein a proposé la solution

ds2= c2 dt? —[dr2+U2 sin? Ü (462+ sin? 6d02)]. M. de Sitter a proposé la suivarrte ds?=c? dt? cos? . — [dr2+U2 sin? ü (402+sin2 6 dy2)],

La première donne un espace sphérique, la seconde un espace-temps sphé-

rique. N'importe quel 4 déduit des précédents par changement de variables vérifie évidemment la loi initiale. C’est ainsi que nous pouvons écrire, ce qui équivaut à représenter les points de la sphère par leur projection sur un plan tangent (1) :

2 2 F ds2=c2dt2— (+ ns [art {14 ne (CL +sin?0 de?) | (cas d’Einstein), U? Le 12 \ 12 \ — 12 ds caler + a) .. + a Lare+re(r+ . (40? +sin?6 de) | (UE U? F U?

(cas de de Sitter).

Si r=0, nous retombons sur le 4s? euclidien en coordonnées polaires. Si r tend vers l'infini, les y,, tendent tous vers 0, sauf, dans le premier cas, le g,, correspondant au temps, qui reste égal à 1. La raison de ce fait est évidente : si l’on représente, par projection centrale, une demi-sphère sur un plan tangent à son sommet, le rapport de la distance qui sépare deux points sur la sphère à celle qui sépare leurs homologues sur le plan tend vers 0 quand ceux-là s’approchent du cercle frontière, quand ceux-ci s’éloignent indéfiniment de l’origine. En l'absence d'arguments expérimentaux, on peut discuter indéfiniment pour savoir si le ds? d’'Einstein est préférable à celui de de Sitter ou inversement. M. Winter préfère le second, parce que la symétrie de l’espace et du temps est, au moins dans le cas limite, plus parfaite, et que la raison incline à une expression plus conforme à l'esprit « quadridimensionnel ». Nous avouerons que ces considérations nous touchent assez peu.

On peut tirer bien des conséquences curieuses de ces hypothèses algébriques, qui, prises en elles-mêmes, sont parfaitement cohérentes : quelle contradiction peut-il y avoir, en effet, dans l’idée d’une hypersphère à quatre dimensions? ou dans celle d’un cylindre à base hypersphérique ? Mais ces conséquences n’ont d'intérêt que dans la mesure où elles mettent en jeu le temps et l’espace, et non des variables # ou r. Quel sens physique devons-nous donc attribuer aux paramètres en jeu, et aux propriétés du ds?1

S'il s’agit de l’espace seul, l’image du plan tangent reste acceptable : r, 0, w seront des coordonnées déterminées en appliquant à des bases locales les méthodes euclidiennes de triangulation. Nous pourrons considérer que r est une distance, et si nous constatons, par exemple, que la lumière, ou qu’un mobile inerte semblent changer de vitesse, nous attribuerons ce fait à la présence de forces physiques, à un indice de réfraction croissant ou décroissant indéfiniment à partir de l’origine admise. Ainsi nous aurons localisé le monde physique dans un espace euclidien. Il y aura d’ailleurs réciprocité des apparences.

La chose est plus délicate pour le temps; on voit malaisément la grandeur physique qui pourrait correspondre à la variable +, en respectant le principe de réciprocité des apparences, c’est-à-dire, puisque le «ds? est statique, l’homogénéité de l’espace. Nous voudrions que, dans l’espace vide, 1l n’y eût aucun moyen de déterminer une origine privilégiée des mesures. Or, nous nous heurtons ici à l’argument que l’on invoquait à tort contre la relativité restreinte (où l’on ne tenait pas compte de la dislocation des simultanéités) : la possibilité de comparer les durées d’un même phénomène en divers points de l’espace. Si le temps # est défini

(1) BECQUEREL, Le principe de Relativité, p. 300,