VII

CALCUL DE LA PRESSION EXERCÉE SUR TOUT ÉLÉMENT DE SURFACE NORMAL AU PLAN DES DÉFORMATIONS, ET DE LA POUSSÉE TOTALE QUE SUPPORTE UN MUR PLAN DE SOUTÈNEMENT.

Formules qui don- 3i . Il nous Festc à étudier la pression, ayant pour composantes normale et rua^Viieu^l^^Teu taugentielle — ST., G, que supporte par unité d'aire tout élément plan paralprMsion(-Dx.,s). j^j^ ^ j,^^^ j^^ ^^ p^.^ ^ évaluer la poussée totale qu'éprouve une section

plane quelconque menée par cet axe dans le massif : cette poussée serait évidemment exercée sur un mur plan de soutènement dont la face postérieure coïnciderait avec la section considérée, si le massif, au lieu d'être indéfini, se trouvait réduit h sa partie située en arrière d'un tel mur, mais que la couche pulvérulente contiguë fût en même temps immobilisée dans les positions x + n^y + VyZ + w qu'elle occupe en effet dans le massif indéfini. Soit Si l'inclinaison, sur la verticale, d'un élément plan quelconque paral- "^ lèle à l'axe des z. Les deux composantes — ^Hi et G de la pression qu'il

éprouve par unité d'aire, vaudront, d'après les relations (57) [p. 43],

l — DTn » ^ [coe (« — Sf) -+- sin » sin 2 (t-, — f)l,

] cos î2 (» — f) ^ ' -'

G == —r sin » COR 2 («4 — e)»

J'appellerai

DES MASSIFS PULVÉRULEINTS.

la pression totale dont les deux composantes, normale et tangentielle, sont — .OT-. et S,

l'angle, compris au plus entre — J et ^, qu'elle fait avec le prolongement de la normale à l'élément plan, et dont la tangente, ~^, le définit complètement. On aura

sin »,

OU bien

(72-) . tg,.= si,, cos 2 (..-.) Si=='}!l^'''-lb-.^..gi.

cos (« — 2f ) -f- sîn w sin 2 (e^ — t) cos 2 (w — s) sin f>,

La première de ces formules présente Tineonvénient de n'être pas calculable par logarithmes. Il est préférable d'évaluer tg (9, + e» — « =^ i) Q" moyen de la relation

tg^,,^..-.d=^j= ^^ --,

dans le second membre de laquelle on mettra pourtgy, sa valeur (72''"). Ce second membre deviendra beaucoup plus simple si Ton y remplace

cos2(fi— f) ou ± sin2 (f, - f db-j par ±2oos Ui — f dz-j sin U, — f db--)» sin2(£, — f) ou qpcos2ff, — f ±-j par qz cos' U — f =h--| ibsin' U, — f±:-j-

On trouve alors

/ '^\ ( ^\ cos (w — 2f) it sin «

I (« — 2f) i^ sin »

Cette formule, dans laquelle on peut prendre à volonté, soit les signes supérieurs, soit les signes inférieurs, fera connaître sans aucune indétermination Tangle cpi, qui fixe la direction de la pression^ dès qu'on aura donné Tinclinaison o) du talus supérieur sur Thorizon, Pangle Si que fait l'élément plan avec la verticale et le paramètre e caractéristique du mode d'équilibre. La seconde relation (72^") permettra de calculer ensuite par logarithmes la grandeur Si de la pression par unité d'aire, si l'on connaît en outre la profondeur /à laquelle' est situé l'élément plan, c'est-à-dire sa distance normale au talus supérieur, et le poids pg de l'unité de volume apparent du massif.

On obtient entre dl^ et G une relation extrêmement simple, en ajoutant les deux équations (72) après les avoir respectivement multipliées par — sin (oj — e,), cos (<» — Si), en remplaçant ensuite, dans le second membre, des termes affectés de sin w par leur valeur totale

sin eu cos (» — 2f -+- fj) =■ sin « [cos (&? — 2f) cos ei — sin (w — î2f) sin fj],

et de même le terme — sin (w — e,) cos (w — 2e) par

cos (« — 2e) [ — sin « cos fi -h cos &> sin f i],

puis en réduisant II vient

(72«'""') Sf^ sin (» — f,) -h S cos (« - f.) = pgl sin f, .

Cette formule n'est qu^une application particulière du théorème, dit de réciprocité, qu'expriment les relations (21) [p. 26] : son premier membre représente la projection , sur la normale au talus supérieur, de la force élastique éprouvée par l'élément plan d'inclinaison e, , et le second membre est la projection, sur la normale à cet élément plan, de la force élastique que supporte un autre élément plan passant par le même point, mais parallèle au talus supérieur : or le théorème cité apprend que ces deux projections doivent être égales.

Gomment les deux 32. Cherchous commeut varient les deux composantes — STl), G de la

variMi^wf/ '' pression S{ exercée sur un même élément plan, quand on fait changer le

mode d'équilibre, c'est-a-dire quand on fait varier le paramètre angulaire s.

DES MASSIFS PULVERULENTS. 71

D'après la relation. (70*"), il suffira de faire croître e de ^^^ à ^^y ou de faire décroître 2(a) — e)dew + Tàw — r, c'est-à-dire d'une limite supérieure moindre que ^ à une limite inférieure plus grande que — f- Dans cet intervalle, les expressions (72) de — DT^, G restent constamment finies et continues. Le dénominateur cos 2(ca — e) s'annule bien aux deux limites dans le cas particulier w= 0, t = |; mais les numérateurs s'annulent en même temps et les valeurs de — S(Xd^ S, prises à ces deux limites, tendent, à mesure que w décroît jusqu'à zéro, vers les valeurs parfaitement déterminées que donneraient les formules (77) ci-après.

Différentions donc, par rapport à e, les expressions (72) de — aï), E, et remplaçons, dans les résultats,

sin 2 (w — f) cos (ew — 2f) — cos 2 {» — e) sin (« — 2e) par sin [2 (« — e) — (« — 2e)] = sin «, cos 2 (» — e) cos 2 (f| — e) -h sin 2 {« — e) sin 2 (e, — s) par cos 2 (w — e,) , sin 2 (« - f) cos 2 (e, — e) — cos 2 {« — e) sin 2 (e, — e) par sin 2 (« — f,):

il viendra simplement

. d( — Sfïr>)___ — 2p5f/sin « 1 1 -+- cos 2 (w — e,)]

\ de cos * 2 (w — e)

(73) . . < ^ '^ » (/G — 2p3f/ sin w shî 2 (« — €,)

de cos' 2 (« — ej

Ces dérivées de — Sfïoetde^ ont constamment les mêmes signes quel que soit £ : la première est négative ou positive suivant que l'inclinaison w, sur l'horizon, du talus supérieur est positive ou négative elle-même; la seconde a le même signe que la première quand le sinus de l'angle 2 (w — e,) est positif, signe contraire dans le cas ou ce sinus est négatif. Chacune des deux composantes — 9l^y fs> varie donc sans cesse dans tm même sens lorsque agrandit, et se trouve comprise à tout instant entre les deux valeurs extrêmes qu'elle reçoit pour e = ^^ : de plus, si l'on veut avoir la valeur la plus petite de la poussée normale — 3^, il faut prendre e = —^ ou e = — ^-^ suivant que w est y ou <^ zéro.

