IX

SUR l'ëquilibre-limite en général, étude particulière de l'état ébouleux

QUI SE produit dans UN MASSIF PULVÉRULENT, AU MOMENT OÙ UN MUR DE SOUTÈNEMENT COMMENCE A SE RENVERSER.

42. L'étude d'un massif pulvérulent à l'état dynamique n'est abordable Formules générfties

. de l'équilibre - limite

que lorsquon se borne aux cas les plus simples. En effet, dans une masse des corps isoiropesani

■ " » éprouvent de grandes

sablonneuse dont les grains roulent ou glissent les uns sur les autres avec ^«f»™*»»"» des vitesses relatives notables et éprouvent des déplacements excédant sans cesse leurs limites d'élasticité, les pressions doivent avoir des valeurs extrêmement complexes; car elles dépendent probablement, tout à la fois, et des déformations élastiques actuelles des couches, comme à l'état d'équilibre, et du nombre des états moléculaires distincts franchis par unité de temps, c'est-à-dire des vitesses relatives de glissement des mêmes couches, conome dans les fluides, à cela près que les coefficients dont ces vitesses s'y trouvent affectées, au lieu d'être constants, croissent sans doute, de même que le

96 SUR LÉQIIILIBRE D'ÉLASTICITÉ

coefficient d'élasticité fi = mp^ avec la pression moyenne p qui mesure l'intimité du contact des particules contiguës {^). La difficulté^ du reste ^ serait également fort grande s'il s'agissait d'un solide plastique ^ que l'on pétrirait très-rapidement^ et où les pressions auraient aussi des parties dynamiques fonctions des vitesses relatives de glissement.

Mais quand ^ au contraire^ et c'est ce qui arrive presque toujours^ les déformations s'effectuent avec assez peu de rapidité pour que les inerties soient négligeables et pour que les pressions exercées en chaque point ne diffèrent pas sensiblement des forces élastiques maxima^ il devient facile d'établir des équations différentielles de l'équilibre-limite ainsi produit^ pourvu que le corps ^ solide ou pulvérulent^ soit et reste isotrope à l'état naturel.

Il importe d observer que les déformations totales éprouvées^ jusqu'à l'époque t, par une particule de matière de dimensions très-petites en tous sens^ se composent alors de deux parties bien distinctes : ce sont, d'une part, les déformations, dites non élastiques, persistantes, plastiques, etc., qui subsisteraient si la particule devenait, à l'époque /, isolée du reste du corps et abandonnée à elle-ménie de manière à n'être plus soumise à aucune pression extérieure ni intérieure (**); d'autre part, les petites déformations élastiques

(*) Les mouvemeats de faible amplitude , ou élastiques , qui peuvent se produire dans les massifs pulvérulents, me paraissent présenter peu d'intérêt, et je ne m'en occuperai pas. Leurs équations indéfinies se déduiraient de celles de l'équilibre (26), en y retranchant simplement de X, Y, Z les composantes — ^, — ^, — ^, par unité de masse, de Tinertie. Ces équations, où les N, T ont les valeurs (25), ne sont pas linéaires, même approximativement, tant que les différences des pressions exercées en divers sens et auxvdivers instants se trouvent comparables à ces pressions elles-mêmes, comme dans les solides vibrants : il est donc impossible d'y satisfaire par des expressions de u, v, w proportionnelles à de simples sinus ou cosinus de fonctions linéaires du temps. Ainsi, les milieux pulvérulents ne peuvent pas, i Tétat naturel et sous l'influence de leurs forces élastiques, exécuter de petits mouvements pendtUaires; ils étouffent ou transforment en des mouvements d'une autre nature les vibrations, émanées de corps voisins, qui s'y propagent.

("*) On ne pourrait pas en général, pour un corps d'éiendue finie, déduire, de la nullité des pressions extérieures, celle des pressions intérieures : mais on le peut pour un simple élément de volume, car la suppression des actions exercées sur sa surface entraîne l'annulation des six quantités N, T, qui ont des valeurs sensiblement pareilles dans toute* son étendue; cette annulation s'obtient elle-même en faisant varier convenablement les six longueurs et inclinaisons respectives (dont dépendent les N, T) de trois lignes matérielles se croisant en un de ses points.

