i:. N sin« , . ^ tg(i -i

'avec sin (» -♦- 2^) = -: — , lg(fj -*- t -+- ^) =

sin f cos (» — t) cos <^ sin 2 (i -♦- ^)

cos (« -*- f ) sin fi

Ainsi, quand un mur de soutènement co^nmence à se renverser, et que tangle du frottement extérieur a précisément la valeur y, résultant de la quatrième équation (96), l'état ébouleux s'établit dans toute l'étendue du massif dès que le dernier mode d'équilibre d'élasticité comprenant toute cette étendue cesse d'exister. La raison en est qu'une seule et même distribution des pressions convient à ces deux états, qui peuvent se suivre sans discontinuité. Au contraire, quand l'angle du frottement extérieur est plus grand que la racine 9, de l'équation considérée (96), l'inclinaison de la poussée sur le prolongemeiit de la normale à la face postérieure du mur se trouve trop faible pour que l'état ébouleux se produise, dans la région contiguë au mur, dès l'instant où le dernier équilibre d'élasticité commun à tout le massif disparait. Il doit arriver alors, ou bien qu'un coin de matière adjacent au niur reste constamment à l'état élastique, du moins durant la période initiale du

no SUR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ

renversement^ seule considérée ici ^ pendant laquelle les vitesses sont encore insensibles^ ou bien que Fétat ébouleux se propage rapidement dans cette région^ de manière à s'étendre à tout le massif au bout d'un instant trèscourt. Le n** 47 ci-après contient Félude de ces circonstances intéressantes.

cmt où l'angle du frot- 45. Lcs murs quc Ton construit effectivement sont toujours assez rugueux

tement extérieur est ff g

tS^ÀiiltMeJr^' P^"*" immobiliser une couche mince du massif qu'ils soutiennent^ et c'est contre cette couche que peut glisser le reste de la masse inconsistante.

L'angle de frottement extérieur vaut alors 9. En effets lorsque deux couches contiguês d'un corps pulvérulent sont soumises à des actions^ graduellement croissantes d'instant en instant^ qui tendent à les faire glisser Tune contre l'autre^ les ruptures ou les glissements finis se produisent^ d'après la loi expérimentale et usuelle du frottement^ suivant les éléments plans pour lesquels l'inclinaison de la pression qu'ils supportent sur leur normale est maxima et atteint une valeur déterminée^ qui est l'angle de frottement naturel de terre sur terre : or y désigne précisément, comme on a vu au n"" 25 (p. 56), l'inclinaison maxima dont il s'agit aux points où une rupture est imminente. Donc l'angle de frottement mutuel de terre sur terre, à l'instant oit un glissement fini tend à s'effectuer, est bien égal à l'angle 9 de frottement intérieur ou de terre coulante.

Eh conséquence, les formules précédentes ne sont applicablcfs qu'dUtant que le mur a précisément la direction des éléments plans pour lesquels l'inclinaison de la pression qu'ils supportent sur le prolongen>ent de leur normale atteint sa valeur maxima <p.

On a vu au n^'SS (p. 75) que l'élément plari soumis à la pression minimum fait l'angle — ^p avec la verticale ; d'après la loi qui termine le n® 25 (p. 57), l'inclinaison du mur sur cet élément plan devl-a être | — |, ce qui donne deux directions, ou deux valeurs possibles, — ^=*= (ï~ |) > de i. Dans la pratique, la première sera la seule assez petite en valeur absolue pour être admissible. On ne pourra donc employer les formules (96) dans des calculs d'équilibre-limite qu'autant que l'inclinaison des murs dt soutènement sur la verticale sera

DES MASSIFS PULVÉRULENTS. iU

A cettô condition^ Fangle f>, atteiiidra bîeo sa valeur maxima f. L'expression (96) de K devient alors extrêmement simple. On peut d'abord y faire

et, d'après (97), ce qui la réduit à

(1 -+- sin f)cos(É.?-f- ^)

Il est actuellement facile d'en éliminer &>. La troisième équation (96) , si on y remplace sin (&> + 2^) par sin o) cos 2(p + cos &> sin 2^, donne

cos Ci sin »

1 — sin 3» cos â^ sin f sin 2^

en d'autres termes, le cosinus et le sinus de &> sont proportionnels à i — sin y cos 2ip et à sin y sin 2(p. Par suite, cos(û) — t), ou cos « cos i -f^ sin w sin i, sera proportionnel à

cost — siny(cQ$tcosSt — sint8inâ^) = cost — sinfCOs[â(t + f) — t] ==scost — sin f oosl - — (?■+■*) | = cos t -^sinf (sinycost -Hcosf sini) B=3 cos'f cos % — cos f tin f sin t'es cos ^ cos (f h- t).

D'autre part, cos (w + ^), ou cos « cos «f — sin w sin <|/, sera également proportionnel à

cos tjf — sin f (cos ^ cos 2^ -¥• sin ^ sin 9^) = cos ^ (i — sin f).

Le quotient de cos (w — i) par cos (« + ^) est donc égal à

cos f cos (7 H- t) cos ^ (i — sin f)

et la formule (98) devient

(99) K = cos(f-*-0-

Cette formule (99) est due à M. Maurice Levy (voir les n«M8 et 19 de son Mémoire). La démonstration précédente joint à Favantage de la simplicité celui de déduire la valeur particulière (99) de l'expression plus générale (96) de K.

iDtêgnitioD âpprochM 46. M. de Saint -Venant a indiqué une méthode approchée (*) pour obtenir

pour des murs d'une t t \ / i

indinaisoDdiffêreoie. ies jois dc "équilibre-Hmite quand l'angle 9, du frottement extérieur, au lieu d'être celui que donne la quatrième formule (96), en diffère d'une quantité assez petite, mais sensible. Celle méthode consiste à joindre, aux expressions (77), alors erronées, de G et de — 3^, les petits termes complémentaires qui doivent les rendre exactes, et à substituer ces valeurs totales dans les équations de l'équilibre, en négligeant, dans (94), les produits et les carrés des petits termes complémentaires vis-à-vis de leurs^ premières puissances. J'ai traité à sa demande ce problème dans une note insérée au Compte rendu du 4 avril 1870 (**). Mais il y a moyen de simplifier beaucoup les calculs en changeant d'axes coordonnés, comme je vais faire ici.

Je choisirai l'axe des y' suivant la droite, menée à partir de l'origine

(fig. 5), qui fait avec la verticale l'angle — ^, et qui, dans le cas où les formules (77) sont applicables, se trouvé justement parallèle aux éléments plans soumis à la pression minima, ainsi qu'on Fa vu vers la fin du n"" 33. Par suite, dans le même cas, les directions des éléments plans pour lesquels l'inclinaison de la pression qu'ils supportent sur le prolongement de leur normale atteint sa valeur la plus grande y, sont celles des deux droites OQ, OQ', qui font respectivement avec Oy' les angles J — I et 71 — (t ~ I) • I^'^^^ d®s 0?' sera la bissectrice de l'angle QOQ' et aura -^ — ^ pour inclinaison sur la verticale OG.

{*) Voir le n? 7 de son mémoire inséré au Compte rendu de la séance du 14 février 1870 (l. LXX, p. 285).

(**) Tome LXX, p. 751. — Voir aussi , au mémo numéro du Compte rendu, p. 718, un article de M. de Saint- Venant sur le même sujet. .

(Fig. 50

DES MASSIFS PULVERULENTS. H3

Les composantes N{^ N^^ T'^ suivant les nouveaux axes^ des pressions (ou plutôt tractions) exercées sur les éléments plans qui leur seront perpendiculaires^ se composeront :

1^ De leurs parties correspondantes à la solution spéciale déjà étudiée^ et <i»i valent - ^^^ pgl, - 3^^ pgl [d'après (77-)], pour Ni, Ni, et zéro pour G' ;

â"" De petites parties encore inconnues pgn^y pgn^y pgt.

On aura donc

(100). . N; = pa[~ . ^'°^ J -^nX Vi\ = ?g\ ^il— /-^n,l, T^^gt.

^ ^ '^^ [ sin (« -♦- ^) J * ^y cos (« H- ^) J ^^

Il faut porter ces valeurs dans les équations indéfinies d'équilibre relatives aux nouveaux axes. On n'a^ pour obtenir celles-ci :

1** Qu'à accentuera?^ y, N„ Nj, T dans les formules (2 8) [p. 30], applicables à tout système d'axes rectangulaires situés dans le plan des xy^ et à exprimer que l'inclinaison a de la pesanteur sur l'axe des y^ vaut ici ^; ce qui donne

rfN; dT' . ^ cTF' dN;

[m) . . . -^^-^^-^-PJ^n^^O, ^^-^pscp8^ = 0;

^'^ Qu'à accentuer N|, N^, T dans l'équation (94), également la même pour tout système d'axes rectangulaires parallèles au plan de déformations, et qui devient

(lOi"-) 4r« + (N; — NiV— (N;-^N;)«sinV = 0.

Enfin, il faut observer que la perpendiculaire /au talus supérieur OA, étant inclinée sur la verticale de gj et, par suite, sur Oy^ de o + ^^ a pour expression

(\W) i = a;' sin (» -♦- ^) -h y' cos (» -4- ^).

Grâce à cette valeur de /, les expressions (100) de N{, Ni, T', portées dans les deux équations (101), les réduisent à

La première de ces nouvelles relations revient à dire que n^ et — t sont les deux dérivées respectives en y' et en x' d'une fonction «, de x', y'; la seconde signifie pareillement que n, et — t sont les deux dérivées respectives en x' et en y' d'une même fonction u^. On a ainsi

et cr^^ cr^ sont les deux dérivées en y^ et en x' d'une même fonction «r. Les deux équations (102) équivalent donc à celles-<;i

dy» ^ dx'« dx'dy'

ce qui ramène la détermination des trois inconnues n^y n^^ t à celle de la fonction unique u, ou plutôt à celle de ses trois dérivées secondes en x^y yK Il reste^ pour calculer a^ l'équation indéfinie (101^')^ dans laquelle il faut substituer à N(; Ni, T' leurs expressions (100) en négligeant les carrés et les produits des petites quantités n^yU^y U Si Ton observe que

et que sin (w + 2^) = ^ [en vertu de la première formule (77)], il

viendra

/,^i^r(i sin,)|;-(l *sinf)^l=0, sm 2 (« -t^ *) L^ dx'* dy^j

OU bien

éPrs i — sin r cPo f /** 1*^ cPg

équation dont l'intégrale générale, avec deux fonctions arbitraires /;, f^y est

n La simplicité de ce résultat invite à chercher la solution de la question analogue pour l'équilibre d'élasticité, c'est-à-dire à chercher tous les modes d'équilibre élastique du massif qui sont Toisins d'un quelconque des modes étudiés dans le paragraphe précédent, et qui se

Cette expression de », différentiée deux fo is et transportée dans (102*"), après avoir remplacé tg ( j - 1) par l/ j"^!"^ , donne

co8(»-t-rt0-»-sinf) C08(w+^) cos(»-»-^)cosf

produisent, par exemple, quand les conditions aux parois sont plus compliquées que celles que nous avons admises, ou encore quand le profil des contours-limites est légèrement courbe.