La deuxième formule (73) aurait pu être déduite de la première et de la

relation ^TS'""'**"), qui donne 5 en fonction linéaire de S/Ïd sans qu'aucun coefficient de cette fonction dépende de e, et d'après laquelle le rapport des deux dérivées ^> ''^'^ - égale tg (« — e,).

Valeurs extrêmes des 33. Évaluous Ics valcurs extrêmcs de — SP^^ et d'abord celles qui cor- - Élude des deux mo- rcspoudeut à 6 == —g- pour w positif, à e = -g— pour w négatif, et par consér«MiÇ?ndifinr"'" ** quent à la moindre valeur de — SfÏD.

J'appellerai ^p l'angle auxiliaire, compris entre et |- 1 quand &> est > 0, entre et — ~-^ quand w est < 0, que définit l'équation

. , . sin« (74) 8111(^-4-2^=-^

SlUf

Cette équation, comparée à (70), montre que t vaut le complément de la valeur absolue de w + 2?//, ou qu'on a

et par suite

(74''') -26 ou — («=fcT)==if:--+-2^,

2(«-^f)==qp^-h2(<«-^^), 2(f|-f) = =F|-^2(e|H-^), w-2f = zp ^h- (a, h- 2^).

Les formules (72), si on y porte ces valeurs de 2((k) — e), 2(6^ — e), &> — 2e, deviennent

i^^x T- ®'" " ®*" 2 (*'« "*" ^) I (vy S'" (" -^ 2^) — sin « cos 2 (f| -h ^) ,

^ sin 2 (to -+- ^) "^ sin 2 (« h- ^) '^^

L'expression (75) de S paraît indéterminée quand w = 0. On peut la transformer en y faisant successivement

(75*'*) sin2(«-*-^)=2sin(w-4-^)cos^ = rsin(«a-+-^ — ^)-^sin(«-+-^-f-^)'l — — — !-»

cos ^ •- J cos ^ .

et en y remplaçant alors le rapport

sin« , sin f sin (û) -h 2^) ou, d après (74), ^

sin « -h sin (« h- 2^) sin f sin (w -4- 2^) -h sin (w -h 2f)

par

sin 7 sin ^

i + sin «

^ 2cos*

Il viendra ainsi

pgl sin 7 cos ^ sin 2 (fi -4- ^)

Quant à Tex pression (75) de — D^^ elle n'est pas calculable par logarithmes; mais on obtiendra — Sll), dès que G aura été évalué au moyen de (76)^ si on connaît Tangle 9, qui mesure Finclinaison de la pression résultante <R^ appliquée à l'élément plan considéré^ sur le prolongement de la normale à cet élément plan. La formule (72*^), en y faisant d'après (74*^) — e==F^4-^pet aussi cos (&> — 2e) = ± sin (w + 2(|/) = =b |~ , donnera, pour le calcul de cet angle,

- A. . V . V ^ -*- sin cp tff (f| -h a»)

Enfin , on aura

Évaluons actuellement l'autre valeur extrême de — en;> et celle de S, savoir les valeurs qui correspondent à e = —5- pour w > et a e = —^ pour w < 0, Convenons de prendre, au lieu de la racine ^, de l'équation (74), qui est comprise entre et ± J - 1, celle ^p' qui est comprise entre =t J — ^ et :t ^ — |, ou qui est telle, par rapport à la précédente ip, que

(76'*") « + 2^'==dtir — («^2|),

en adoptant le signe -4- ou le signe — suivant que w esl > ou < zéro. Il viendra, au lieu de (74*"),

et par suite, à cause de e

Celte valeur de — 2e ne diffère de la précédente (74**^) qu'en ce que ^p' y remplace ^. Donc, à part le changement de ^p en ?//', les formules (72) conduiront aux mêmes relations (75), (76), (76*'*) que dans le cas précédent. En résumé, les valeurs extrêmes des deux composantes — 9l>^ t^ de la poussée exercée sur un élément plan fixe faisant l'angle e| avec la verticale, c'est-à-dire celles qui correspondent aux deux m^des d' équilibre-limite que comporte un massif indéfini incliné de w sur l'horizon, sont données par les formules

Sin (« H- 2^) == ~ y (g (fi H- f, 4- ^) = .

sm 7

sin ff cos ^ sin 2 (f» -♦- ^) cy^ 5

2cosM^--?)cos{«H-^) ^^'

l'angle auxiliaire «//, çwi 56 calculera par kl première équation (77), rfevra efre c/ioi5j de manière que la sommée w + 2?^ soit y en valeur absolue, inférieure à ^ s'il s'agit du mode d'équilibre qui donne à la composante normale — Sf(i> de la pression sa valeur la plus petite, et comprise au contraire entre ^etn, ou supplémentaire de la précédente, s'il s'agit du mode d'équilibre qui donne à — Sf^o sa valeur la plus grande; quant à l'inclinaison 9, de la pression sur le prolongement de la normale à l'élément plan, comme elle ne peut varier tout au plus que7itre — j et j, la seconde équation (77), en faisant connaître tg (yi + ei + ip), /a détermine complètement. L'angle ^ a une signification géométrique importante. On a

(77*") -2f = zF^-+-2^, ou -. = =p^-h^,

et par suite, d'après (59) [p. 44], e' (ou s ip^j = — ^. Or e^ désigne l'angle fait avec la verticale, du côté de OA (fig. 1, p. 38), par une des deux dilatations principales ou des deux pressions principales produites en chaque point : ip représente donc le même angle, mais estimé positivement dans le sens opposé, c'est-à-dire du côté de 0^.

C'est du reste ce qu'on reconnaît en posant successivement, dans les formules (7S), e, = — ^, fi = — ^ + f • Il vient dans ces deux cas 6 = 0, et, si e>ï>i, SP(d^ désignent les deux valeurs de Sfl^y

cvr sin (w -h 2f) — sin w , ^. sin (« h- 2^) + sin u

sin (û) 4- 2ïp) et sin w ayant toujours même signe d'après (74), — 3P(d^ est la plus petite des pressions principales, — eHij la plus grande. Par conséquent, la direction qui fait avec la verticale l'angle — ^p coïncide avec le profil de Vêlement plan sur lequel s'exerce la plus petite pression principale.

Les formules ci-dessus de — IHi,, — Sfïo^ se simplifient lorsqu'on y remplace sin (w + 2(|/) — sin &> par 2 cos (w + ^) sin ^, sin (« + 2«p) + sio oa par 2 sin (w + ^) cos ^p, sin 2 (w -h ip) par 2 sin (w + ^) cos (« + «//); elles deviennent

-«. V sin ^ , r^ cos «^ .