DES MASSIFS PULVERULENTS. 97

auxquelles est dû son état actuel de tension ou de compression. On pourrait considérer par suite à chaque instant^ pour tout élément matériel de volume en particulier ; 1^ des positions actuelles d'état naturel (ar, y, z) de ses divers points; S"" les petits déplacements élastiques qui séparent ces positions d^état naturel des positions vraies. Mais^ en général^ les coordonnées Xyy,z dont il s^agit ne varient pas avec continuité quand on passe de la matière d^une particule à celle des particules voisines; car rien ne dit que les divers éléments de volume^ si on les isolait d'abord en abandonnant chacun d'eux à lui-même^ puis qu'on les plaçât les uns à côté des autres^ pussent se juxtaposer ou se raccorder parfaitement. Ainsi, il n'existe généralement pas, dans l'état physique actuel du corps, des positions d'état naturel qui soient infiniment voisines pour deux points matériels infiniment voisins quelconques, ou dont les coordonnées puissent servir de variables indépendantes.

Les équations indéfinies (26) de l'équilibre (p. 29) n'auront donc de sens que si x, y,z y désignent non pas des coordonnées d'état naturel, mais les vraies coordonnées actuelles des diverses particules , comme je le supposerai dans ce paragraphe. A cette condition, elles restent applicables; et l'on sait même qu'il suffirait, pour les rendre tout à fait exactes, de joindre dans leurs premiers membres, à X, Y, Z, les composantes, changées de signe, de la petite accélération actuelle de l'élément de volume. Les formules (24) ou (25) [p. 27] des forces N, T subsisteront également si les c), <7 y désignent les déformations élastiques effectives; mais celles-ci n'admettront les expressions (15), (16) [p. 24] que dans la mesure ou il y aura des coordonnées actuelles d'état naturel a?, y, ^, c'est-à-dire tant qu'on se bornera à les employer pour de simples éléments de volume à l'intérieur desquels on supposera ces expressions constantes, sans les difTérentier par rapport à a?, y, z, ni sans poser, par suite, entre les N, T, des relations pareilles à (28^') ou (28'") [p. 31].

Les déformations élastiques d'un élément de volume parallélipipède restent très-petites à toute époque et varient d'ailleurs aussi graduellement que ses déformations totales, susceptibles, au contraire, d'atteindre de grandes valeurs : les variations de celles-ci pendant un instant dty ou simplement les accroissements reçus, pendant cet instant, par l'unité de longueur actuelle

dn ses trois aréles et par les cosinus de leur^ angles respectifs^ se réduisent donc sensiblement aux six petites déformations persistantes produites sur 1 élément durant le même temps dt. Supposons que les trois arêtes considérées soient^ à Tépoque ty parallèles aux axes de o?^ y, z; d^une part^ les déformations élastiques actuelles de Félément de volume seront les six quantités (i^g; d'autre part, si u, v, w désignent, comme dans les traités d'hydrodynamique, les trois composantes, à Tépoque /, de la vitesse au point quelconque ar, y, 2:, ou que urf/, vrf/, wdt soient les petits déplacements éprouvés au bout du temps dt, les six accroissements dont il vient d'être parlé vaudront respectivement, d'après les formules (15) et (16) [p. 24],

du , rfv , dw , /rfv dw\ , /dw du\ , /du dv\ ,

rJ'' Ty'*' rfT'"' b-"^)*' (d^^di)''' k-^dd''