Rapportons le milieu k des axes de coordonnées des x' et des y' parallèles aux directions, partout les mêmes, qu'affectent les forces principales lorsqu'un des modes déjà étudiés d'équilibre stable est supposé réalisé, et appelons pjFJ, pjfFJ ces forces au point (x', y'), — pgp^ leur demisomme, f' rinclinaison maxima et constante, dans ce même mode d'équilibre^ des pressions sur le prolongement de la normale aux éléments plans qu'elles sollicitent, inclinaison résultant, comme on a vu avant la formule (67*'') [pp. W et 56], de la relation

Les petites parties complémentaires pgn^ pgn^, pgt, qu'il faudra joindre à pgVi^ pgrFJ, 0, pour avoir rTijNi, T', satisferont évidemment aux équations (i02) et, par suite, aux relations (i02*^). L'équation indéfinie qui devra servir à la détermination de cr se déduira d'ailleurs de la formule (28*^) de la page 31 (où l'on accentuera x, y. Ni, N|, T) par la substitution des valeurs

suivantes et approchées de— •» -*

— --S — s=B : y — î 2- ou -i =

P Po Pofi^^t/ 2p F;-i-F;-f.nj-»-n,

^ F»-F» r n,~n, n,-»-f>, 1 gjnr^ i M^ ^] ^^f (d^^ dhj\

Pour arriver h une équation abordable, il faut admettre que la fonction a varie d'un point h l'autre beaucoup plus rapidement que^ : c'est ce qui arrive à des profondeurs l un peu grandes, où

coefficientmultipliée par âpo» prend la forme homogène

'autre beaucoup plus rapidement que— : c est ce qui arrive à des profondeurs l un peu grandes, >ù Po est considérable (de l'ordre de ij!), et où les dérivées de ^ sont de l'ordre de ^' Alors le coefficient —-, dans les formules précédentes, peut être supposé constant, et la relation (28^),

[daf* daf*df/^ dt/*J ^ {jbf* dt/*j

Elle a pour intégrale générale, avec quatre fonctions arbitraires Fo F,^ Fg, F4,

a=F.p-y'tgg-fj.|/=7J+F.[^'+î^tg(|-0.^^^

ces fonctions peuvent être remplacées par une double infinité de termes, pris, les uns, delà forme 6*>''*«(t-Ç) (A cos mx' •¥■ B sin mx'), les autres, de la forme e"*' (C cos mx' -i- D sin mx'), m, A , B, G , D désignant des constantes quelconques. Il me paraît difficile d'en tirer quelque résultat intéressant pour la pratique.

en désignant sim/)Iement par /*J', f^J les dérivées secondes des deux fonctions /i, /i, qui paraissent dans (104).

Substituons actuellement dans les formules (100) les valeurs (105) de n^, n^y L Tenons compte d'ailleurs de la proportion multiple

^. . cos ^ sÎQ ^ C08 ^ (1 — sin f) sin (« -♦- 2^)

(1 UO j ■■ ssss a=a j— as= — ; ■ . i

COS (g) h- ^) (4 -I- sin f) sin (« -♦- ^) (1 — sin f) cos (w -h ^) cos' f sin 2 (w -+- ^)

dont le second et le troisième rapports sont égaux au premier, l'un en vertu de Téquation sin w — sin (w + ^if) sin y = , l'autre identiquement, et dont le quatrième résulte de l'addition, terme à terme, des deux premiers après avoir multiplié les termes du premier par sin (w + ^) et ceux du second par cos (o) + ^). Il viendra simplement :

N; sin(a)-t-2^) .

pg sin 2 (m -4-^)^

N; 8in(«+2rt,, . .,, .„ -..

pg sin 2 (» -♦- ^)

T' sin (« -t- 2«/')

I p(^ blll 2 ^» -

I T' fiîn ^» u. Qj.'^

-COSy.C/"; — /"ï)

/r^f sin 2 (w -+- ^)

Telles sont les formules générales de la solution cherchée. Elles vérifient exactement les deux équations indéfinies (101) de l'équilibre et d'une manière approchée la suivante (lOl''"), exprimant que l'inclinaison maxima (f^ d'une pression sur le prolongement de la normale à l'élément plan qu'elle sollicite atteint en chaque point la valeur 9. En réalité, les relations (107) donnent pour le sinus de l'inclinaison maxima 9',

La solution obtenue (107) serait donc exacte, si la masse pulvérulente, se trouvant légèrement hétérogène, avait en chaque point un angle de terre coulante, y', supérieur à y d'une quantité variable du second ordre de petitesse, et donné par la relation

sm sin

on iie pourra ainsi t admettre, dani le cas d'un massif homoghiè; qu'autant que le rapport

sera partout assez petit devant l'unité, abstraction faite de certaines régions très-délimitées ou tout exceptionnelles, dont il serait permis de négliger l'influence sur le reste.

Observons que, dans les formules (107), la fonction

a la même valeur le long de toute parallèle à la droite OQ et varie seulement d'une de ces parallèles à ses voisines, que, de même, la fonction

n. ou ^;[^x'H-yt«(^-l)j,

a la même valeur le long de toute parallèle à 0Q^

46^'. Cherchons actuellement les expressions auxquelles ces relations Formules diverse», re- (107) conduisent pour les deux composantes, normale — 3X) et tangentielle G, de la pression exercée sur un élément plan quelconque parallèle à Taxe des z. J'appellerai encore e, Finclinaison de cet élément plan sur la verticale, de manière à avoir — (e, +?//) pour Fangle jS fait par sa normale avec Taxe des a?'. Les formules générales (30), appliquées en y accentuant N,, Nj, T, substituant alors à NJ, Ni, T' leurs valeurs tirées de (107), puis multipliant les résultats, en vue de simplifier les seconds membres, par ^!^ ^j"^"^ f|| > donnent :

/ fs> sin 2(» -H ^)

i T ,;„/ ^ç>A = [' - n - fi] sin f si" 2 (e, •+- V) + (/".' — A) «"«s f cos 2 (f, + *),

Il sera généralement préférable, au lieu de calculer — 3fl) et G, d'évaluer

il8 SUR L'ÉQUILfBRE D'ÉLASTICITÉ

d'abord rinclinaison f, de la pression sur le prolongement de la normale à l'élément plan, puis de déduire la pression résultante, <^, de l'égalité

^ ■= i, ou

sin fi ^ „.., S{. sm(« + 2^) (/ — /•;• — /•;•) sin y sin 2 (e.-t- *) + (/■?-/■;■) cosfcos 2 («,-♦-♦)

pg sin 2 (« -♦- ^) sin f^

On aura rinclinaison y, [variable au plus de — i ^ ^| au moyen de sa tangente^ qui vaut le rapport des deux seconds membres des formules (110). En exprimant que ces deux seconds membres sont^ en effets entre eux comme sin fi est à cos ^t^ puis égalant le produit des extrêmes au produit des moyens et simplifiant les résultats^ il vient

(4 42) [/ — /"; — fi] [sin f^ - sin f sin (2^1 ^- 2^ + f J] = {f; — /"ï) cos f cos (2£| ^ 2^ -f- y,)-

Cette relation permet de simplifier beaucoup la formule (111). Tirons effectif vement /*{' — flJ de (1 1 2) et substituons-en la valeur dans (111): Texpression

(/ — /"; — ft) sin f sin 2 {ii -•- ^) -♦- (/"/ — /l!) cos f cos 2 (fi h- ^)

deviendra le produit de J^^f;r/If,) P^^

sin f [sin 2 (fi -*- ^) cos (2ei -4-2^-1- f ,) — cos 2 («i -*- </») sin (2fi -*- 2^ -t- y,)]

-*- sin fi cos 2 (f I -♦- l) s= sin ç», [cos 2 (f i -i- f) — sin ç»] ,

et la formule (111) se réduira d'abord à

(-1-13) ^ = sin (» -^ 2^) cos2(ft-4-^) — siny ___

^ pflf sin 2 {« -t- ^) cos (2f| -+- 2^ h- yO ' * '

Elle se simplifie encore si Ton pose

(iH) j=^-i-^-.,,;

c'est-à-dire si Ton appelle cJ rinclinaison , sur la direction OQ, de l'élément

plan considéré^ ioclinaison comptée positivement en tournant de OQ vers Oy\ négativement dans le sens contraire. Alors la fraction

cos 2 (f, -h ^) — sin f sin (f> -h 2<î) — sin f» 2 cos [f -t- S) sin «F

ou — : devient -; — ; ■ •

cos {2ei -♦- 2^ -♦- yi) sm (f — f i -+- 2o) sm (y — y, -4- ÎJ")

D'autre part, d'après (106), le rapport ^!^ ^(^^^} peut être remplacé par

1^ 2 COS ^ cos (f -f- ^) sin ^

Tsf "" (i -+- sin f) cos (» -♦- *) sin (?> — y, H- 2^) /tt f\ co8*cos(fV(J)sin(J 2 (/ — fi — /^;') U 2/ cos (» -♦- ^) cos f sin (f — f i -f- 2^)

On pourrait encore y remplacer le facteur ^^^ J^^^ par l'expression !!!l",^^>wnc J .^ et éliminer w du rapport !?!["ll! > comme on Ta fait pour la

cos (« -f- f ) cos (» — Sx) *^* cos (fà-\'fy *

formule (98), au moyen de la proportion (98*"). Celle-ci donne

cos (« — f|) cos » cos fi -t- sin » sin Si cos fi — sin f cos (2^ -f- f,)

— !.... ou = ;

cos {q + ^) cos « cos ^ — sin co sin ^ (i •» sin ^ ) cos ^

on a d'ailleurs, d'après (114),

■f,==^ — (f -f-2J-Hf,),

et par suite

cos f, — sin r cos (2^ -f- €|) = cos [(y -+- «^ -♦- €,) — {f> -*- «î)] — sin f sin [(f -t- <? -♦- €|) -♦- (^j = cos (f -H ^) cos (f -♦- (^ ►♦- F,) -*- (sin f cos ^ -f- cos f sin ^) sin (y -♦- (^ -*- fi) — sin f cos ^sin (y -♦- (^ -♦- fi) — sin f sin ^cos (y h- (^ -f- e,) = cos (f -f- 9) cos (y -f- (^ -H f i) -♦- sin (^ sin {S -♦- €i).