(77'- .... -.TToi^^-T -.pgly -^. T^W^-

sin (». -*- ^) cos (« -4- ^) '

34. Le mode d'équilibre-limite pour lequel la composante — d^ de la Pression que «apporte un élément pian

pression acquiert sa valeur la plus petite possible est précisément celui qu'a venicai. étudié M. Maurice Levy dans son Mémoire sur une théorie rationnelle de l'équilibre des terres fraîchement remuées et ses applications au calcul de la stabilité des murs de soutènement (*). Les formules (77) ne diffèrent pas de celles qu'il a données au n° 1 5 de ce Mémoire.

M. Macquorn-Rankine avait déjà, dès 1856, considéré les deux modes

(*) Ce traTail, présenté une première fois à l'Académie des sciences de Paris le 5 juin 1867 et reproduit le 21 juin 4869, se trouve au Journal de Mathématiques de M. Liouville (t. XVIII, 4873).

d^équilibre-limite que peut présenter un massif limité par un talus plan et près de s'ébouler dans toute son étendue : il avait fait ressortir les lois qui régissent la poussée exercée sur les éléments plans verticaux, c'est-à-dire sur ceux pour lesquels e, = (*).

Ces lois sont très-simples , même quand Téquilibre n'est pas limite. En effet, posons sj = dans les formules générales (72); nous aurons

,«^v cos 2e sin « , ^^ cos 2f cos »

cos 2 (w — s) ^^ cos 2 (w — e) ^^

ce qui revient évidemment à prendre, pour valeurs respectives de la poussée résultante <R et de son inclinaison 9^, sur le prolongement de la normale à l'élément plan vertical considéré ,

^ cos 2e

(79) <R = — — -pgl, f, = «.

^ cos 2 (« — e)

La seconde relation (79) signifie que, dans le massif indéfiniy tout élément plan vertical éprouve une poussée parallèle au talus supérieur. La première, spécifiée pour les modes d'équilibre-limite, c'est-à-dire pour les valeurs de — 2e égales à =f f + 2^^, donne

^ sin 2 (« -4- ^)

Or on peut remplacer

sin 2^, ou sin (» -h 2^ — «) , par sin (« -♦- 2^) cos w — cos (« -*- 2^) sin «, sin 2 (6) -4- ^), ou sîn (u + 2^ + «) , par sin (w -4- 2^) cos « -^ cos (u -f- 2^) sin &>,

et observer ensuite que, d'après (74),

^ , sin « , . =1= l^sin'cp -- sin*« ±: V/co8*« — cos'©

sin (» -4- 2^) = . cos (« -h 2^) = : = =- »

sm ff sm f sin ^

(*) Voir aux Annales des ponts et chaussées (novembre i872, p. 242) une note dans laquelle M. Flamant» ingénieur des ponts et chaussées, a donné une exposition géométrique fort simple de la théorie de M. Rankine. M. Considère a également inséré en juin i870 (pp. 545 h 594), dans ces Annales, un Mémoire contenant, outre les mêmes résultats auxquels il était arrivé de son côté, plusieurs considérations judicieuses et intéressantes.

DES MASSIFS PULVERULENTS 77

les signes supérieurs correspondant à la valeur absolue de cj + 2(p moindre que -^ ou au mode d'équilibre pour lequel les poussées normales sont les plus petites possibles^ et les signes inférieurs correspondant à Fautre mode. Il vient définitivement

(80) ^^cos.::Fi/ cos'^>-cos« ,^^^

eos » =t l/cos' « — cos* tf

Les signes supérieurs donnent la valeur la plus faible de la pression exercée sur l'élément plan vertical, celle qui se produit quand le massif est près de s'ébouler de haut en bas et que le frottement des terres agit le plus possible pour les retenir ; les signes inférieurs donnent au contraire la valeur la plus grande de la poussée, celle qui s'observe, ainsi que l'ont remarqué MM. Considère et Flamant, quand le même massif, comprimé horizontalement, est supposé sur le point de s'ébouler en remontant (ou plutôt en refluant au-dessus de sa surface libre), et que par suite le frottement équivaut alors à un accroissement de poids du massif : c'est ce genre de poussée que Poncelet a désigné sous le nom de butée des terres.

On voit que les deux modes d' équilibre-limite correspondent aux deux sortes d'éboulement, par détente et par écrasement ou compression, que peut présenter une mmse pulvérulente à face supérieure plane, quand elle s'* ébranle à la fois dans toute son étendue.

35. Calculons enfin la pression totale que supporte, par unité de largeur caicuideUpouMée

* 1 A 1 * ^ tolale éprouvée j>ar un

horizontale, une section plane menée dans le massif, suivant l'axe des z^ muru.ce postérieure jusqu'à une distance quelconque L de cet axe, et ayant sur la verticale l'inclinaison également quelconque ej. Cette poussée serait évidemment celle qu'éprouverait la face postérieure d'un mur, contigu au massif suivant la section considérée, et supposé capable de produire sur la masse pulvérulente située à son arrière le même effet que produit, dans le massif indéfini, la matière située en avant de la section considérée.

Divisons par des horizontales la section plane ou la face postérieure du mur de soutènement en bandes infiniment étroites. L'une quelconque de ces bandes, située à une certaine distance L de l'axe des z, c'est-à-dire du bord

supérieur de la section^ aura la hauteur dL et sa base ou largeur égale par hypothèse à Tunité : elle éprouvera uoe poussée totale SidL^ composée de la force normale — dl>dL , et de la force tangentielle SrfÇi dirigée vers en bas suivant une perpendiculaire menée dans la section à scm bord supérieur ; — 3^, G, ^ auront d'ailleurs les valeurs (72), (72^"). Les poussées élémentaires SidL, exercées sur toutes ces bandes, feront avec la normale à la section , menée vers le dehors du massif, Fangle constant ^i que détermine la formule (72*^), et elles seront parallèles; elles auront donc une résultante ou poussée totale, P, égale à leur somme, et dont le produit par la distance Li de son point d'application au bord supérieur de la section vaudra, d'après le théorème des moments, la somme des produits respectifs des poussées élémentaires SidL par les distances pareilles L de leurs points d'application. C'est ce qu'expriment les équations

(81) P=/'^dL, L,«i/''L,RdL.

Il ne reste plus qu'à y effectuer les intégrations indiquées, après avoir substitué à Si. son expression (72''^) et avoir mis dans celle-ci, au lieu de la distance normale l de chaque point de la section au talus supérieur, sa valeur en fonction de la distance oblique L du point considéré au même talus. Cette distance oblique L, comptée le long de la section, est inclinée de e^ sur la verticale, tandis que la perpendiculaire / au talus supérieur l'est de u : / est donc la projection de L sous l'angle o) — e, et a pour valeur

(84*^) / = Lcos(«-f,).