On vient de voir qu'il est permis de les regarder comme se confondant avec les déformations persistantes produites durant le temps dl. En outre, si a, b,€ désignent les cosinus des angles qu'un élément recliligne matériel quelconque partant du point (a?, y, z) fait avec les axes, on trouve aisément, par l'application d'une formule connue (ne différant pas de celle du bas de la page 24 dont le premier membre est ^), que sa dilatation élastique et sa dilatation persistante pour l'instant dt, rapportée à l'unité de temps, ont les expressions respectives :

a\ -H 6*Dy -f- c*0, -+- bcg^, -h cag,^ -4- abg,^ ,

jf/u ,, dv , dw , /rfv rfw\ dx

., dv ^ rfw /rfv dw\ /rfw rfii\ /du dv\

dy dz \dz dyl \dx dzl \dy dxl

Or un simple coup d'œil jeté sur les faits montre que, de toutes les fibres rectilignes qui se croisent en un point, les plus tendues sont aussi, dans un corps isotrope, celles qui éprouvent actuellement les dilatations persistantes les plus grandes. Il est donc naturel de supposer le rapport de celles-ci aux dilatations élastiques.

jdu dv ^dw /dv dw\ /dw du\ /du dv\

dx dy dz \dz dyl \dx dzl \dy dxl

a\ ■+- 6ïD, -♦- c^:^, -♦- 6cgfy, -♦- cag,^ -^ aôj,.

DES MASSIFS PULVERULENTS. 99

positif et indépendant des cosinus a, by c qui fixent la direction de la fibre considérée. En posant , soit 6 = 0, c = 0, soit c = 0, a = 0, soit a = 0, 6 = 0, on trouve que ce rapport a pour valeur Tune quelconque des trois fractions

i du i d\ i dw

D, dx \ dy D, dz

et qu'il peut^ par suite , se réduire à

Idv rfw\ /rfw d\x\ ld\y dy\

\dz dyl \dx dzl \dy dxl

Mais si Ton y fait alors, soit a = 0, soit 6 = 0, soit c = 0, on voit qu'il égale aussi Tune quelconque des fractions

j ld\ dw\ \ Id^ du\ \ idu rfv\ flf,, \dz dyl ' g„ \dx dz I ' g^ \dy dx)

Admettre, comme expression d'une loi physique fondamentale, Tin variabilité du rapport (a) pour tous les éléments rectilignes qui se croisent en un même point, cela revient ainsi à supposer les six déformations élastiques actuelles d, g proportionnelles aux six vitesses correspondantes de dilatation ou de glissement

du dy rfw dv dw rfw du du dv

dx dy dz dz dy dx dz dy dx

OU, ce qui est la même chose, à poser la quintuple égalité continue

du dv dw du dv dv dw dv dw dw du du dv ^ |. — -^ — — -I- — \- — —

dx dy dz dx dy dy dz dz dy dx dz dy dx

D, ^Dy-*-D, ^—^ ^y — J), J„ gz. 9x9

D'après les formules (24) (prises avec A = 0) et (25) [p. 27], les déno-

mioateurs de ces six fractions (a') sont entre eux, si le corps est pulvérulent, dans les mêmes rapports que

ou, s'il est solide, dans les mêmes rapports que

ôX

On peut donc, des cinq relations («'), éliminer les à, 5^, de manière à n'y laisser subsister que les N, T et les dérivées en a?, y, ^ des vitesses u, v, w. Si, en particulier, le corps est supposé beaucoup moins compressible que déformable ou qu'on ait sensiblement c)^. H- c)^ + c)^ = 0, elles deviennent :

/rfii dy\ ld\ dw\ rfv dw rfw du du dv

du dv r/w \dx dyl \dy dzl dz dy dx dz dy dx

^^^di'^'dy'^'di^^' N, — N, ^ N, — N5 ^ t; ^~T^ ^ T,

M. de Saint Venant était arrivé aux quatre dernières relations (/3) en admettant que la pression exercée sur chaque élément plan n'a pas de composante tangentielle dans la direction suivant laquelle il n'y a pas, durant ^instant dt, de glissement mutuel des couches parallèles à l'élément plan.