Donc la formule (115) se transforme en celle-ci

K siû <? cos* (y -♦- è) cos (f -♦- fi -♦- <0 f- sin Jsin(f< -♦- J) "1

,,.^. I i7"~ cosî» L "*"co8(f -♦-(y)cos(î»-^f,-*- <0j

cos f sin (î» — f 1 -*- 2<^) cos (cp — f,)

Les relations (14 S) ou (116) permettront de calculer Si aux points pour lesquels les valeurs des trois fonctions /, /*'/, /i' seront données. Mais il suffit de connaître deux de ces fonctions^ et aussi 91^ pour que la troisième en résulte et puisse être éliminée par la formule (112). A cause de 2 (e, + (p) =1 — (y + 2cî), celle-ci peut s'écrire

[/ -^ fl — fi\ [din ^i — sin f cos (y — 9>i -h 2cf)] =» {fi — fi) cos f sin (f -^ fi •+• 2<y),

OU bien ^ SOUS forme de proportion^

i-n-fi ^ n-fi

cos f sin {f — f4 -♦- 2cî) sin y, — sin f> cas (f — ?>,-*- ^3)

Ajoutons^ terme à terme^ les numérateurs et les dénominateurs^ après avoir multiplié les deux termes du second rapport par =b 1 ; il viendra les deux nouveaux rapports, égaux aux premiers,

l-^fi l-n'i

sin ffi — sin (ç», — 2(î) 2 cos (f , — S) sin S

sin (2y — ^4 -♦- 2f) — sin f^ 2 cos {f -+- J) sîn {f — fi

L'équation (112) équivaut donc à l'égalité continue

. cos f sin (ç) — fi-+-2<y) sinj», — sin ç» cos (y — ç>i -4- 2<y)

cos (ç)| — ^) sin (^ cos (f -♦- 1^) sin (y — ç»i -t- ê)

et l'on voit qu'il suffît de connaître, outre 91, une quelconque cl^s quantités l — Ti— A', /{' — A', / — 2/^i^ , / — 2/ï', pour en déduire toM^ les autres. Gomme, dans "chaque cas, deux au moins des trois fonctions /, /*(', f^J seront données, on remplacera, dans (115) ou (116), le premier rapport (117) par celui des rapports suivants qui contiendra les deux fonctions connues. Supposons, par exemple, que celles-ci soient / et f^J : alors la sub-

stitution du troisième rapport (117) au premier change les deux formules (115) et (116) en celle-ci :

pg ^U 2/cos(»-«-^)cos(fi — J)^ ' '

cos'(f -♦- ^)co8(y -♦- f| -4- <?r 8in(y8in(ei -+- (y) "1 / — 2f'i

cos f C08 (f 1 — <J) L ^®* (? "*■ ^) ^^^ (î> -^ f| -h ^)\ cos (« — f,)

47. Tous les résultats précédents ont été déduits des équations indéfinies nue «n eompte d6s

^ ' conditions spéciales

de l'équilibre et subsistent quelles que soient les deux fonctions arbi- îîîcîwoMUniMÏÎi traires /*(', /i'. Il reste actuellement à déterminer ces fonctions de manière à Xs mu«°dr8outèsatisfaire aux conditions spéciales à la surface libre et à celle qui concerne la ""^^ ' surface de séparation du mur et du massif.

Pour cela , observons d'abord que le profil OA du talus supérieur (fig. 5^ p. 112) est dans Tangle QOQ'. Évaluons en effet les trois angles GOQ^, GOA, GOQ. Le premier vaut y'OQ', ou tt — (^ — |), diminué de ^. Le second est égal à | + «. Enfin, le troisième vaut ^ — 5 — ^. On a donc identiquement

GOQ' = (^ ^«) -^^{f-c^) -*- ^(^- « -2^), GOA=^ ^ «,

d'où il résulte, à cause des deux inégalités

« < î> , « -♦- 2^ < - > (en valeur absolue),

que 60A est moindre que GOQ' et supérieur à GOQ, ou que OA est compris entre OQ et OQ'.

Cela posé, les conditions à la surface libre, (9S), devenues, dans le nouveau système d'axes,

Ni = 0, N;=0, r = (pour i«0, ousup OA),

reviennent à dire, d'après les valeurs (107) de NJ, Ni, T', que Ton a :

(en tous les points de OA) /•;'h-/'; = 0, f;^fi = 0, ou fi=0, f% = 0.

Ainsi la fonction f[^y qui a la même valeur sur toute retendue d'une parallèle quelconque à OQ, doit s'annuler en tous les points de OA et par suite dans tout l'espace qui est du même côté de OQ que le talus supérieur OA, c'est-àdire notamment dans toute la partie AOQ du massif. De même, la dérivée /"i', invariable le long de toute parallèle à OQ', doit s'annuler en tous les points de OA çt par conséquent dans tout l'espace qui est, par rapport à OQ', du même côté que le talus supérieur OA. Le mur de soutènement se trouvera toujours dans cet espace, qui comprend par conséquent la totalité du massif. Les conditions spéciales à la surface libre obligent donc de faire nulles, dans toute la partie AOQ du massif, les deux fonctions /*{', /"i', ou, ce qui revient au même y les petites parties complémentaires pgn^y pgn^, pgt, des forces N{, Ni, T' : elles obligent de plus à supposer nulle, dans tout le reste du massif, la fonction /"i'.

Occupons-nous enfin de la condition spéciale à la paroi. Il pourra se faire : 1^ ou bien que la face postérieure du mur tombe dans l'angle AOQ, c'est-à-dire ait une inclinaison i, sur la verticale, supérieure à j — | — ^) 2"" ou bien, que la même face ait, au contraire, une inclinaison i moindre que j — ^ — ^> ^t tombe, par rapport à OQ, du même côté que Oy'.

Dans le premier cas, les termes complémentaires étant forcément nuls en tous les points du massif, il est impossible de satisfaire à la condition spéciale au mur de soutènement pour peu que l'angle du frottement extérieur diffère de celui, f,, qui résulte de la quatrième formule (96). La solution particulière donnée par Macquorn-Rankine est donc alors une solution isolée, ou qui ne se trouve voisine d'aucune autre. Ce résultat tend à prouver que, lorsque un mur rugueux de soutènement, ayant sa face postérieure inclinée sur la verticale d'un angle supérieur à ^ — | — (|», commence à se renverser, l'état ébouleux ne se produit pas dans toute l'étendue du massif. Sans doute un coin de terre, ayant sa base vers en haut, fait corps avec le mur et se sépare en bloc du reste du massif, suivant un plan de rupture parallèle à OQ. En effet, deux couches contiguës de terre ne peuvent glisser l'une

sur Fautre^ de quantités finies^ sans que leur pression mutuelle fasse avec la normale à leur surface de séparation un angle égal à celui du frottement intérieur 9 : circonstance qui se produit^ dans Tétat extrême d'équilibre d'élasticité du massif^ soit de part et d'autre de plans parallèles à OQ^ soit de part et d'autre de plans parallèles à OQ'. Or il est naturel d^admettre que l'état ébouleux^ au moment du renversement du mur^ s'étend le plus possible^ de manière à ne laisser intact^ sous la protection du mur^ que le coin de terre le plus aigu de ceux qui auraient quelque tendance à subsister :^ce coin doit donc être limité par un plan^ parallèle à OQ, mené de bas en haut à partir de la base de la face postérieure du mur considéré.

Dans le second cas^ soit OM le profil de la face postérieure du mur. La fonction /'/, encore ai'bitraire dans l'angle QOM, pourra être déterminée^ en chaque point de OM ^ de manière que l'inclinaison 91 de la poussée sur le prolongement de la normale au mûr soit précisément égale à l'angle donné du frottement extérieur. A cet ejBfet, appliquons la formule générale (412) ou ses transformées (117)^ qui déterminent justement les angles appelés 9^^ aux pressions effectivement exercées sur la face postérieure du mur : il faudra y poser e, = i, et par suite

après avoir fait d'ailleurs f{/ = 0. Le deuxième et le troisième membre de (117) donneront donc, en exprimant complètement /*J',

2r;[x'-ytgfe-^)] ^

(120) . . . -. —. T^ ~ . ^—(supOM):

^ ' 810 f I — sm f cos (f — fj -♦- 2<?) cos [fi — â) sin â

telle est la condition spéciale.au mur. On en déduira la fonction inconnue f[^, aux divers points de OM, après avoir mis, pour yi, la vraie valeur de l'angle de frottement réciproque du mur et du massif.

Introduisons, au lieu des trois variables a?', y', /,. la distance L de l'origine 0, ou du bord supérieur de la face OM du mur, au point considéré [x', y') de la même face. La distance normale, /, du même point au talus supé-

SUR LÉQUIUBRE D ÉLASTIQTÉ

rieur^ est la projection de L, prise sous Tdngle & — i, et Ton aura d'abord

l = h COs{a — t).

D'autre part, la droite OM fait avec les axes respectifs des a?' et des y' les angles | — (^ + /) et ^ + i : ainsi, sur cette droite, a?' = L sin ((// + i), y' = L cos (^ + î), et par suite

' ' (^ A— Lsin J

L'équation (120) revient donc à poser, aux divers points de OM, ou quand L est > 0,

[»..»-■ cos(»— tTcosf-— I) r =:-[sinf4-SmfCOS(y-^|-*-2<QJ

âsin* (îcos(fi — 3)'

— L sin ^ '

On voit que la fonction /*(', déjà nulle pour les valeurs positives de sa variable, est simplement, pour les valeurs négatives de celle-ci, le produit de ces valeurs par le facteur constant

sin f I — sin f cos (f — y, -♦- ^S) âsin*^

cos

(|-^)cos(«-.t)

cos(yi — d)

La condition spéciale à la surface de séparation du massif et du mur achève ainsi de déterminer Tétat dynamique du milieu dans la région QOM, en faisant connaître la valeur de f[' en chaque point de OM et par suite sur toute rétendue de la parallèle menée par ce point à OQ.

Observons que /*{' s'annule des deux côtés du plan, ayant pour profil OQ, qui sépare les deux parties distinctes du massif dans lesquelles les variations de cette fonction sont régies par des lois différentes. En d'autres termes, les pressions ne cessent pas de varier avec continuité quand on passe d'une région à l'autre, qi^oique leurs dérivées, prises suivant des normales à OQ, soient discontinues. C'est ce qui devait avoir lieu; car l'équilibre d'une

couche mince de matière ayant le plan OQ pour une de ses bases exige que les deux composantes de la pression exercée de part et d'autre de cette couche soient égales chacune à chacune^ conditions qui^ jointes à Téquation indéfinie (4 01^") el à celle qui exprime que le rapport des deux composantes considérées vaut tang y, reviennent à dire que NJ, Ni, T' ont les mêmes valeurs de part et d'autre de OQ.

Dans la pratique, 91=9, et la formule(124), à cause del— cos 2cï=2sin^()^ se réduit à

cos(^-|)sin^ cos (f — <y)

La relation (120) donne en même temps :

^.. ^. sin o sin ^ , , . ^„ cos © cos (^ , H

^ ' cos (f — t^) cos (î> — J) l--fi

Aux divers points d'une parallèle quelconque à OQ, menée dans le massif à partir d'un point de OM, la quantité constante f[' est donc positive, ainsi que la différence / — /*(', de plus en plus grande à mesure qu'on s'éloigne le long de cette parallèle. Le rapport j^. atteint par suite sa valeur la plus grande au départ, où il est égal à tg 9 tg d; et la formule (108) [dans laquelle on a fl/ = 0], permet de poser :

sin 9 l ^ ^9 (122"0 ^* M '

sin î> ) < l/rTTg«7=

l " cos ^

Toutes les fois que rinclinaison positive, â, de la face postérieure du mur sur la direction OQ, ne sera pas très-grande {ou sera moindre, par exemple, que ïangle \ = 22*^ \y dont la sécante -^ vaut seulement 1,082), on pourra supposer, sauf erreur négligeable, y' = y, et regarder la solution approximative comme applicable.