Les formules (81) deviendront finalement, en y joignant (72'"^),

f 2 r n ir P9^* » ir cR cos (« — f,) sin « cos (« — f,) cos 2 (ei — e)

L|e=3^L, F =5= K > OU K =a = ; --: »

i> 2 pgl cos 2 (« — f) sin f^ .

Un massif pulvérulent homogène en équilibre d'élasticité, terminé supérieurement par un talus plan dont w désigne F inclinaison sur t horizon, exerce donc, contre un mur quia sa face postérieure inclinée (en fruit intérieur) d'un angle «, sur la verticale, une poussée appliquée au tiers de la hauteur de la face postérieure du mur, inclinée sous la normale à cette face {iiormale menée vers l'intérieur du mur) de l'angle y, que donne la quatrième équation (82)^ et égale au demi-produit du poids de l'unité de volume apparent du massif par le carré de la hauteur oblique L de la face considérée et par un coefficient K dont la valeur résulte de la troisième formule (82). Toutefois, ces lois ne sont démontrées que pour les modes d'équilibre dans lesquels l'état de la matière est le même sur toute l'étendue d'un plan quelconque parallèle au talus supérieur et qui ne dépendent par suite que du seul paramètre s.

On peut avoir à considérer les deux composantes

normale P' = /'''(— STo) dL et langentiellc P" = f^fBdl ,

de la poussée totale P. Ces deux composantes auront évidemment pour expressions

— 9r^cosftf ~C,) g COS (CJ — £,)

pgl ' pgi

c'est-à-dire, d'après (72), les nombres

où les coefficients K', K" désignent les rapports — — rrr -y - — ±7 — ->

JH' =^S^ ^y Tcos (« — 2f) -V sio » sin 2 (f» — 01 »

(82*^) . . I co82(«-.)*- ^

K" = ^^^^"""^*^ gin „ cos 2 («, — g) = K' ig (« — g,) ^ sin «, : cos 2 (« — f)

la deuxième expression de K", savoir K'tg(a) — e,) + sine,, se déduit immédiatement de la relation (72^^"**^).

Valeura de la poussée quand le nur, ru*

36. La troisième et la quatrième des formules (82) se simplifient lors- ît%"uVrSÏi' n^u^^^^^ qu'on admet, comme spéciales aux parois, les relations (37), c'est-à-dire "aST*"'''**"*"

quand la couche pulvérulente contiguë au mur est supposée maintenue^ soit dans ses positions d'état naturel s'il est rugueux^ soit tout au moins dans son plan primitif s'il est poli. Il faut alors^ comme on a vu aux n""" 22 et 23^ poser e = e, dans le premier cas, e = «, — ^ dans le second. Et d'abord, la valeur de 9), se tirera aisément des deux expressions (72) de G et de — 4)T«, dont le rapport égale tg 9^. 11 viendra

( sin a

(mur rugueux),

(82'-0 tgfi= j co8(«~2«,)

( zéro (mur poli).

La troisième (82), d'après les valeurs (72*") de <R, dans le cas du mur rugueux, et en observant que, dans celui du mur poli, <R se réduit à

,^ — sin (« — Se.) -h sin « , "-2 cos (» — sA sin s, , sin g^ ,

— Sf(n = ^ ùqI = pal =■ pal ,

— sin 2 (« — «0 ^^ "1 cos (« — e,) sin (« , — ») ^^ sin («, — ^y^

donnera à son tour

/ cos (« — 6|)sin«

' — — — mur rugueux),

cos2(»— 6|)sin^i

sinsi

tg (e, — «)

(mur poli).

Quand le mur rugueux a sa face postérieure verticale, ou que e, = et par suite ^j = &> , il vient^ simplement

cos « cos 2»

Observons enfin que, d'après la formule (82**^), comparée à la condition (69), la valeur absolue de tgy, sera toujours inférieure ou, au plus, égale à sin y; ce qui signifie que la poussée supportée par un mur de soutènement immobilisant la couche pulvérulente contiguë dans ses positions d'état naturel, fait avec la normale à cette couche un angle au plus égal à celui dont la tangente vaut le sinus de l'angle ^ du frottement intérieur. Il suffirait donc, pour qu'un tel mur pût être supposé infiniment rugueux, ou capable d'immobi-

DES MASSIFS PULVERULENTS. 81

liser la couche pulvérulente contiguë dans ses positions primitives^ que Tangle de son frottement contre le massif fut égal ou supérieur à celui dont la tangente vaut le sinus de Tangle 9 de frottement intérieur (soit à d^H6^ pour <f = iS""). On laisse toujours dans la pratique, aux murs de soutènement, assez de rugosités pour que Fangle du frottement extérieur soit même plus grand que (f.

§ VIIL

RÉSOLUTION DES PROBLÈMES d'ëQUILIBRE LES PLUS IMPORTANTS DANS LES APPLICA- TIONS, AU MOYEN d'une CONDITION DE STABILITÉ QUI TIENT LIEU DES RELATIONS SPÉCIALES AUX PAROIS.

37. Les formules établies au numéro précédent, reposant sur les condi- casoùrêquiubreie

, V -, , ■ 11 .ii plus «table se réalise.

tions spéciales (37) [p. 36], ne conviennent que pour le cas dun massif, primitivement libre de toute pression et sans pesanteur, qui a pris en devenant pesant un nouvel équilibre, sans que la couche contiguë à la face postérieure du mur qui le soutient se soit déplacée si le mur est rugueux, ou soit sortie de son plan primitif sMI est poli. Or on a vu à la fin du § III que rimmobilité des particules adjacentes à une paroi rugueuse, par exemple, conduit bien à regarder leurs déplacements u, v comme des fonctions de a?, y, déterminées dans chaque cas, mais non à les faire égaux à zéro, et que par suite les conditions simples w = 0, v = ne peuvent guère être vérifiées dans la pratique.

En réalité, on forme un massif pulvérulent en déposant successivement contre un mur rugueux préalablement construit des couches de terre ou de sable. Les particules voisines du mur se trouvent immobilisées à peu prés,

tant qu^elIes ue sont pas trop comprimées^ dans des positions d^état naturel; mais la pression croissante et bientôt considérable qu'elles ont ensuite à supporter y cause un grand nombre de glissements finis ^ ou d'éboulements partiels^ à la suite desquels se réalise un tout autre mode d'équilibre. Ce mode doit être le plus favorable possible à la stabilité intérieure du massif^ c'est-àdire celui pour lequel la dilatation maxima d^ acquiert aux divers points ses plus petites valeurs compatibles avec le degré de résistance que le mur peut opposer : car le mode d'équilibre ainsi défini^ s'il n'était pas déjà complètement réalisé un instant après que l'on a déposé les dernières couches de terre ou de sable ^ ne tarderait pas à s'établir par l'effet des petits ébranlements, dus à mille causes diverses, que le massif éprouve presque à tout instant, et qui permettent aux grains sablonneux de se grouper de la manière en quelque sorte là moins forcée (*).