On a déjà, entre les six forces inconnues N, T et les trois composantes u, V, w de la vitesse, les huit équations indéfinies (26) [p. 29] et (jS). Il ne reste plus à trouver qu'une dernière relation indéfinie. Ce sera précisément l'équation caractéristique de l'état plastique ou ébouleux, celle qui exprime que les déformations d, g atteignent à tout instant les limites d'élasticité les plus écartées que comportent la substance et le mode de distribution des pressions employé. Si dt, d^, d, désignent les trois dilatations élastiques principales au point quelconque (a?, y, z)^ leur différence maxima à, — 0)3, dans l'équilibre-Iimite, acquiert, pour chaque valeur donnée de la dilatation cubique D, + à,. H- ^3 et du rapport ^i^^* des différences de la dilatation

ut On

moyenne o^ aux deux extrêmes, une valeur déterminée, d'autant plus grande

DES MASSIFS PULVERULENTS. i04

que les limites d'élasticité sont plus larges. En appelant donc f une certaine fonction positive^ il viendra

(r) \'-\^f\^i-^\'^\,YZI^y

ou^ dans le cas d^un corps sensiblement incompressible pour lequel

<^^ •-w(^Mi=^)=.(^f^n-

On substituera dans (y) ou (/), à c),, c),, 0)3, leurs valeurs tirées des formules (5) ou (10) et contenant F,, F,, F3, puis on y supposera ces forces élastiques principales F évaluées en fonction des N^ T^ de manière à transformer Téquation (7) ou (y') en une relation sous forme finie entre les six pressions N, T. Les coeflScients d'élasticité A, ft ou w qui y paraîtront pourront être regardés comme constants; car il est naturel d'admettre^ et l'expérience prouve^ qu'ils restent à peu près les mêmes dans un corps que Ton déforme sans diminuer ni accroître sensiblement sa densité.

S'il agit^ par exemple^ d'un solide plastique^ la formule (/) devient

Dans les problèmes de déformations planes^ dans celui de la torsion d'un cylindre circulaire, etc., on a à, = 0, D3 = — c)^, et cette formule se réduit à F^ — ^^= une constante 2|t*/'(l) ou 2K, comme on a vu au n® 26 (p. 58). Dans les questions également simples de l'extension, de la compression et de la flexion circulaire d'un prisme, la dilatation moyenne d, est égale, par raison de symétrie, à la dilatation la plus petite, \^ pour les fibres tendues, à la plus grande, di, pour les fibres contractées. La formule (7^'') donne donc alors à la différence F, — F3 des forces élastiques extrêmes les valeurs respectives constantes 2ft/'( 00 ), 2ft/'(0), qui peuvent différer l'une de l'autre et différer aussi de la valeur 2/</*(l) relative au cas c), = 0. Ainsi, dans les problèmes particulièrement importants dont il vient d'être parlé, on aura pour équation spéciale à l'équilibre-limite F| — F, « une constante 2K;

mais la quantité K ne sera probablement pas tout à fait la même pour les trois cas. Néanmoins^ les expériences de M. Tresca tendent à montrer qu'on peut, sans grande erreur, poser simplement F, — F5 = une constante à Tintérieur de tout corps solide homogène à Tétat plastique, au moins quand ce corps est beaucoup plus déformable que compressible.

Outre les équations indéfinies, il y aura des conditions spéciales à la surface du corps. Elles consisteront : l"" pour les points où la pression extérieure sera connue, à égaler les composantes respectives des forces que supporteront les deux faces d'une couche superficielle; â"" contre une paroi fixe, à y supposer la vitesse de même sens que la composante tangentielle de la poussée exercée sur Télément de paroi contigu, et à égaler à un coefficient constant de frottement extérieur le rapport de cette composante tangentielle à la composante normale de la poussée; S"" pour les autres points, à s'y donner à chaque époque les composantes effectives u, v, w de la vitesse. Ces dernières conditions seront absolument nécessaires au calcul des grandeurs absolues de u, v, w, dont les équations indéfinies («') ou (/3) déterminent tout au plus les rapports aux divers points.