Occupons-nous actuellement de la pression qu'éprouve l'unité d'aire de la face OM, à la distance L = — ,'- ., de son bord supérieur. La relation (118),

' cos (« — •) * V / '

où l'inclinaison 91 de la poussée sur le prolongement de la normale à OM

126 SUR L'ÉQUIUBRE D'ÉLASTICITÉ

égalera l'angle connu du frottement mutuel du mur et du massif^ la donne immédiatement^ si Ton y fait e, = i, cî == j — ^ — ^ — /, et d'ailleurs /"i'^O. Par suite^ les lois de la poussée seront celles que nous avons trouvées au n° 44 (p. 409), à cela près que y, sera différent et que le coefficient numérique R = ^ aura la valeur

(n f\ COS ^ COS {f -t- â) cos (» — t)

. ""^\4 2/ cos(<p, — J)cos(«H-rt

* cos' {f -t- â) COS {f -^ l -*- â)

COS f COS (fi — J)

tsin â sin (t -♦- J) *1 COS {f -♦- (^j cos (y -♦- 1 -I- <i) J

Cette formule peut tenir lieu : 1^ de la plus générale (cinquième 96) que M. Maurice Levy ait obtenue et qui convient lorsque f ( a précisément la valeur résultant de la quatrième relation (96); 2"" de la formule trèssimple (99) donnée par M. Maurice Levy pour le cas où y, == y et où cJ= : en effet, le dernier membre de (123) se réduit bien alors à cos (y + i). Mais elle s'étend en outre à tous les modes d'équilibre-limite par détente qui sont assez voisins de ceux-là, ou pour lesquels, c^se trouvant d'ailleurs positif, Tangle 9, du frottement extérieur n'est pas très-différent de celui qui vérifie la quatrième relation (96).

Âppliquons-la au cas particulier le plus simple, qui est celui d^un terreplein horizontal soutenu par un mur vertical. Alors on a

« = 0, f = 0, 1 = 0, <y«'^-^J, et par suite

cos (t -*■ :: 1 / V cos ( — -]

Le coefficient K se trouve le même, et égal à tg- f^ — |), soit quand le mur est supposé infiniment poli, ou que y, = 0, hypothèse d'accord, pour w et 1 nuls, avec la quatrième formule (96), soit quand 91 est complémentaire de (fy ou que

comme il arrive lorsqu^on prend y = yi = 45**. Les valeurs de 9, intermédiaires entre et | — 9 donnent des valeurs de K un peu plus petites : la moindre de celles-ci correspond à ?i = ^ — [; elle est inférieure à lg2 (j^ — I) dans le rapport de 1 à cos ^^ — |V ou environ de 1 à cos 22^ ^ = 0,9239 si y = 45^

périeur et de la face postêrioqre du mur sont courbes.

48. Les résultats établis dans les numéros 46 et 46^** peuvent encore être Étude de cas où les

, , 4^wx -n, r^ fn r*\ i profils du lalus SU-

étendus à un massif dont le profil supérieur OB^B^G (fîg. 6) serait légèrement courbe et que soutiendrait un mur ayant sa face postérieure OM courbe également Je supposerai qu'on ait pris l'origine des coordonnées a?', y' à Tintersection de cette face et du talus supérieur; de plus, j'admettrai que rinclinaison variable de ce même talus sur une certaine droite OA reste petite, ou que la déclivité de la surface supérieure du massif ne s'écarte nulle part beaucoup de la constante c», mesurant la déclivité de OA. Enfin, pour simplifier, je supposerai que le profil de la face postérieure OM du mur se trouve tout entier d'un même côté de la droite OQ, et même qu'il s'éloigne sans cesse de cette droite, à partir du point 0, de hianière à n'être coupé qu'en un seul point par toute parallèle à OQ.

Considérons un point quelconque B (x', y') du massif et menons à partir (ie ce point, parallèlement aux deux directions fixes QO, OQ', les deux

droites BB, , BB,, jus-

(Fi|. 6.)

qu'à la limite du massif.

Si le point B est dans la région QOC, les extrémités B4 , Ba se trouveront évidemment sur la surface libre OC, et on pourra mener, des trois points B, B|, B2, sur la droite OA prolongée indéfiniment dans les deux sens, les perpendiculaires BP, B.P^, B,P„que

j'appellerai respectivement lyliyk: ces perpendiculaires seront évaluables pour chaque position du point B^ soit graphiquement^ soit analytiquement en fonction de x^y y' y dès qu'on aura donné le profil supérieur OC et par suite une droite OA peu inclinée sur ce profil ; je les compterai d'ailleurs positivement au-dessous de OA, négativement au-dessus. Si, au contraire, le point B est dans la région comprime entre OQ et le prolongement de Q'O, ce qui ne peut arriver que dans le cas où le mur OM est en dehors de Tangle QOQ', Bi sera toujours situé sur la surface libre OC, mais B, se trouvera sur le profil OM du mur : alors il n'y aura lieu de mener sur OA que les deux perpendiculaires /, 4- Remarquons que, dans tous les cas, les deux différences / — /,, / — l^ sont positives, car, OA étant dans Tangle QOQ', les points B,, Bi se trouvent au-dessus d'une parallèle menée à OA par le point B, Voyons maintenant comment l'indétermination des deux fonctions arbitraires /*{', /^a' permettra d'adapter au problème actuel les intégrales (107) des équations indéfinies. Tâchons de satisfaire d'abord aux conditions spéciales à la surface libre, en exprimant que N{, NJ, T' s'annulent dès que le point B appartient à la courbe OC. D'après les formules (107), il faut et il suffit, pour cela , qu'on ait :

(supoc), i-^f:^fi=o, n-n^o, ou ri=r;=^U.

Les deux fonctions f[', pj se trouvent ainsi déterminées sur le talus supérieur et, comme elles ont les mêmes valeurs le long de toute parallèle menée respectivement à OQ ou à OQ', elles le sont, par le fait même, la première dans toute la région QOC, la seconde dans toute l'étendue du massif. Au point quelconque B, on a donc

et on a aussi, mais seulement quand ce point appartient à la région QOC,

(125) /■;==- il (dans la région QOC).

^ La solution obtenue n'étant admissible, pour un massif homogène, qu'au-

tant que le rapport (409) [p. 447] est une petite quantité, il y a lieu d'examiner si les expressions (4 25) el (424) de /*'/, f^Jy donnent en effet de petites valeurs à ce rapport, devenu ainsi

Or, le profil B^B^tC étant supposé peu incliné sur OÂ, le dénominateur de (425^') est toujours comparable, sinon même sensiblement égal, à la distance du point considéré B au talus supérieur, tandis que le numérateur de (425^') est de Tordre du produit de la petite inclinaison de BjB, sur OA par la droite P|Ps, laquelle est comparable à la distance, dont il vient d'être parlé, du point B au talus supérieur. Donc la solution est bien acceptable tant que les inclinaisons, sur Thorizon, des diverses parties du talus supérieur ne diffèrent pas beaucoup d'une constante (u.

En résumé, le mode d'équilibre, dans la région principale QOG, est complètement déterminé par les équations indéfinies et par les conditions spéciales à la surface libre. Par suite, si la face postérieure OM du mur de soutènement se trouve comprise dans cette région, on ne pourra satisfaire à la condition qui lui est relative qu'autant que la pression exercée sur chacun de ses éléments plans, d'après les formules (440), fera précisément, avec le prolongement de la normale correspondante, un angle 91 égal à celui du frottement extérieur donné. C'est dire qu'en général un coin de terre adjacent au mur ne pourra pas s'ébouler, et qu'il y aura rupture, avec glissement fini, entre ce coin de terre et le reste du massif. La surface de rupture devant être le lieu géométrique d'éléments plans sur lesquels l'angle de la pression et de la normale atteint la valeur maxima 9 (ou plus exactement 9'), son profil se construira de proche en proche en menant, à la suite les unes des autres et à partir de la base de la face OM, une série de droites infiniment petites dont l'inclinaison e^ par rapport à la verticale sera telle, en chaque point, que les formules (440) y donnent z^— ^ ?'• La direction des tangentes à la courbe ainsi obtenue ne s'écartera généralement pas beaucoup

de celle de OQ. On pourra^ dans le calcul des dimensions d'un mur capable de supporter, sans achever de se renverser, la poussée-limite qu'il éprouve au moment où l'état du massif devient ébouleux, regarder comme faisant corps avec le mur lui-même le coin de terre adjacent que son frottement maintient à l'état élastique, ou raisonner comme si la surface de rupture était la vraie face postérieure de ce mur.

Passons actuellement au cas où le massif comprend, outre la région QOC, une autre petite région QOM , dans laquelle la fonction /*(', constante le long de toute parallèle à OQ, sera resiée disponible. On pourra y déterminer /*'/ de manière que l'inclinaison y^ de la poussée exercée sur les divers éléments plans de la face OM, par rapport à la normale à ces éléments plans, vaille précisément l'angle donné du frottement extérieur. Pour cela, si ^^ désigne cet angle, i l'inclinaison, au point considéré, de OM sur la verticale, et par suite cîson inclinaison, ^ — | — ^ — i, sur OQ, il suflBt, d'après le deuxième et. le troisième membre de (H'?), que

(1 26) . . . /^, — /^, =B iT-r-T {l — 2/ j) (sur OM).

2 cos (f , — (^) sin J ^ ' ' ^ '

Or, d'après (124), 2/'i' = /a, et, d'autre part, dans la pratique, y, = 9, ce qui réduit l'expression sin yi — sin 9 cos (y — yi + 2cï) à 2 sin y sin* i. La formule précédente devient donc

Connaissant /*{' aux divers points B^ de OM, on aura par le fait même cette fonction aux points correspondants B de la région QOM, dont l'état mécanique, régi par d'autres lois que celui de la région QOC, sera ainsi complètement déterminé. On pourrait encore prolonger en deçà du point la droite OA et aussi, fictivement^ le profil du talus supérieur, en maintenant, enlre ce dernier prolongement d'une part, au point il rencontrerait une parallèle quelconque à OQ, et, d'autre part, le prolongement de OA, une distance /, double de la valeur (127) qu'acquiert la fonction f[' à l'intersec-

lion de cette parallèle et de OM. Il est clair que la partie fictive ainsi ajoutée au massif en avant de OM produirait^ sur le massif réel MOC^ le même effet que le mur de soutènement; le problème de Téquilibre-l imite d'un massif limité par un mur se trouverait donc ramené à celui de Téquilibre-limite d'un massif latéralement indéfini. Observons que son profil supérieur présenterait en général^ à l'origine 0^ un point anguleux^ et que par suite la dérivée de /"(', ou celles des forces NJ, Ni, T', dans un sens normal à OQ, prendraient des valeurs différentes des deux côtés de cette droite , quoique la fonction /*'/ et ces forces elles-mêmes y restent continues. En observant que f^J = \hy la relation (127) donne

(128) (surOM).r;-A-=£f^(/-/.). i A;--^;=^fi^(/-g,/i=4 = .g,tg..