Abstraction faite d'une zone contiguë au mur de soutènement et dans l'étendue de laquelle l'influence immédiate de ce dernier produit peut-être des perturbations locales, tous les modes d'équilibre réalisables du massif sont représentés par les formules (57) à (60) [p. 43 et 44], dans lesquelles e désigne un paramètre variable de ^^ à ^^(form. 70^^) (**). Or, d'après (60), d| est le plus petit possible quand £=|*

Telle est la valeur du paramètre e qui, en réduisant la dilatation maxima d, à son minimum — ^^> correspond au mode d'équilibre le plus stable intérieurement, ou le plus voisin possible de F état naturel pour lequel on aurait

f) Les mouvements vibratoires produisent à la longue un effet analogue sur les corps solides; mais, vu la tendance à la cristallisation qui existe alors, la structure plus naturelle qui s'y réalise graduellement n'est la plus stable que pour chaque molécule intégrante en particulier, nullement pour l'ensemble de ces molécules, qui tendent, au contraire, à s'isoler les unes des autres.

(**) Ces diverses relations, en y appelant x, ^ les coordonnées actuelles des molécules, / leur distance actuelle h la surface libre, e une fonction de /, résultent des formules (28), (55), (50), (iO), (66) : elles subsistent quand, f ou ^ n'étant pas constants, la relation (28^) ne se vérifie pas; on verra au n* 42 que cela pourrait arriver. Alors il n'y a plus de coordonnées d'état naturel x — w, y— t; variables avec continuité d'une particule k ses voisines; car la formule du haut de la page 5i, équivalente h (28*") ou (28'*'), exprime, comme on le reconnaît aisément, qu'il existe deux fonctions continues w, t? de x, y telles, que è» ^» 35-+*^ égalent trois fonctions données d„ Dy, g^.

DES MASSIFS PULVERULENTS. 83

partout (), = 0, et par conséquent au mode d'équilibre qui se produira si le mur de soutènement est assez ferme pour subir, sans se renverser, la poussée correspondante.

Supposons donce=|^ et, appelant e, Tinelinaison de la face postérieure du mur sur la verticale, calculons d'abord la poussée. II suffit, pour Fobtenir, de faire e = | dans les formules (82) ; ce qui donne

(n »\ f I H 4 2/ „ tg«cos(w — f i) C08 (« — 2f j)

sm fi

La poussée sera donc régie par les lois énoncées après les formules (82), à cela près que Tangle 91 et le coefficient K auront les valeurs complètement déterminées résultant de (83).

L'expression de K devient extrêmement simple quand la face postérieure du mur est verticale, ou qu'on a e, = et par suite ^i = co : elle se réduit à

(85*") K = cos«.

Cherchons encore à nous rendre compte des déplacements élastiques que les divers points du massif éprouvent par rapport au mur supposé immobile.

D'après des lois énoncées page 45, le tassement élastique, à part un mouvement d'ensemble de toute la masse pulvérulente, se fera par déplaôements parallèles à un plan fixe OM incliné de| sur la verticale, et égaux au produit de la distance D de chaque particule à ce plan par le facteur constant ^^ • Mais, après ce mouvement fictif, la droite matérielle émanée de l'origine et primitivement inclinée de e, sur la verticale, c'est-à-dire couchée le long du mur ou faisant d'abord l'angle e^ — ^ avec la direction des déplacements, ne fait plus avec celle-ci qu'un angle un peu moins grand e^ — | — ç^. Le petit angle (,, dont elle a tourné autour de l'origine, est tel, que l'accroissement D cotg ^e, — I — ç,j — D cotg U — ^), ou sensiblement ^j^i^^j, de la distance qui sépare l'origine du pied de la perpendiculaire D abaissée

de chacun des points de la droite matérielle sur le plan fixe qui vient d'être défini^ vaut précisément le déplacement D ^. On a donc, comme valeur de la rotation ç^ qu'il faudra imprimer à tout le massif dans le sens de 0^ vers Ox, après ce tassement fictif, pour ramener contre le mur la couche qui lui reste adjacente et obtenir ainsi la situation définitive de toute la masse,

sin » . . / û)\

L'angle ç — ç^, qui exprime la diminution, due au tassement élastique, de rinclinaison w + f — e, du talus sur la face postérieure du mur, sera l'excès, sur Ç2, de la valeur (62) de ç spécifiée pour e =|. Cet angle vaudra donc

sin a\ a

cos ' - — sin

m I 2 sin

- cos ' - — cos' — sin' fj — sin ' - cos 'fi -f- 2 sm - cos - sin si cos f.

sin « cos 8| cos (« — f|) m

et l'on aura en définitive, pour valeur de la réduction éprouvée par l'angle du talus supérieur et de la face postérieure du mur de soutènement,

sin « cos Si cos (« — eA fit

C18 où l'équilibre 38. Passous actuellcmeut au cas où le mur de soutènement n'est pas

produit ne comporle •!•• jl * l • J*U'

3 îabiriîl*"* ^^^^^ solide pour que le massif puisse acquérir le maximum de stabilité, et supposons e constant, afin qu'une condition unique pour tout le mur détermine ce paramètre sans qu'on ait à en chercher une spéciale à chaque valeur de /.

J'admettrai que le mur se comporte comme un corps rigide, plus ou moins mobile autour <l'un axe fixe parallèle à celui des z, de manière que son degré de fermeté ait pour mesure la valeur la plus grande M que peut atteindre le montent de la poussée autour de cet axe sans produire de renversement. Soit b la distance du même axe à la face postérieure du mur.

DES MASSIFS PULVERULENTS. 85

a la distance^ au même axe^ de la perpendiculaire élevée à cette face postérieure à partir du tiers de sa hauteur L^ distance comptée positivement au-dessus de Taxe de rotation^ négativement en dessous. Les composantes^ normale P' et tangentielle P^', de la poussée totale P, auront pour moments respectifs aP', — 6P", et le moment total de la force qui tend à produire le renversement du mur vaudra aV — 6P'', c'est-à-dire, d'après ce que nous avons vu à la fin du n^ 35 (p. 79),

(85) .... ?^(aK'-6K'') = ^*j[a-6tg(«-.,)]K'--t6m..!.

Dans la pratique, les données a, 6, &), s, auront toujours des valeurs qui rendront ce moment positif, et croissant avec K' quand on fera varier le . paramètre e caractéristique du mode d'équilibre. Gomme K', abstraction faite du facteur cos (w — e,) indépendant de e, représente le rapport =^, dont la dérivée par rapport à e (form. 73) est négative ou positive suivant que &) est > ou < zéro, le moment (85) de la poussée décroîtra sans cesse lorsque e ira de | à ^-g-^, en adoptant dans cette dernière expression le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que Tinclinaison w sera positive ou négative. Mais cos (o) — 2e) décroîtra en même temps de 1 à cos t, et à| , d'après la première formule (60), grandira de ^^ à ^^. Donc la plus petite valeur admissible de c), est celle qui correspond à la valeur de e, comprise entre | et "^^y pour laquelle l'expression (85) égale le moment donné M mesurant le degré de fermeté du mur.