Enfin, le corps reste généralement à l'état élastique ou stable dans une région plus ou moins grande. On obtient l'équation de la surface variable qui sépare cette région de celle où il se produit des déformations persistantes, en exprimant que la limite d'élasticité commence précisément à y être atteinte, en ce sens qu'elle l'est presque un peu à côté, dans la partie dont la contexture ne s'altère pas. Il faut remarquer en effet que les déformations, soit persistantes, soit élastiques, varient avec continuité dans toute l'étendue du corps, dont l'état se transforme graduellement d'un point aux points voisins, pourvu qu'il n'y ait pas de rupture : seulement, les premières sont insensibles, ou du moins à fort peu près invariables d'un instant à l'autre, dans la partie où la constitution moléculaire est stable, tandis que les secondes atteignent, dans l'autre partie, les limites d'élasticité les plus écartées que comportent la substance et les modes de déformation employés. Je néglige, pour simplifier, une troisième région intermédiaire, probablement peu étendue dans les corps mous, et où la matière, à l'état dit d'élasticité imparfaite^ est en voie de sécrouir, c'est-à-dire d'élargir

DES MASSIFS PULVERULENTS. \ 03

ses limites d'élasticité incessamment atteintes mais encore susceptibles de s'écarter.

On peut voir dans un mémoire de M. de Saint-Venant, au tome de 1871 du Journal de Mathématiques de M. Liouville (*), comment les formules ci-dessus conduisent aisément aux lois de la torsion d'un cylindre circulaire et à celles de la flexion égale d'un prisme, quand les déformations dépassent les limites d'élasticité.

42^'. L'équation indéfinie (y) présente une particularité remarquable lors- GoDs«»Deedeu vitesse

' d*écool0niMil du 8a«

qu'il s'agit d'une masse pulvérulente ou que, d'après les formules (1 4) [p. 22], •»*• p»r a» orifice. les différences c)| — c),, ^i — D^, ^^ — dg varient seulement avec les rapports mutuels des pressions N, T : alors cette équation, pareillement aux cinq relations indéfinies (/3) et aux conditions concernant la surface-limite de la masse en état ébouleux, ne cesse pas d'être satisfaite quand, pour de mêmes valeurs de u, v, w, on fait varier partout les N, T dans un rapport constant quelconque. Par suite, si la partie (du massif) où se produit l'éboulement a un poids assez faible, en comparaison de la différence des pressions qu'elle supporte en sens opposés, pour qu'on puisse supprimer des trois équations ifîdéfinies (26) [p. 29] les termes /oX, p\y />Z, ou rendre ces équations homogènes comme les autres en N, T, les pressions pourront y varier partout dans un même rapport quelconque sans cesser de se faire équilibre et sans que rien soit changé aux vitesses u, v, w.

Concevons, par exemple, un réservoir percé en son fond d'un orifice assez petit pour que la plus grande partie d'une masse pulvérulente qu'on y introduira soit en quelque sorte immobile, et admettons en outre que cette masse ait un coefficient de frottement intérieur assez grand pour que,

(*) Coniplénient à de précédents mémoires, etc. — Voir aussi, du même auteur : P un article inséré aux Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris (t. LXXIV, io avril 1872), sur un cas particulier très-remarquable de déformations planes, savoir le cas d*un anneau cylindrique dont les fibres parallèles à Taxe s'écartent de cet axe, symétriquement tout autour, en conservant leur parnllélisme etleur bauteur; 2** un autre article du 20 nov. ISyi (t.LXXIII)sur la torsion d*un cylindre circulaire (uù une note, relative à la détorsion qui se produira si Ton abandonne À lui-même le cylindre tordu , me parait seule devoir être modifiée, à raison de ce qu'il n'y est pas tenu compte de l'état aciuel de tension élastique maxima des couches en cquilibrc-limite).