COS(f — d) COStf—tf) ft— /i — /j

D'après ces formules, les deux expressions /*{' — /*i' et / — /*{' — /*;' sont positives, comme / — 4, aux divers points de OM. Le long d'une parallèle menée à OQ, dans le massif réel, à partir d'un point de OM, la quantité croissante / varie d'ailleurs beaucoup plus rapidement que la fonction /*i' =5/1, dont les accroissements sont proportionnels au produit de quantités comparables à ceux de /, multipliées par la petite inclinaison de la courbe B^G sur OÂ : donc la valeur la plus grande que reçoive en même temps le rapport i!l7'[lf" ^^^t ^tï*^ ^^ général sa valeur initiale tg y tg A Quand il en est ainsi, la formule (108) donne, comme au numéro précédent (form. 422*"),

. ,(>^ 029) . !îî^ i

ce qui signifie que la solution trouvée pourra être admise toutes les fois que l'inclinaison positive (J, sur la direction OQ, des diverses parties de la face postérieure du mur aura son cosinus assez voisin de l'unité, ou n'excédera pas, par exemple, | = 22^^» La conclusion serait la même s'il y avait des points où le numérateur f[^ — f^J crût, le long d'une parallèle à OQ, dans une proportion aussi rapide que le dénominateur l — /*{' — /*i' : le rap-

port —^ ne cesserait pas alors d'être peu supérieur à Tunité^ car la fraction /j,7^^f continuerait à être comparable à tg 9 tg (J.

Il nous reste à évaluer la pression exercée par le massif sur le mur. On connaît déjà la direction de celle qui est appliquée à un élément plan quelconque de la face OM^ puisqu'elle fait^ avec le prolongement de la normale à l'élément plan considéré^ l'angle connu tf^ du frottement extérieur. D'ailleurs sa grandeur <R^ sous l'unité de surface^ sera donnée par la formule (118)^ où il suffira pour cela de remplacer 2 f!J par /,, e. par l'inclinaison iy sur la verticale, du même élément plan, et par suite c^ par j — | — ^ — 1. Toutes ces poussées élémentaires, étant comprises dans un même plan, équivaudront à une force unique; mais le calcul de celle-ci sera généralement compliqué.

Le résultat ne devient quelque peu simple que dans le cas où la face postérieure du mur est plane et d'un même degré de poli ou de rugosité dans toute son étendue, hypothèses en vertu desquelles toutes les poussées élémentaires sont parallèles et de même sens. Appelons alors dL la largeur d'une bande de cette face; L «= ^^^j^^^ la distance des points de cette bande à l'intersection de la face considérée et du talus supérieur; La= ^^^*^^ ^ la distance analogue, mesurée parallèlement à la face postérieure du mur, de chaque point tel que B^ à la droite OA, distance qui deviendra une fonction connue de L puisque tous les points B seront pris sur OM. La poussée élémentaire <R(/L, éprouvée par l'unité de longueur de la bande, vaudra

^^^\i 2/ C08(y,~(r)C08(«^rt ^ ^

CO8 f CO8 {ifi — J) L cos (y -♦- 6) COS (y -♦- i -+- (î) J

La poussée totale par unité de longueur du mur, jusqu^à une distance ^ du bord supérieur, aura donc pour expression /"^ ^dhy ou

si l'on appelle toujours K le coefficient constant défini par la formule (123).

Quant à la distance^ 4^|^ da point d^application de cette poussée au bord supérieur^ elle résultera de Téquation des moments

et vaudra par conséquent

' r-^f. M 2LdL

rb-'ô

La détermination de la poussée P et de son point d'application nécessitera donc le calcul de deux intégrales^ dont Févaluation numérique pourra se faire dès que L, sera donné en fonction de L, c'est-à-dire dès que le proâl exact du talus supérieur sera connu.

Pour L^ = 0^ nous retrouvons les résultats déjà obtenus au numéro précédent

Le cas où la surface supérieure OC est plane et le mur de soutènement OM courbe^ parait être le plus simple après celui que nous venons d'examiner On peut poser alors^ dans la formule générale (118)^ ff/ = 0; mais les angles t (ou e^) et ô ne peuvent plus être supposés constants^ circonstance qui doit rendre les calculs peu abordables.

i34 SUR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ

ÉTUDE ^ EN COORDONNÉES POLAIRES^ DE l'ÉQUILIBRE-LIMITE (pAR DÉFORMATIONS planes) d'une masse PLASTIQUE OU PULVÉRULENTE COMPRIMÉE. APPLICATIONS A UNE MASSE ANNULAIRE^ A UN MASSIF COMPRIS ENTRE DEUX PLANS RIGIDES QUI SE COUPENT.

Équations de iwi- 49. Les deux équations indéfinies (28) [p. 30]^ où je suppose que x^ y f«1rS2îîiiîloB"de u ^lésignent les coordoanées actuelles des diverses molécules, se réduisent k

pesanteur.

/.»^x <^N, dT ^ dT dN, „

(*^*) *r-^dF='' -dx-^-dir=''

quand les dérivées des forces N, T sont assez grandes pour qu'on puisse négliger en comparaison le poids spécifique pg du massif. Cherchons ce que deviendront ces équations si chaque point M du plan des xy est défini au moyen de sa distance OM = r à Forigine et de Tinclinaison e du rayon vecteur OiM sur un axe polaire fixe.

J'appellerai :

ce Fangle, compris à la rigueur entre =f f ^ que fera avec ce rayon vec* teur OM prolongé la force principale la plus petite F, (pression la plus grande) menée en M, en sorte que 6 + a sera Tinclinaison de celle-ci sur Taxe polaire ;

Nry T\es deux composantes, suivant les directions respectives inclinées de fi, e + 1 sur l'axe polaire, de la force exercée sur l'élément plan perpendiculaire au rayon OM, du côté de son prolongement;

iVe, T les deux composantes, normale et tangentielle, de la force exercée

{*) Paragraphe envoyé à TAcadëmie postérieurement à la présentation du mémoire.

sur Félément plan mené suivant OM et dont }a normale est inclinée sur Taxe polaire de ô +|-

Généralement, si t désigne l'angle fait, avec la force F3, par la perpendiculaire à un élément plan normal aux xy^ on 6 + a + 1 son inclinaison sur Taxe polaire, les formules (32) [p. 32] donneront, pour les deux composantes, normale Sfty et tangentielle S, de la force que supporte cet élément plan,

(435) 0Ï) = — p - R cos 2i, 5 = R sin 2t.

On aura 4^ iV^ et 7" en faisant dans ces formules 1 = — «; 2® TV^ en posant dans la première t = f — «• Ainsi :

(154) . . A; = — p — Rcos2a, r= — Rsin2«, iVe= — p -+- Rcos2a.

Gela posé, il est facile de déduire des deux formules (132) deux équations indéfinies d'équilibre où ne paraissent que iV^, iVg, T et leurs dérivées en r et en 9. Supposons qu'on prenne OM pour axe des x, et un axe des y incliné sur l'axe polaire de $ +y* Alors, au point M, dont les coordonnées rectangles sont a? =» r, y = 0, on a évidemment Ni = iV^, T=T; et, en outre, f; = ^S £ = ^, où iV„ T ont les valeurs (434).

Il reste à obtenir ^> ^. A cet effet, cherchons les composantes T, N, au point qui a les coordonnées rectangles a? = r, y = rde, et fes coordonnées polaires r, 9 + de. Les formules (433) deviennent évidemment, pour ce point,

(135) . . 3T;> = — fp -+- -p dôj — (r ^- — de] cos 2t, G = (r ^ y. d«j sin 2t.

D'ailleurs^ le rayon vecteur émané de l'origine y est incliné sur la force principale la plu3 petite de l'angle — (« + ^ rf^)> ^t ""^ parallèle à l'axe des X fait avec cette force le même angle diminué de de. On aura donc, au point (r, é+ de), la valeur de T, c'est-à-dire T + ^ rrfô, en posant, dans la seconde (435), 1 = — [« + (* '^^) ^^\> ^^ ^'^^ Y obtiendra Nj, ou plutôt Ni + ^ rde, en prenant pour 1, dans la première (435), le même

136 SUR L'ÉQUILtBRE D'ÉLASTIGTÉ

angle augmenté de f . II vient, sauf infiniment petits négligeables du second ordre :

= — R sin 2a — j -r-sîn 2* -♦- 2R (i -*- —\ cos 2« 1 dB,

tdp dR / rf«\ . 1 ,

— ^ -♦- TT^^® *" — 2R ( i H- ^1 8in 2« rfe.

On tire de ces formules ^^ ^' en égalant dans les deux membres les termes affectés de de. Enfin ^ ces valeurs;, portées dans (132) ainsi que celles de ^> ^ trouvées plus haut, donnent les deux équations cherchées :

dp dR ^^ da , ^ sîn2adR 2Rcos2a i- r- cos 2« -t- 2R — sin2a

/ rfr dr dr r de r

^ ' ^ dR , ^ doL idp eo9 2«(lR ÎR8in2a/ da\ ^

— siQ2a--2R^cos2a -f--f- -= : [i ■+-— =0.

dr dr r de r de r V */

En tenant compte des formules (134), on peut les écrire sous la forme connue :

. dK idT Nr-NB ^ dT îd^B 2r

' dr r dô r dr r de r

Mais les équations (136) sont généralement préférables à celles-ci dans une étude d'équilibre-limite; car la demi-différence, R, des forces principales extrêmes F(, F, en chaque point y est une fonction connue de leur demisomme — py et il suffit de substituer à R son expression en p pour que les équations (136) contiennent explicitement les deux fonctions inconnues /?, a, seules distinctes ou parfaitement caractéristiques du mode de distribution des pressions aux points considérés (r, e). D'après la formule (68***) [p, 58], on peut prendre simplement

(458) R = K-i-op,

K et a étant deux constantes^ toutes les fois qu'il s'agit d'une masse homogène plastique ou pulvérulente : dans ce dernier cas^

(138*") a=sinf>, K = 0,

tandis que^ pour un corps malléable^ on aurait sensiblement

{138'"-) a = Oy R = K.

Si Ton appelle R' la dérivée ^, et qu'on remplace ^, ^ par R'g, R'g, les deux équations (136), résolues ensuite par rapport à ^> ^, donnent aisément :

ii—R'« dp 2, ^ „, /, dcc\ dcos2a

R de ^ '\ do/ ^ ' dr

Les premiers membres de celles-ci sont les deux dérivées respectives, par rapport à r et à d, de la fonction y — ^ dp : leurs seconds membres devront donc satisfaire à la condition d'intégrabilité qu'on obtient en égalant la dérivée du premier d'entre eux par rapport à S à celle du deuxième par rapport à r. Quand R' est une constante ou que R est de la forme (138), cette condition d'intégrabilité ne contient que l'inconnue a : on s'en servira pour déterminer a, et les deux équations (139), respectivement multipliées par dr, de, ajoutées et intégrées, donneront ensuite/?.

50. Appliquons d'abord les relations précédentes au cas où la masse Équilibre limiie

d'une masse annulaire.

soumise à des déformations planes l'est de la même manière tout autour de l'axe des z, comme il arriverait pour une masse annulaire cylindrique dont la surface intérieure, de rayon r^, et la surface extérieure, de rayon r,, éprouveraient des pressions ayant leurs deux composantes, normale et tangentielle, constantes sur toute l'étendue de chacune.