Cette valeur de e définit le mode d'équilibre le plus stable que comportent les circonstances, ou par conséquent celui qui se produira définitivement. On l'obtiendra en égalant à M la seconde expression (85), ce qui donnera la valeur effective de K' et par suite, d'après la seconde équation (82"'), la valeur de K" et celle du rapport ^-^I^^^J. Soit x ce dernier. On aura donc

cos 2 (ei — s) = % cos 2 (» — s) ,

OU bien

cos 2«i cos 2« -*- sin 2«, sio 2i == % [cos 2u> cos 2« -♦- sio 2» sin 2«] : '

on tire de là

(sn

. . .tg2e«-

cos 2«i — % cos 2« sin 2*1 — % sin 2»

formule qui fera connaître^ sans aucune indétermination^ Fangle % compris entre w etw ± t, et toujours inférieur à ^ en valeur absolue.

Une fois le paramètre e déterminé , le mode d'équilibre le sera lui-même et les formules (82) permettront de calculer la poussée. Quant au moment de celle-ci par rapport à Taxe de rotation du mur^ il sera égal à M.

L'équilibre deviendrait impossible, et le mur serait renversé, si la constante donnée M, qui mesure son pouvoir de résistance, était inférieure à la valeur que prend l'expression (85) quand on y met pour K' sa valeur la plus petite possible, c'est-à-dire quand e devient égal à ^^-y^ et que le massif passe à l'état ébouleux. A ce moment, K', ou "" ^^/""^'^ ou encore ^^Vte7^'^ ^ reçoit la valeur

sin f cos (« — S|) cos -^ sin 2 {^^ -f- ^)

pgi

2 cos* f ^ — ^j cos (« -4- </») tg fi

qui résulte des formules (77) lorsqu'on y 'prend pour ip la plus petite (en valeur absolue) des racines de la première équation (77). Il est donc nécessaire, pour que le mur ne se renverse pas, que son pouvoir de résistance M satisfasse à l'inégalité

>. V P<3fL' ( . . r . xn sin «? cos (« — f i) cos ^ sin 2 (f i -f- ^)

2 cos* ^^— ^j cos (« -f- ^) tg 5.,

Toutes les valeurs de M supérieures au second membre de cette inégalité seront compatibles avec un mode d'équilibre plus ou moins stable du massif. Le maximum de stabilité intérieure sera même atteint dès que M aura une valeur égale ou supérieure à celle que reçoit la seconde expression (85) pour e = |-

En résumé, quand un mur de soutènement n'est pas assez ferme pour permettre l'établissement du mode d'équilibre, doué du maximum de stabi-

DES MASSIFS PULVERULENTS. 87

lité, qui correspond d e = |, l'équilibre définitif qui se produit réellement est celui pour lequel tout le pouvoir de résistance du mur se trouve utilisé (*).

39. Le cas où Ton donne le degré de stabilité d'un mur de soutènement cas piu» géDérai,

dans lequel le moment

est donc compris dans un autre plus général , qui est celui où Ton connaît JfJe^terenî'tonnu"*

le moment de la poussée par rapport à Taxe de rotation du mur ; c'est ce

qui arrive quand le mur^ supposé sans poids pour plus de simplicité^ est

maintenu en équilibre au moyen d'une force constante directement évaluable.

Alors la condition d'équilibre s'obtient en égalant le moment connu M de

cette force à celui (85) de la poussée^ ce qui donne^ comme précédemment^

les coefficients K', K^', et par suite la valeur du paramètre e caractéristique

du mode d'équilibre. Seulement^ les expressions (85) n'étant plus astreintes

(*) Si le massif terreux avait acquis à la longue de la cohésion, et si l*on admettait qu'en se solidifiant il se fût fixe dans le mode d'équilibre le plus voisin possible de Tétat naturel, c'està-dire dans celui pour lequel le potentiel d'élasticité $, égal à

- (i -^ M) (\ -*- ;),)« -+-- fj' (D. - \)\

ou au quotient par 2fA de

SID f

reçoit sa plus petite valeur, la formule (60***) [p. 45] donnerait, en y suhsiiluanl finalement la valeur de cos (« — 2f) qui résulte de (56*"),

L cos» (« — 2€)J \ 1 -f- sio f/ "^ \ 1 -+- sin f)

Le potentiel *, minimum pour p =Y?i^^nV ^^^ P*** conséquent d'autant plus petit que le rapport ^ est plus voisin de la fraction ^l^^(\ — sin y). Celle ci est d'ailleurs moindre que les valeurs de jA qui correspondent aux modes d'équilibre, seuls admissibles dans un massif très-profond, pour lesquels on a (note de la p. 05)

/* » ^ sin*« cos«(«-2f)>-^-— -; sm* f

en effet, la plus petite de ces valeurs, calculée au moyen de (56*^) [p. 45] en y faisant

,, ^ sin"« cos« / \ /sinV — sln««\

co8*(» — 2f)=:-7--i vaut (l — V )•

sin«f» cos*f? \ 1 — sin*« /

En conséquence, cette dernière valeur de -A est celle qui rend * aussi petit que possible quand la profondeur est fort grande. Ainsi, k mode d'équilibre définitif qui se produira dans un

à se trouver inférieures ou au plus égales à la valeur qu'elles prennent quand £ = 2> ou quand le mode d'équilibre est le plus stable possible^ s sera compris, non plus entre | et ^^-^> mais entre ""^"^ ^t ""^''. Il suffira, pour cela, que le moment donné M de la force chargée de faire équilibre à la poussée se trouve lui-même compris entre les deux valeurs que reçoit le second membre de l'inégalité (86) lorsqu'on y met successivement pour ^ et pour 9, les deux couples de valeurs correspondant aux deux modes d'équilibre-limite dont il a été parlé à la page 74.

Admettons, conformément à ce qui arrive toujours dans la pratique, que l'inclinaison e, de la face postérieure du mur sur la verticale soit comprise entre | =*= j, ou que par suite l'angle w — 2e, soit inférieur à J en valeur absolue, et considérons la dilatation élastique d^^ éprouvée par les lignes matérielles du massif primitivement normales à la même face. Cette dilatation mesure l'écart relatif qui s'est produit, à partir de l'état naturel, entre la face postérieure du mur et les plans matériels du massif qui lui étaient primitivement parallèles et qui d'ailleurs le sont encore après les

massif cohérent très-profond ne diffère pas, quant à la distribution des pressions, de Véquilibre-limite, par détente, que le même massif pourrait présenter s'il était pulvérulent et d'un angle de frottement f ayant son sinus égal à j^: les poussées latérales y sont minima.