i04 SUR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ

sous des char(2[es modérées^ les accélérations de Tautre partie soient au plus comparables à la gravité g. Il est clair que la pression moyenne p, nulle à Torifice, croîtra rapidement en allant de là vers l'intérieur; par suite, le poids de la masse en mouvement et ses inerties seront négligeables, dans les formules (26), en comparaison des dérivées des N, T. Ces équations, ainsi simplifiées, jointes aux autres équations du problème, détermineront, pour les divers points de la partie du réservoir où le sable coule, des valeurs des pressions N, T qui se feront mutuellement équilibre, tout en s'annulant à Forifice; de plus, quelque grande que soit la charge, ces pressions conserveront entre elles leurs rapports, et les mêmes valeurs de u, v, w ne cesseront pas de satisfaire aux équations considérées. Par conséquent, dès que la hauteur de charge est beaucoup plus grande que les dimensions de Forifice, les pressions qui en résultent sont sensiblement neutralisées par les frottements, et Fécoulement ne se produit que sous Finfluence de causes bien plus faibles, négligées dans notre analyse. D'ailleurs ces causes ne grandissent pas indéfiniment avec la charge : car les pressions N, T, dans la région où les vitesses sont sensibles, se font équilibre quant à leur partie principale ou croissante avec la charge; elles ne peuvent contribuer à produire les accélérations et conséquemment les vitesses u, v, w, concurremment avec la pesanteur, que par leurs parties négligées, qui ne cessent pas d'être comparables au poids de la matière en mouvement. Dans un écoulement de sable par un orifice, la vitesse tend donc vers une limite dès que la hauteur de charge devient un peu grande , et elle se maintient dès lors constante. Ainsi s'explique l'uniformité de Fécoulement qu'obtenaient les anciens avec les sabliers dont ils se servaient pour mesurer le temps (*).

(*) On voit que ce fait n'est nullement l'indice d'une prétendue impossibilité où se trouverait un massif sablonneux, comprimé dans certains sens, de transmettre dans les sens perpendiculaires une fraction sensible des pressions qu'il supporte, comme a cru pouvoir Tinférer M. Beaudemoulin, ancien ingénieur en chef des ponts et chaussées, dans un travail {Études sur une propriété spéciale du sable et sur ses applications) imprimé au recueil des Mhnoires de la Société des ingénieurs civils (Paris, 1874). Si, conformément à la thèse soutenue dans ce travail, le sable était absolument dépourvu d'élasticité, il n*y aurait pas de poussée des terres, et il suilirait, pour soutenir un massif coupé verticalement, de le recouvrir d'un léger enduit qui empêchât les particules superGcielles de se détacher. Les appareils de décintrement, par le sable, de rhonorable ingénieur n'en constituent pas moins une invention aussi ingénieuse qu'utile.

DES MASSIFS PCLVERULEINTS.

lOa

43. Dans l'hypothèse particulière de déformations planes, à laquelle on ^llfi^t^jj'^j^JiViuns peut se borner le plus souvent lorsqu'on traite de la poussée des (erres, les composantes T,, Ta, N5 valent respectivement 0, 0, — /?, comme on a vu à la page 30 (et comme le montreraient d'ailleurs les formules (/3) où l'on

iioe portion noiahie des maseifs. -r Ses équations diCTérentielles.

ferait w = 0, ~ = 0, ^^ = 0) : alors il suffit de joindre aux deux équations indéfinies (28) [p. 30] la relation caractéristique de l'équilibre-limite, ainsi que les conditions définies où paraissent les N, T, pour avoir toutes les formules nécessaires à la détermination des pressions. On peut donc se dispenser de calculer les vitesses u, v, et c'est ce que je ferai dans les numéros suivants (*).

Je considérerai d'abord un massif sablonneux pesant dont la surface supérieure sera plane, et je supposerai que, venant de s'ébranler par suite d'un commencement de renversement du mur qui le soutenait, il s'éboule avec des vitesses encore petites.

A un pareil moment, l'état ébouleux s'établit-il le long d'une simple ligne horizontale parallèle à l'intersection du mur et du talus supérieur, ou bien sur toute l'étendue d'une surface de rupture, lieu géométrique d'une infinité de droites pareilles, ou enfin atteint-il presque instantanément un volume fini de la matière du massif?