Alors ;>, a ne dépendent pas de 9; il en est par suite de même, d'après (134), de Nrj N^jTy et la seconde équation (137), multipliée par t^df* et intégrée, donne

(140) Tr'^uneconslc, ou — Rsin2a=s —

La constante c se détermine imniédiatement quand on connaît la force tangentîelle T appliquée à Tunité d'aire de Tune des deux surfaces, intérieure ou extérieure, de Tanneau.

On déduit de (434) et (440)

Nr — IV% OU — 2Rcos2a = =F2 yR'— — •

Le radical prend le signe supérieur — ou le signe inférieur + suivant que Nr est plus petit ou plus grand que N^ : d'après les équations générales (/3) [p. 400], le premier cas se présente quand les lignes matérielles dirigées le long des rayons r se contractent et que par suite les fibres circulaires qui leur sont normales se dilatent, ou quand la matière s'éloigne de l'axe de symétrie; le second cas se présente, au contraire, quand elle s'en rapproche.

Enfin, la première formule (437) devient

c'est une équation différentielle du pre mier ordr e en p et en r, car iV^ y a la valeur — p — R cos 2a = — p^ J/R- — f! et de plus R est une fonction connue de p. Son intégration déterminera />, et par suite iV^, iV^, en tous les points, pourvu qu'on donne la composante normale — iV^de la pression exercée sur l'une des deux surfaces, intérieure ou extérieure.

On voit que les équations de l'équilibre-limite déterminent parfaitement les pressions exercées en tous les points de l'anneau, si l'on connaît celles que supporte une seule de ses deux surfaces, concave ou convexe.

Dans le cas particulier d'un corps malléable, pour lequel R = K, l'équation (442) devient aisément df/? = qi R p===, et une intégration immédiate, en appelant po la valeur de/? pour r = Tq, donne

(i43) p-po=±Klog-^^ — =•

Quelle que soit l'expression de R, mais si Ton sait que T s'annule sur Tune des deux surfaces, intérieure ou extérieure, la formule (140) se réduit partout à TV* ==.e = 0. Soit alors R' la dérivée de R par rapport à />; la relation (142), multipliée par ^ et intégrée après y avoir substitué p ±: R k — Nry devient aisément :

Celle-ci, dans les cas où R = K + ap, donne, 1^ si a n'est pas nul,

K H- ap /ro\ r (i45) ^= -

2^ si a s'annule ou que R = K,

(446) p-po = =F2KIog-.

formule évidemment comprise dans (143).

Ce dernier cas a =0, particulièrement important à considérer, est celui d'un corps plastique. Appelons alors

la pression normale appliquée à l'unité d'aire de la surface intérieure de l'anneau, c'est-à-dire la valeur de — iV^ = /9 =fc K pour r = 7\q. On aura />^ ± R = P^,, ou /; = Po =F K + (/> — Po), et par suite, vu la valeur (1 46) de p — Po et les expressions /> ± K, jo =f K de — iV^, — Nq :

(i47) p = Po=fk(i -*-21og~). --y,«Poq=2Klog^. — iVe =:Po=f2K (l + log^).

Les signes supérieurs correspondent, comme il a été dit^au cas où la matière de l'anneau s'éloigne de l'axe, les signes inférieurs au cas où elle s'en rapproche.

51. Les formules (147), que M. de Saint-Venant avait déjà déduites des Application .uthéo.

, • / Ê t\m\ /*\ . . t 1 /ii rie de M. Trescâ sur le

équations {loi) ( ), ne conviennent, en toute rigueur, que pour les defor- poioçoon.ge.

n Mémoire du 15 avril i873, cilë ci-dessus p. i03.

mations planes dans lesquelles les couches conaxiques ou cylindriques conservent leur hauteur et s'éloignent ou se rapprochent les unes des autres sans cesser d'être normales aux mêmes lignes matérielles. Mais^ si Ton admets comme hypothèse la plus simple possible, que la différence F, — Fj des deux forces principales extrêmes est une quantité sensiblement constante 2K pour un corps à Tétat plastique, même quand ses déformations ne sont pas planes, et si — p désigne la demi-somme de F,, F3, les relations (147) résulteront encore de cette condition Fj — F, = 2R et de Téquation exprimant Féquilibre d'un élément de volume suivant les rayons r, dans toutes les circonstances où la direction des rayons r sera celle d'une des forces principales extrêmes et où les plans méridiens seront des plans de symétrie ne supportant qu'une pression normale, — TV^, assez peu différente en chaque point de l'autre force principale extrême.

C'est ce qui arrive, en premier lieu, pour un anneau posé sur un plan poli et dont la surface intérieure, de rayon r^y est soumise par unité d'aire à une pression Po qui la distend, tandis que la surface convexe, de rayon rj, et la base supérieure sont libres. Alors N^ est la plus grande des forces principales, Nr la plus petite; parce que les lignes matérielles les plus tendues sont, en exceptant peut-être quelques endroits exceptionnels, les circonférences de rayon r décrites autour de l'axe, tandis que les plus contractées sont les rayons r. FI faut donc prendre les formules (147) avec leurs signes supérieurs, et il vient en particulier, comme condition exprin^nt que — N^ s'annule pour r = r^y

(148) Po = 2KIog-.

Le même fait, consistant en ce que iV^, N^ ne diffèrent pas beaucoup des deux forces principales extrêmes, se produit aussi à peu près, au moins entre certaines limites assez étendues, quand l'anneau, toujours posé sur un plan solide et soumis sur sa surface concave, de rayon ro, à une pression Po par unité d'aire, a sa surface extérieure, de rayon r,, maintenue invariable au moyen d'une enveloppe rigide et polie qui l'entoure, tandis que la base supérieure supporte une pression totale plus ou moins grande, dont

désignera le quotient par Taire it (r^ — rj) de cette base. Alors la matière se dilate à la fois ou se contracte à la fois^ et en moyenne presque également ^ dans deux sens rectangulaires normaux aux rayons r, tandis qu elle éprouve par suite, suivant les rayons r, une contraction ou une dilatation moyennement doubles. On a donc presque N^ = Nq, c'est-à-dire que les éléments plans parallèles aux bases de Fanneau supportent des tractions N^ (positives ou négatives) assez peu différentes de celles qu'éprouvent, aux mêmes points, les plans méridiens; et la troisième formule (147) donne

(U9) -JV, ou — iV0 = Po=F2K(i -t-logH-

D'ailleurs, la condition exprimant l'équilibre, dans le sens de Taxe, de la portion d'anneau comprise entre la base supérieure et une section horizontale quelconque, exige que la pression totale, 7r(rî — ri) P^, supportée par la base considérée, égale la sonmie, %zj*\ — N^rdVy des pressions exercées sur la section entière. On a donc '^'

^(rî-rî)P.=/{-iV.)2TrrJr=(Po=F2K)7r(rî-.rî)qiKT^^^ "^'^«S 1 ^''^

et la pression moyenne P,, exercée sur l'unité d'aire d'une base de l'anneau^ est représentée par

Si cette pression moyenne P,, exercée sur les bases, est assez forte pour écraser Tanneau en faisant décroître son rayon intérieur r^, on prendra les signes inférieurs, et cette formule donnera

Le cas contraire où la base supérieure de l'anneau serait libre peut être aussi, avec quelque approximation, déduit de (150) en posant P, = 0. Supposons en outre que le mouvement dilate alors les circonférences matérielles

de rayon r décrites autour de l'axe, ou qu'il faille prendre les signes supérieurs : il viendra

Les formules (148), (151), (152) ont été trouvées (tout autrement que ci-dessus) par M. Tresca, créateur de la plasticodynamique, qui les a données dans son Mémoire Sur le poinçonnage des métaux et la déformation des corps solides (Recueil des savants étrangers de l'Académie des sciences DE Paris, t. XX, 1872, pp. 160 à 222 du mémoire).

II y considère notamment un bloc cylindrique de plomb ou d'élain de rayon r,, posé sur un plan rigide et soumis sur le milieu de sa base supérieure à Taction d'un poinçon également cylindrique d'un rayon plus petit ro; le reste de la base supérieure du bloc est libre, tandis que sa surface latérale est tantôt libre, tantôt rendue horizontalement inextensible au moyen d'un cylindre extérieur rigide qui l'entoure. Un calcul exact de la répartition des pressions à l'intérieur du bloc étant inabordable, M. Tresca suppose, ce qui doit être peu éloigné de la vérité, que le cylindre de matière, de rayon ro, situé sous le poinçon, éprouve un écrasement uniforme jusqu'à une certaine distance du poinçon, en sorte que la pression exercée par l'unité d'aire de celui-ci se transmette à tous les éléments plans horizontaux de ce cylindre central : par suite, tous les éléments plans verticaux du cylindre central considéré supportent la même pression diminuée de 2K.

Sous l'influence de cette dernière pression, l'anneau de rayon r, — ro, qui entoure le cylindre central , se dilate latéralement, et dans les conditions auxquelles répond la formule (148), ou, à peu près, la formule (152), suivant que le bloc poinçonné a sa surface latérale libre ou de rayon invariable. Dans les deux cas, la pression exercée par l'unité d'aire de la base du poinçon vaut à chaque instant Po-f- 2K, et la force totale, mesurable, F, qui pousse le poinçon, a pour valeur (Po + 2K) Tir^, c'est-à-dire :

(153) ... . F = 2KffrJ M -+-log-j(surf.Iatër. libre),

(iB3*^) . . . . F = KTrrî (5 -♦- -^^ log -) (surf. lat. inextensible).

Toutefois ; quand un ori6ce de mêmes dimensions transversales que le poinçon est percé, vis-à-vis du poinçon même, dans le plan fixe qui supporte le bloc, il arrive un moment où le cylindre central, alors réduit à une hauteur assez petite h, éprouve moins de résistance à sortir par cet orifice, en glissant le long de la surface intérieure ^T:rji de Tanneau qui Tentoure, qu'à continuer à étendre latéralement celui-ci, et où par suite la pression du poinçon détermine Fexpulsion du cylindre central. Â ce moment, deux lignes verticales contiguës, prises, suivant un même plan méridien. Tune dans le cylindre central, l'autre dans Tanneau, glissent évidemment Tune devant Tautre plus que deux éléments reclilignes parallèles et voisins ayant toute autre orientation, de manière que leur glissement mutuel est maximum, ainsi, par suite, que la force tangentielle exercée, sur la surface intérieure de l'anneau, parallèlement à ses génératrices. Les formules (32) [p. 32], toujours applicables en un point quelconque d'un milieu, dans le plan qui contient les deux forces principales extrêmes F,, F3, pourvu que ^— ;>y désigne leur demi-somme ^ (F, + F3), montrent que cette force' tangentielle maximum vaut leur demi-différence ^ (F, — Fg)^ R, c'est-à-dire R lorsqu'il est question d'un corps plastique. La résistance qu'éprouve le cylindre central à sortir par l'orifice en glissant contre l'anneau qui l'entoure est donc le produit de K par la surface de contact ^nrji'y et la pression du poinçon surmonte cetle résistance, désormais moindre que la résistance à l'écrasement, ou détermine la formation et la sortie de la débouchure, dès que le produit ^nrJiYL cesse de dépasser le second membre de (153) ou (153^'). La débouchure se forme donc à l'instant où la force F, sur le point de décroître, est exprimée tout à la fois, soit par (1S3) ou (153*"), soit par 23TroAR; et sa hauteur h vaut par suite, respectivement :

(154) h==rA\ -y- iog-j (supf. lat. du bloc, libre),

- H- , log ~ ) (surf. lai. incxlensible).