Un massif peu profond comporte, au contraire, des modes d'équilibre pour lesquels la valeur de ^ est moindre : cette valeur se réduira même à son minimum absolu, si Ton peut poser A = j-^~--, sans que le mur soit renversé et sans que la dilatation principale Dj, alors positive, atteigne sur la couche la plus profonde une valeur capable de déterminer la rupture.

Un massif assez peu profond peut aussi se disposer de manière qu'il y ait en chaque point un élément plan libre de toute pression, parmi ceux qui sont normaux au plan des déformations. Les relations (29) montrent que cela n arrive, ou que p., p^ ne s'annulent pour une même valeur de p, que si N,N, = T*, ou, vu les valeurs (49*") [p. 45] de Nj, N„ T, si £|? = 2 cos «; d'où il suit, en supposant « > 0, que la formule (S6"') [p. 45] donne « — 2€= -^ -t- «, f s» j. Les formules (57) montrent que — d^, G s'annulent alors pour fi = 0, ou que ce sont les éléments plans verticaux qui ne supportent aucune pression. Le mode d'équilibre considéré convient donc au cas d'un massif taillé à pic, ou dont chaque couche verticale se soutient elle-même, sans s'appuyer sur ses voisines.

Ces résultats et ceux que contient la note de la page 03 subsistent indépendamment de la formule (28^^), c'est-à-dire sans qu'on admette l'existence de coordonnées d'état naturel variables avec continuité d'une particule h ses voisines. Toutefois, quand la profondeur effective du massif est très-grande, x + p croissant lentement avec p (et plus que p), il faut supposer f variable, en sorte que, si la profondeur est excessive, on aura f = 0, pour / très-grand, et par suite w=0.

déplacements. L^écart dont il s^agit (négatif ou positif) est dû en parlie au poids même du massif, en partie à l'excédant (positif ou négatif) de la pression qui maintient ce dernier plus ou moins comprimé par le mur. La première formule (58) [p. 44] donnera

En différentiant celle-ci par rapport à e, et remplaçant, dans le résultat,

cos (« — 2c) cos 2 (ff — €j) — sin (» — 2f) sin 2 (f — f,) par cos (a — 2f,) ,

il vient

d^,, sin a cos (ca -^ 2fi)

de mcos'(u — 2e)

On voit que <)^/ varie dans le même sens que e ou en sens inverse, suivant que (k) est > ou < : en d'autres termes, d^. croit sans cesse quand e varie de -^ à —^ •

Cela posé, concevons que le moment M de la poussée ou de la force extérieure qui lui fait-équilibre décroisse de sa limite supérieure à sa limite inférieure, de manière à faire varier e de ^^^ à ^^ : l'expression (87) de c)^' grandira sans cesse. La formule (87) montre qu'elle s'annulerait pour e = e,. Donc, les diverses couches de matière pulvérulente parallèles à la face postérieure du mur se sont d'autant plus rapprochées les unes des autres et de cette face y à partir de l'état naturel, que le moment M de la poussée est plus grand : elles ont conservé leurs distances primitives {tout en glissant les unes devant les autres), si le moment de la poussée a une valeur telle, que e = «i ; elles se sont rapprochées si le moment dont il s'agit est plus grand que cette même valeur, écartées au contraire si le moment de la poussée est plus petit.

Lors d'une immobilité absolue du mur de soutènement, le moment de la poussée reçoit la valeur qui correspond à e = | : alors le degré de rapprochement ou d'écartement des couches qui se produit est dû tout entier au poids même du massif; c'est un état moyen dans lequel le mur ne tend, ni à chasser le massif derrière lui en le soulevant et le faisant reculer, ni à céder

sous sa pression en se renversant en avant. Au contraire^ les valeurs plus grandes du moment de la poussée correspondent à des états d'équilibre dans lesquels le mur, pressé par une force extérieure contre le massif, commence à le chasser derrière lui en le comprimant, tandis que les valeurs plus petites correspondent à des états où le mur commence à céder sous la poussée du massif, qui se dilate par suite en avant.

Tous ces modes d'équilibre sont stables. En effet, on y suppose égal à une constante donnée le moment de la force extérieure, appliquée au mur, qui fait équilibre à la poussée du massif. Or, si le mur vient à quitter sa position primitive, soit en s'écartant du massif, soit en s'en rapprochant, celui-ci se détendra dans le premier cas, se comprimera dans le second, et le moment de sa poussée contre le mur diminuera ou augmentera , de manière à être surpassé dans le premier cas par le moment de la force chargée de lui faire équilibre, à le surpasser dans le second; par suite, le mur tendra bien à reprendre sa première position. Toutefois, la stabilité de Téquilibre devient incomplète quand le moment de la poussée a précisément sa valeur la plus grande ou la plus petite possible, en sorte qu'il ne puisse pas, suivant les cas, grandir ou diminuer saris que la rupture du massif devienne inévitable. Ce qu'on peut appeler champ de stabilité, par exemple l'intervalle r des deux valeurs limites "^^ de e, se réduit même à zéro quand w = ± y : alors la poussée ne peut, ni croître, ni décroître, sans que l'état du massif devienne ébouleux, et l'équilibre est instable.

ApDiieitioDàunmur 40, Ou volt Qu'll u'cst nullemcut nécessaire de donner à un mur de sou-

dont la face postérieure ■

est verticale. tèucmeut uuc épalsscur qui permette au mode d'équilibre le plus stable de

s'établir : il suffit à la rigueur, pour que ce mur ne se renverse pas et même résiste à des ébranlements modérés, qu'il puisse supporter une pression un peu supérieure à celle qui correspond au mode d'équilibre le moins stable, pression donnée par les formules (77) [p. 74] dans lesquelles on mettra pour ^ sa valeur la plus petite.

Supposons, par exemple, que la face postérieure du mur soit verticale, circonstance en vertu de laquelle nous avons vu (form. 79) que la poussée du massif, appliquée au tiers de la hauteur du mur, devient parallèle au

talus supérieur ou prend sous ThorizoD rinclinaison constante o). Le coefficient K, qui entre dans l'expression K ^ de cette poussée, représente d'ailleurs le rapport ^— ^^i^, actuellement réduit à ^^^, et vaut, d'après la première (79),

(88) .^__ço^^ços2.

Cette valeur de K, alors égale à ^^, se réduit à cos w pour e = | et décroit constamment, comme K', quand t va de ^^^ à ^^^; à la seconde de ces limites, la formule (79*") donne

cos 6) sin 2^

^ ' sin 2 (« -+- rt

^ désignant la plus petite, en valeur absolue, des racines de la première équation (77).