Si le massif était solide et qu'un coin de matière tendit à s'en détacher, la rupture se produirait d'abord tout le long de la droite horizontale , perpendiculaire aux plans des déformations, sur laquelle se trouverait k point dangereux relatif à chacun de ces plans, c'est-à-dire le point où la dilatation principale et positive c)| atteindrait sa plus grande valeur. Elle se propage-

(*) Le calcul des vitesses u» v semble devoir être beaucoup plus diiliciJe. On peut voir, dans un article des Comptes rendus (t. LXXIV, 12 février 1872), quelle équation aux dérivées partielles du second ordre, linéaire mais à coefficients variables, il faudrait intégrer pour les déterminer. Dans cette équation, les variables indépendantes sont les coordonnées curvilignes orthogonales définies par les deux familles de cylindres isostatiques (ou mieux orthostatiqnes) produits dans le milieu. Ces cylindres, sur toute l'étendue desquels les pressions exercées sont normales, jouissent eux-mêmes, dans un milieu, à Tétat plastique ou ébouleux, soumis a des pressions très-supérieures à son poids, d'intéressantes propriétés : je les ai étudiées dans trois autres articles insérés aux Comptes rendus (22 et 29 janvier <872, t. LXXIV, et 22 septembre 1873,1. LXXVÏI).

rait de là sur une autre droite, parallèle et voisine, comprenant la série des points dangereux qui correspondraient à Fétat suivant du massif. De proche en proche, celui-ci se trouverait divisé en deux, suivant une surface cylindrique de rupture, sans avoir jamais pu, en quelque sorte, utiliser pour sa défense tous les moyens de résistance à la destruction que possédaient ses diverses parties. En effet, ce serait seulement aux points dangereux , formant à chaque instant une ligne matérielle d'une largeur et d'une épaisseur insensibles (ou tout au plus une surface dans le cas d'un massif qui glisserait en bloc sur une couche sous-jacente de faible cohésion parallèle au talus supérieur), que^a tension, l'effort opposé à la séparation des parties, aurait atteint sa valeur-limite. L'état d'équilibre que nous voulons étudier n'existerait par conséquent, à un moment quelconque, que dans une étendue infiniment petite.

Mais il n'en sera pas ainsi; car les particules des milieux pulvérulents jouissent d'une mobilité que n'ont pas celles des corps solides, et il est naturel d'admettre que la difficulté moindre qu'elles éprouvent à se déplacer les unes par rapport aux autres permet à ces milieux de résister dans une mesure plus égale au genre de rupture qu'ils présentent quand ils s'éboulent. Effectivement, dans tous les modes d'équilibre stable considérés aux paragraphes précédents, les déformations ài sont constantes aux divers points du massif, en sorte que ces points deviennent dangereux tous à la fois. On peut donc admettre que, lorsqu'un mur qui soutient des terres sans cohésion commence à se renverser, V équilibre-limite s établit presque immédiatement jusqu'à une distance assez grande en arrière de sa face postérieure, en ne délaissant tout au plus que des régions restreintes du massif, comme, par exemple, une couche plus ou moins épaisse contiguë au mur et protégée par son frottement. Les équations même de l'équilibre-limite indiqueront dans quels cas une certaine portion de terre adjacente à la face postérieure du mur se trouvera ainsi préservée au commencement de la chute.

Ces équations comprennent, comme il vient d'être dit :

i*» Les deux relations indéfinies (28) [p. 30] qui expriment l'équilibre de translation d'un élément de volume rectangulaire;

2° Une troisième équation indéfinie, signifiant qu'en tous les points du

massif la limite d'élasticité est atteinte^ ou^ ce qui revient au même (p. 56)^ que Finclinaison maxima des pressions sur les normales respectives -aux éléments plans qu'elles sollicitent est en chaque point égale a Fangle <f de frottement intérieur j d'après la formule (66^**) [p. 55], devenue une égalité et où R désigne le radical (31) [p. 32], cette relation n'est autre que

(9d) -\/r^(— ^)==sm,, ou Y/rn-p-^- -)=--i.^— s.n,;

élevée au carré, elle prend la forme que Macquorn-Rankine lui a donnée

(94) 41* -^ (N, — N,)' - (N, -4- N,)« sin \ = 0;

3"" Enfin des conditions spéciales, soit à la surface libre ou talus supérieur, soit à la surface de séparation du massif et du mur de soutènement. Les premières reviennent à dire que les deux composantes, normale et tangentielle, de la pression exercée par le massif sur sa couche superficielle, sont nulles en tous les points de la surface libre : ces conditions, combinées avec l'équation indéfinie (94), obligent de poser tout à la fois

(95) N, = 0, N,=:0, T = (à la surfftce libre).