2 fi — ri rj

M. Tresca étudie encore l'écoulement d'un bloc ductile de rayon r^ remplissant un vase cylindrique percé en son fond d'un orifice circulaire de rayon Vq conaxique au vase, sous la poussée F d'un pistou qui recouvre toute

sa base supérieure. Le cylindre central de rayon r^, dans sa partie voisine du fond du vase et qui est à Tétat plastique , ne supporte presque aucune pression sur ses éléments plans horizontaux^ en sorte que ses éléments plans verticaux^ normalement auxquels la matière se contracte^ éprouvent une pression égale à 2K. Celle-ci est donc la valeur de la poussée Pq s'exerçant par unité d^aire^ aux mêmes niveaux^ sur la surface intérieure de Tanneau de rayon r, — r© qui entoure le cylindre central. La formule (151) convient à ce cas puisque les fibres circulaires de rayon r se contractent; et elle donne la pression totale appliquée à une section horizontale 7; (rf — ri) de Panneau^ pourvu qu'on y fasse P© = 2R et qu'on la multiplie par Taire tt (r^^ — rj). Comme d'ailleurs les éléments plans horizontaux du cylindre central qui sont sur la même section ne supportent que des actions insensibles^ cette force totale représente la poussée F exercée par le piston. On a donc

(i»5) F = ^(rî-rî)K(3 + -^Jog^).

\ ri — r© ro/

Au moyen des formules (153), (153**'), (155), et en mesurant directement, dans chaque cas, Vq, r^, F, M. Tresca a déterminé, pour le plomb, un assez grand nombre de valeurs de K. Ces valeurs, égales en moyenne à 200 kilogrammes par centimètre carré, ont été remarquablement concordantes (vu la nature des recherches), surtout si l'on ne considère que les deux dernières séries d'expériences, faites avec un soin particulier. Elles n'ont varié, pour ces deux séries, que de 190 à 211 dans les cas des formules (153), (155), qui paraissent les mieux justifiées, et elles n'ont été un peu plus inégales (variables de 176 à 221) que dans le cas de la formule (153^') [voir le tableau de la page 191 du mémoire sur le poinçonnage]. M. Tresca a reconnu aussi l'exactitude de la formule (154), qui donne la hauteur des débouchures formées dans des blocs d'une suffisante épaisseur et assez larges pour que le poinçon n'en écrase presque que le cylindre central : ses expériences ont porté à cet effet (p. 215) sur le plomb, la cire à modeler, diverses pâtes céramiques, l'étain et même le cuivre et le fer (*).

céfpar une'mMM M^ (*) ^^ ciivision fictive d'uD bloc poinçonne en un cylindre central et un anneau qui, bien bio^eose sur on corps q^^ contîgus, soot eensés soumis h des modes de déformation très-distincts, a pour but de

qu'on en retire.

DES MASSIFS PULVERULENTS. 145

52. Mais revenons aux équations (139) [p. 137]. Leur intégration peut Deacasoùrindma..

Ifi rayon r eit m variable , soit en tous les

s'effectuer dans les deux cas, assez généraux, pour lesquels on a, soit "? "y<>" r «* ■"''■"

ff* A crtît n points' également dis-

««•..., 1 . . A. ». 1 14. le long d'un même

Je n insisterai guère sur le premier, qui ne me parait présenter de lin- rayon r. térét que lorsqu'il se confond avec celui dont il a été question au numéro 50, c'est-à-dire quand la dérivée ~ s'annule en même temps que -• On trouve, en supposant R' invariable et appelant e, & deux constantes arbitraires, que les valeurs de «, /? y résultent des formules

. X , r* /»(cos 2a -+- R') d.2a ^„^ r*dp ^ , . /M.r*cos2a

(i56)log---H/ ^ ^ =.0, (l-RY-|f=-2c'fl + 2R'logr-/ -—

c t/ sin aa — C */ Il «/ r

La première équation (156) s'obtient sous forme finie, et elle se réduit môme : 1° à r' sin*"^ '^' « cos*^'^' « = c quand ~ ou & s'annulent (comme il

rendre simple un problème inabordable à Tanalysc, en introduisant une brusque discontinuité là où il n'existe réellement qu'un changement rapide dans le mode de distribution des pressions. Elle est moins hardie et plus justifiable que celle qu'a faite Macquorn-Rankine, aux n*"* 20 et 2i de son mémoire On the stabilUy ofloose Earth, pour évaluer la poussée éprouvée par la base inférieure d'un prisme vertical solide qu'on enfonce dans un massif sablonneux à surface supérieure horizontale, ou que Ton en retire. L'illustre professeur écossais distingue dans le massif, immédiatement au-dessous du plan de la base inférieure du prisme immergé : i "* une partie centrale, limitée latéralement par le prolongement des faces verticales du prisme, et où il admet qu'un état ébouleux uniforme se produit, par détente ou par contraction des lignes perpendiculaires à ces faces suivant que le cylindre descend ou monte; 2*^ une partie extérieure, dont il suppose encore l'état ébouleux uniforme, mais produit au contraire respectivement par compression ou par détente dans le sens horizontal. Il admet donc, non-seulement que les éléments matériels rectilignes horizontaux ou verticaux conservent un instant leurs directions, mais aussi qu'ils passent brusquement, quand on traverse le prolongement des faces latérales du prisme, d'un état de dilatation uniforme et finie à un état de contraction également uniforme et finie. L'égalité des pressions exercées sur les deux faces du prolongement considéré exige d'ailleurs que la force principale horizontale soit une même quantité de part et d'autre; par suite, d'après la formule {6(}*") [p. 55], la force principale s'exerçant sur les éléments plans horizontaux vaudra, d'un côté, le produit de celte quantité par J^]^» de l'autre, le produit de la même quantité par |-î^-|'i^^, et elle variera brusquement dans le rapport de 1 à (î -!!nî ) == ^(ï "*■ i)- ^^^^ ^^^^ étant, à l'extérieur, le poids pgh de la colonne de sable de hauteur h que supporte par unité d'aire le plan de la base du prisme , elle vaudra, sous cette base même, (-|~iï^) P9^ ^" (r^IîH)* P9^ suivant que le prisme est en train de descendre ou de monter. Macquorn-Rankine trouve donc que la poussée éprouvée par un prisme solide qu'on plonge dans du sable ou qu'on en retire égale le produit du poids du sable déplacé par le facteur ( |^||° ^Y, f étant Cangle de frottement intérieur du sable,

arrive si p ne change pas pour croissant de %)\ 2** à r* (sin 2a — c') = c ou r* sin 2a = c + c'r', quand R' = 0; et alors, r* cos 2a valant ifc [/r* — {c + c'r*)*, on peut mettre également sous forme finie la seconde (156), qui, sans cela, serait seulement ramenée à un calcul de quadratures. Le second cas, plus important, est caractérisé par cette circonstance, que rinclinaison a de la force principale la plus petite Fj sur le rayon vecteur r est invariable le long d'un même rayon, ou a sa dérivée par rapport à r nulle. Supposons donc ^ = 0. La condition d'intégrabilité dont il a été parlé à la fin du n"" 49 sera

(*") ^{(•'"^^«-^'Kv-^â]"'^-

Elle s'intègre immédiatement par rapport à 9, et il en est de même de la première (139) par rapport à r, si on la divise préalablement par cos 2a — R'.

Mais bornons- nous au cas où R' = constante. Alors l'expression (cos 2a — R') (\ + ^) ne dépend pas de r, et, si Ton appelle c une constante arbitraire, l'équation (157) revient à poser

0S8) (cos2a — R')(i-+- J) = c — R'.

On en tire

do cos 2a — R' rf (a -♦- O) c - R'

doL c — cos Î2a doL c — cos 2a

abstraction faite de la solution singulière

(159*^) c— cos2a = ou lg« = ±\/—

L'intégralion de la deuxième (159) donne : 1** quand c est en dehors des deux limites ^l 1 ,

;[^--^— ^(a -^ ~ cunsl) I =-— j-lga;

2** quand c est compris entre :±: 1, la formule

(ICI) . . . .Ighyp —-(«-+- fl — const) 1 = tga

Le — R J 1 — c

pour les valeurs de tg « comprises entre =f J/j^, et la formule

— — ^ (« -h — consl) = — tg a

pour les valeurs de tg « extérieures aux limites =f l^V^^ (*)•

Les équations (139), en tenant compte de (1S8) et (1S9), deviennent

R rfr ^ ' dr

<— R'*rfp ^ dlog(cos2j6 — R') de^ rf log (c — cos 2a)

R~ S^""^^"" ' dô IkT^^ ""^^ rfë

respectivement multipliées par dr^ dB^ puis ajoutées et intégrées en appelant Pq la valeur de p au point où r et « ont deux valeurs déterminées r^, oo, elles donnent enfin

Pour un même mode d'équilibre, les angles 9, a varient avec continuité d'un point du massif aux points voisins. Par suite, dans le cas de la formule (460), les quantités «, ^^~/ (« + Q — const), dont les tangentes gardent entre elles un rapport fini constant, deviendront à la fois, soit multiples pairs de |, soit multiples impairs de ^, et Tune d'elles ne pourra croître de n sans que l'autre varie aussi de rr.

D'ailleurs, quoique l'on puisse, dans (460), donner à « et à 5 toutes les valeurs de — ooà -*- oo, ces variables resteront comprises, dans chaque

(*) On sait qu'on appelle sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique et colangente hyperbolique d'un arc x les fondions

sin hyp x = — > cos hyp x = — » tg hyp x = ^ ^> cotg hyp x =

mode d'équilibre, enlre des limites restreintes. En effet, la constante R', pour une masse plastique ou pulvérulente quelconque, est toujours moindre que 1, ou égale au sinus d'un angle aigu positif 9, et la première relation (159) montre que 6 devient maximum ou minimum pour les valeurs de a qui rendent cos 2a égal à R' ou sin 9 : le massif ne s'étend dmc jamais des deux côtés d'un rayon r sur lequel on aurait cos 2a = sin 9; il est forcément compris tout entier dans un angle dièdre tel, que cos 2a reste, à son intérieur, constamment plus grand ou constamment plus petit que sin 9 = cos (l — 9). En retranchant de a un multiple de tt, ce qui ne change rien à la direction de la force principale F,, on pourra se contenter de faire varier cet angle a, soit, de part et d'autre de zéro, entre les limites =*=({— |)^ soit, de part et d'autre de ~, entre les limites | d= (^ + |V Dans les deux cas, cos 2a, et ^, ;>, d'après (159) et (163), prendront les mêmes valeurs pour deux valeurs de a équidistantes de la moyenne zéro ou |, en sorte que le mode d'équilibre considéré sera symétrique par rapport au plan médian, mené suivant le troisième axe coordonné Oz et le rayon vecteur sur lequel on aura a = ou = ~. Si la valeur moyenne de a est zéro, ou que cos 2a — R' soit > 0, la pression principale maxima — F^ sera, aux divers points du plan médian, contenue dans ce plan même ou dirigée suivant l'axe de symétrie de l'équilibre, et la matière s'y trouvera contractée dans le sens de cet axe, dilatée ou détendue dans le sens perpendiculaire. Si, au contraire, la valeur moyenne de a est ^ ou que cos 2a — R' soit < 0, c'est la pression principale la plus petite — F, qui, sur l'axe de symétrie ou sur le plan médian, est dirigée suivant cet axe, et la matière est dilatée le long de cet axe de symétrie, contractée dans le sens perpendiculaire. L'accroissement total de e, lorsque a varie, à partir de sa valeur moyenne ou |, jusqu'à la valeur extrême commune j — ^, s'évalue aisément au moyen de (160). Le double de cet angle n'est autre , en valeur absolue , que l'angle dièdre A occupé par le massif quand celui-ci s'étend dans tout l'espace où cos 2a — sin 9 conserve même signe; il a pour expressions, en prenant tous les arcs-tangente ou cotangente entre =f f : 1*"

(1C4, . . .A=-^-,j.-__L^^etg|-^-^,«(---)J

quand lY y a contraction de la matière le long de Vaxe de symétrie de téquilibre, et 2»

lorsqu'il y a, au contraire, détente de la matière le long de l'axe de symétrie.