Cette expression (89) de la moindre valeur de K devient indéterminée quand w = 0; mais elle cesse de l'être en observant que, pour les très-petites valeurs absolues de w, la première équation (77) peut être remplacée par celle-ci, a> + 2(p = -r^ ou ^ = ^~^^\ ce qui donne

sin 2<p ^ 1 — sin ^ t (^ A

sin 2 (m -+- ^) a -¥- ^ 1 -♦- sin y \4 2/

La vraie valeur de K est donc alors

Soit f= 45°. La première équation (77) et la formule (89) permettront de former le tableau suivant :

Pour« = 0, d-i0% ±20% ±'30% ±40», ±45%

""pS^^^ ^'^7«^' ^'*^^^' ^>^^^^' ^'^^^*' J^=0,707i;

tandis que les valeurs de K correspondantes au maximum de stabilité de Tétat du massif et égales à cos o) seraient^ pour les mêmes valeurs de &)^

L^équilibre du massif sera donc stable pourvu que le mur puisse supporter une poussée appliquée au tiers de la hauteur de sa face postérieure^ dirigée parallèlement au talus supérieur et un peu plus grande que K ^, K ayant celle des valeurs ci-dessus, 0,1 71 6, 0,1 765, etc., qui correspond à la déclivité donnée &> du talus. La structure du massif acquerrait même toute la stabilité possible si le mur pouvait supporter, au même point d'application et suivant la même direction, une poussée égale ou supérieure à K ^, K ayant les valeurs plus grandes 1, 0,9848, etc., calculées en dernier lieu.

Calcul de répiîMeur 41 . Ordinairement, un mur de soutènement MONM' (fîg. 4) tend à se ren-

à donner à uo tel mur. i ■ » . , ««fi / •

verser en tournant autour de la base, projetée en M', de sa face antérieure, et on ne le suppose maintenu en équilibre que par son poids. Appelons, dans ces hypothèses, p^ sa densité, admettons que ses faces MO, M'N soient verticales, et cherchons quel mode d'équilibre se réalisera si on lui donne une épaisseur b suffisante pour qu'il se soutienne, mais pas assez grande pour que la stabilité intérieure du massif soit maxima. D'après ce qu'on a vu page 87, il faut exprimer que le moment du poids du mur par rapport à M' est égal à celui de la poussée P. Celle-ci sera appliquée en G, au tiers de la hauteur h du mur, et égale à K ^*, K désignant le coefficient donné par la formule (88); enfin, elle sera parallèle au talus supérieur, c'est-à-dire dirigée suivant la droite CD qui fait sous l'horizon l'angle w (toujours positif dans la pratique). On aura son moment par rapport à l'arête M' en la multipliant par la perpendiculaire M'D , menée de M' sur CD : or

M'D = MF — EF = -Acosw — 6sin»;

(Fig. ♦).

DES MASSIFS PULVERULENTS. 95

le moment de la poussée est par suite

- pgh^K ( - h cos « - b sin « J •

D'autre part^ le poids de Tunité de longueur du mur égale p'gbh et a pour bras de levier, par rapport à M', ^ b. Son moment vaut donc ~ p'ghb*, et Ton a

- pgh^H ( — A cos M — b sin « 1 == - p'ghb^t

OU bien, en divisant par ^ p^gh^ et transposant,

(»<» (xr-^7''"°-Ê)-^'^~'^"=<>-

Telle est Téquation d'où Ton tirera la valeur de K pour la substituer dans (88); celle-ci, résolue par rapport à tg 2e après qu'on y aura remplacé cos 2 (&) — e) par cos 2e [cos 2a) 4- sin 2a) tg 2e], donnera enfin la valeur cherchée de e,

iMais on peut aussi résoudre l'équation (90) par rapport à ^, afin de connaître la valeur du rapport ^ de l'épaisseur du mur à sa hauteur qui correspond à une valeur quelconque de e comprise entre | et ^^^, c'est-à-dire à un mode plus ou moins stable d'équilibre. Si l'on observe que K cos a> est > et que la racine positive convient seule, on trouve

ou bien

-f- K cos a

-^KsinwH-V/l-^Ksinw) -4- ^,Kcosop tg « .+- V/ig'o, -h-^ - —

Pour une valeur déterminée de o), cette formule donne le rapport | d'autant plus petit que le coefficient K est lui-même plus petit, ce qui devait être. Supposons d'abord que l'épaisseur du mur soit juste suffisante pour l'équi-

libre. Alors K prend les valeurs 0,1716, 0,1 76ë, etc., données ci-dessus, et, si la densité/:/' de la maçonnerie est les ^ de celle, /?, du massif pulvérulent, comme il arrive d'ordinaire avec une approximation suffisante, le rapport | devient :^

poup« = U% iOS 20% 30% 40*, 45%

-(rainim.de stabilité) = 0,4 955, 0,i866, 0,i802, 0,i76i, 0,1786, 0,2060. n

Si, au contraire, Fénaisseur 6 a la valeur strictement nécessaire pour que le mode d'équilibre le plus stable se produise, K = cos o, et la formule (91) devient

tg«-H y tg'«H--~(i -f- tg««)

alors le rapport v décroit sans cesse à mesure que o) grandit, et Ton trouve, en posant toujours - = 5 :

poiir«==0, 10% 20% 30% 40% 45%

(maxim. de 8(abilitë) = 0,4744, 0,4407, 0,5486, 0,2887, 0,2525, 0,2Q60.

Pour une inclinaison donnée u du talus sur Thorizon , les valeurs du rapport, ^, de Tépaisseur d^un mur de soutènement vertical à sa hauteur, qui seront égales ou supérieures au nombre inscrit dans ce dernier tableau , assureront au massif la plus grande stabilité intérieure possible ; les valeurs moindres que le nombre donné par Favant-dernier tableau seront au contraire incompatibles avec Téquilibre, ou trop faibles pour que le mur ne commence pas à se renverser; enGn les valeurs intermédiaires correspondront à des degrés divers de stabilité de la structure du massif.

On voit que la règle adoptée dans la pratique, et d'après laquelle on donne à un mur de soutènement une épaisseur égale au tiers de sa hauteur, offre une sécurité suffisante, toutes les fois que le massif n'est pas très-surcharge ou n'est exposé qu'à des ébranlements négligeables.

Il importe d'observer que les formules précédentes ne s'appliquent qu'autant que la profondeur du massif terreux est assez grande, ou du moins assez

DES MASSIFS PULVERULENTS. 95

uniforme, pour que, dans les régions avoisinant le mur de soutènement, les pressions soient sensiblement égales partout à une même distance du talus supérieur. On néglige donc, en les employant, Tinfluence perturbatrice qu'exerce le sol sous-jacent quand il n'est pas parallèle à la surface libre du massif. Cette influence doit être insensible dans les circonstances ordinaires de la pratique; car, Finclinaison « s'y trouvant positive, la poussée, transmise de haut eu bas parallèlement au talus supérieur, provient de couches terreuses réellement profondes. Mais il n'en serait pas de même si l'inclinaison 6) était négative et que le massif n'eût plus, à quelque distance du mur, qu'une épaisseur insignifiante.