Une dernière relation, spéciale à la face postérieure du mur, ne s'applique qu'autant que les particules contiguës du massif sont sur le point d'y éprouver des glissements finis, circonstance qui semble devoir se produire dès le commencement de renversement du mur, toutes les fois qu'elle ne sera pas en contradiction avec les autresgéquations du problème. Or sa réalisation exige que l'angle fait en chaque point, avec le prolongement de la normale à la face postérieure du mur, par la poussée qui lui est appliquée, vaille précisément l'angle du frottement maximum du mur et de la matière sablonneuse du massif.

L'introduction de cette dernière condition dans la nouvelle théorie est due à M. Maurice Levy (*).

(*) PoDcelet l'avait dëjà employée dans Tancienne (Mémoire sur la stabitilé des revélemenîs^ n* i38, au n"* iZ du Mémorial de l'officier du génie, 1840).

rieur a une valeur.

Macquorn-Rankine^ dans son mémoire On the stabiliiy ofbose Earth (*), aux. Transactions philosophiques de Londres (1856-1857), assimile un massif limité par un mur à un massif indéfini; il se contente d'exprimer qu'en vertu de Thypothèse faite de frottements maximums en chaque point au moment où un éboulement commence, le poids du massif est neutralisé autant que possible par ces frottements, et la poussée exercée sur le mur réduite par suite à sa valeur minimum, quand Téboulement tend à se produire de haut en bas, tandis que le contraire aurait lieu, et que la poussée deviendrait maximum,^ si le mur, au lieu de s'éloigner, se rapprochait des terres en les comprimant.

é îiâuon8"'''\iM/îâ ^^* Toutes ces conditions, à l'exception de la dernière, relative à la muî a''''ùne"?ertainl! parol, sc Irouvcut évidcmmeut vérifiées par les deux solutions que nous uc*a!"roTquVrînirê avous précédemment étudiées aux n***» 33, 34 (pp. 72 à 77), et qui se sont

du frollement exté- * 7 \i i /7 t

certaine préscntécs à uous comme répondant à deux cas extrêmes de l'équilibre ordinaire ou d'élasticité d'un massif sans cohésion. Or, si

désigne l'inclinaison du mur de soutènement sur la verticale, chacune de ces solutions donnera , en y posant

une certaine valeur y, [seconde formule (77)] pour l'angle que fera, avec le prolongement de la normale aux éléments plans qui ont précisément la direction du mur, la poussée exercée sur ces éléments plans, et il pourra bien arriver que 9, vaille justement l'angle de frottement mutuel du mur et du massif. Admettons qu'il en soit ainsi : alors toutes les conditions de l'équilibre-limite seront vérifiées par la solution considérée, et celle-ci pourra être admise, pourvu qu'elle soit d'ailleurs celle qui donne les valeurs minima des poussées, dans le cas ordinaire où il s'agit d'un équilibre-limite correspondant à un éboulement par détente^ ou, au contraire, celle qui donne les valeurs maxima, s'il s'agissait d'un équilibre-limite correspondant à un éboulement par compression.

{*) M. Flamant, ingénieur des ponts et chaussées k Lille, vient d'en publier une traduction française dans les Annales des ponts et chaussées (b** série, t. VIII, 1874).

En se bornant à la première solution^ la -plus intéressante pour la pratique, on obtient les résultats donnés par Rankine et par M. Levy. Ils sont résumés dans les formules (^^), si Ton adopte pour ip la plus petite^ en valeur absolue, des racines que donne la première de ces formules. En particulier, les deux composantes, normale — DT) et tangentielle G, de la poussée exercée par unit^ d'aire aux divers points du mur, s'obtiendront en posante, = 1. Quant à leur résultante <R, elle vaudra ^|~-. Il sera préférable dV remplacer, comme au n"* 35 (p. 78), la distance / normale au talus supérieur par la distance oblique L, mesurée le long du mur même, et telle, que / = L cos (o) — i). On composera ensuite toutes les poussées élémentaires en une seule poussée totale P, comme il a été fait au n"* 35, et il viendra finalement, au lieu des formules (82) :

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