Considérons actuellement les modes d'équilibre que représentent les formules (461) et (4 62). La tangente de Tangle a ne peut jamais y franchir les limites =f Kj-^^î car les premiers membres de ces formules tendent vers les valeurs ± 1, sans les égaler^ quand « + e croît indéfiniment en valeur absolue. Chacune des formules (464), (462) représente donc au moins un mode distinct d'équilibre, dans lequel a varie, à part un multiple de ti, soit de part et d'autre de zéro, s'il s'agit de (464), soit de part et d'autre de|j s'il s'agit de (462), mais en tout dans un intervalle inférieur à tt, quoique a + Oy reçoivent ainsi toutes les valeurs de — oo à + oo : « devient sensiblement constant quand sa tangente est voisine de =f l/f^> ^û sorte que la solution singulière (459^) est comprise, comme cas limite intermédiaire, dans les solutions (464), (462).

En réalité, étant encore maximum ou minimum, d'après la première (4 59), pour les valeurs ± (î""|)? ^* ? ^ (!'"'" i) ^^ *' c'est-à-dire pour celles qui annulent cos 2a — R', « ne pourra varier au plus dans un même mode d'équilibre qu'entre ± (j-— |) o" ^^^^^ f =^ (i "*" i)* ^^^ nouvelles limites ne coïncident généralement pas avec les précédentes ± arc tg V\^^ 5 =t arctg^/j^, et les formules (464), (462) représenteront en réalité quatre modes d'équilibre. Le plus important à considérer, en vue de ce qui suit, est celui où cos 2a — R' s'annule aux deux limites : quand c est inférieur à siny, ou que arc tg l^j^ est> J — |, c'est le mode qui correspond à (464) et où a = sur le plan médian, en sorte qu'il s'agit alors d'un mode d'équilibre avec contraction le long de l'axe de symétrie de l'équilibre; quand, au contraire, c est > sin 9, ou que arc tg Vr=rc ^st > j + \> c'est dans le cas de la formule (462), avec a = ^ sur le plan médian, que cos 2a — R' s'annule aux deux limites, et alors le mode d'équilibre considéré est produit avec dilatation le long de l'axe. L'accroissement total de ô.

lorsque « varie encore, à partir de sa valeur moyenne ou ^, jusqu^à la valeur extrême commune j — |, se calcule au moyen de (161) et (162). Le double de cet accroissement n'est autre, en valeur absolue, que Tangle dièdre A du massif, supposé remplir toute retendue dans laquelle cos 2a — R' conserve même signe; il a pour expressions respectives : 1**

(166) . ,A=-{-,)-J-;^an„ghyp|-p-^.g(---)J. .

quand c est < sin 9 et qu'iY y a contraction dans le plan bissecteur de l'angle dièdre ou le long de l'axe de symétrie de l'équilibre, 2^

(i67) . . A = (--.,)--i^arccothyp[-^— -4^(--î)J.

lorsque c est > sin y, ou qu'il y a dilatation de la matière le long de taxe de symétrie.

Le seul, parmi tous les modes précédents d'équilibre-limite, pour lequel la force F, reprenne sa direction première quand B croit de 27t, et qui puisse convenir au cas d'un massif entourant complètement le pôle 0, est celui que représente la solution singulière (159*"). D'ailleurs, comme il faut, dans un pareil massif, que p retrouve aussi sa première valeur lorsque 6 croît de 27r, la seconde formule (139), réduite à ^ ~~^* % = — 2 sin 2«, montre, à défaut de l'intégrale (163) devenue de forme indéterminée, que l'on doit même avoir alors sin 2« = 0, c = ± i.La solution double déjà trouvée précédemment et à laquelle répond la formule (1 44) est donc la seule, de toutes celles où a fie dépend pas de r, qui puisse convenir à un massif entourant complètement l'axe Qz. Les autres ne conviennent qu'à des massifs limités latéralement

Équilibre-limite d'un §3. GonsidéroHS cu particulier un massif limité par deux plans rigides,

massif eoroprimé en- ■ * ■ «/ ^

'^defqu*sriôûVni". ^^^^^ suivaut l'axc 0^. Nous supposerons ces plans assez rugueux pour empêcher tout glissement fini des particules contiguës du massif. Si celai-^ci est un corps plastique, ou que R' = sin 9 = 0, ses couches adjacentes aux plans n'éprouveront ni contraction, ni dilatation, et il en sera par suite de même, à cause du principe de la conservation des volumes, des fibres infi-

DES MASSIFS PULVERULENTS. iSi

niment petites qui leur seront perpendiculaires ; mais ces fibres éprouveront les unes par rapport aux autres les glissements maximums^ et elles feront^ comme on sait^ des angles de 45"" avec les dilatations principales di^ c), ou avec les forces principales correspondantes F,, Fj : la condition spéciale aux parois sera donc, soit « = ± ^, soit « = ± ~, c'est-à-dire, en somme, cos2a — R' = 0. Si, au contraire, le massif est pulvérulent, Tangle de frottement extérieur vaudra 9, et la loi énoncée à la fin du n° 25 (p. 57) montre qu'on aura contre chacun des plans rugueux, en valeur absolue, «= soit ^ — ^, soit TT — (i""^)? c'est-à-dire encore la même condition spéciale cos 2a — sin 9 = ou cos 2a — R' = 0,

Les seuls modes d'équilibre, considérés au numéro précédent, qui puissent convenir à un massif compris entre deux plans rugueux, sont donc ceux dans lesquels l'angle appelé ci-dessus A ne diffère pas, en valeur absolue, de l'angle même des deux plans. Et ces modes d'équilibre pourront bien, d'ailleurs, se présenter dans un tel massif, orienté de manière à avoir pour plan bissecteur de son angle le plan sur lequel a égale, suivant les cas, ou|,- car la condition spéciale aux parois s'y trouve identiquement satisfaite pour les deux valeurs extrêmes de 9.

Les cas où A est positif diffèrent, par un caractère important, de ceux où A est négatif. Observons que, lorsque a varie de ou ^ à |— |^ l'expression (134) de T est négative. Par suite, si l'on conçoit, dans le massif, un coin de matière compris entre deux plans menés suivant Oz et également inclinés de part et d'autre du plan médian ou de l'axe de symétrie, l'action tangentielle exercée sur chaque face de ce coin par le reste du massif est dirigée vers l'arête O2:, quand A est positif et que cette action se confond pour la face du coin qui a l'angle 6 le plus grand avec la force T considérée ; elle est, au contraire, dirigée dans le sens du prolongement des rayons r correspondants, quand A est négatif. Dans le premier cas, les couches du massif voisines des plans solides glissent contre ces plans en s'éloignant de l'arête 0^, et on peut dire qu'il y a écoulement divergent sur les deux faces; dans le second cas, les couches superficielles considérées se rapprochent au contraire de 0^, ce que nous exprimerons en disant qu'il y a écoulement convergent sur les deux faces. Ainsi, l'angle dièdre A des deux plans rigides est regardé comme

positif, dans les formules (164) à (167), quand la matière du massif voisine des deux plans solides s'éloigne de leur arête d'intersection, ou quil y a écoulement divergent sur les deux faces; au contraire, l'angle A est supposé négatif, dam les mêmes formules, quand la matière contiguë aux plans solides se rapproche de leur intef^section, ou qu'il y a écoulement convergent sur les deux faces du massif

Lorsque « va de zéro ou ^ à ^— |, (5 croît ou décroît, d'après la première formule (159), suivant que c — cos2a est >0 ou <0; or c — cos2a conserve le même signe, dans tout cet intervalle, et vaut finalement c — siny ou c — R'. Par suite, A est positif quand c est plus grand que sin 9 ou R', négatif quand c est plus petit que R'. La formule (163) montre donc que la pression moyenne p varie, le long d'un înême rayon r émané du sommet, en sens inverse de la distance r quand il y a écoulement dive)*gent sur les deux faces, et dans le même sem que r quand l'écoulement sur les deux faces est convergent. S'il y a contraction le long de Taxe, ou qu'on fasse varier a de à ^—3, l'expression c — cos 2a, variant de c — 1 à c — sin y, grandit ou diminue ainsi, en valeur absolue, suivant que c — sin 9 est > ou < 0; dans les deux cas, p décroît, d'après (163). Le contraire arriverait s'il y avait dilatation le long de l'axe ou qu'on fit varier a de ^ à J-- ^- Ainsi, quand on s'éloigne de l'axe de symétrie ou du plan bissecteur du massif pour se rapprocher des côtés ou des faces, en se tenant à une même distance du sommet, la pression moyenne p croit ou décroit, suivant que l' équilibre-limite est produit avec dilatation ou avec contraction de la matière le long de l'axe.

Cherchons enfin quelles valeurs il faut attribuer à c pour obtenir les modes d'équilibre-limite que comporte un massif dont on donne l'angle A, angle supposé d'ailleurs négatif ou positif suivant que les mouvements sur les deux faces doivent être convergents ou divergents, c'est-à-dire dirigés vers l'arête Qz ou dans le sens contraire.

Nous simplifierons les premières expressions (164), (165) de A en prenant, au lieu de c, un nouveau paramètre s, compris entre =f f , et lié à c par la relation

1 — sin ^ sin s

sin f — sm f

La dérivée ^ vaul ^j^^^^^^; elle est positive : donc e grandit en même temps que c. Quand on fait varier e de — ^ à 9, c croît avec continuité de + 4 à 00 ; quand e va de 9 à |, c grandit de — 00 à — i : ainsi, à chaque valeur de c, comprise entre — 00 et — 1, 1 et 00, il correspond une valeur de e comprise entre =p ^, et une seule. Cela posé, on trouve aisément

COS*ç>

(sin f — sin «)*

siii f — sin 6

sin y — sin f

Les formules (164), (165) deviennent par suite :

(n \ /îT \ COS

. A = l--+-«> — (-H- e] = cos 9