COS

: sjn f

Les formules (169), (169''"), relatives aux modes d'équilibre avec contraction le long de l'axe de symétrie, ne diffèrent d'ailleurs des formules (170), (170^"'), concernant, au contraire, les modes d'équilibre avec dilatation le long de l'axe, que par les changements de 9 en — © et de A en — A.

Il est aisé de voir en quoi les formules (169) et (169*"), (170) et (170'"'), se complètent mutuellement. On sait que le rapport d'un arc à son sinus circulaire, d'abord égal à 1, croit sans cesse, jusqu'à l'infini, quand l'arc grandit de zéro à ::, tandis qu'au contraire le rapport d'un arc à son sinus hyperbolique, d'abord égal à 1, décroît sans cesse, jusqu'à zéro, quand l'arc croît de zéro à 00. Par suite, les deux rapports ^^TT"?^ sni^(T^f^ > quand on y fait varier s' de zéro à l'infini et ^ =f e de à tt, reçoivent à eux deux, une fois et une seule, les différentes valeurs comprises entre et 00.

Les expressions (169), (169^"*) de A, qui représentent les angles dièdres de tous les massifs comportant un mode d'équilibre-limite avec contraction

DES MASSIFS PULVERULENTS. 485

te k>ng de Taxe, ont donc pour valeurs extrêmes — Tj — (f) et oo. Ainsi, tout massif dont l'angle A est supérieur à — (^ — 9) peut présenter un mode dt équilibre-limite, et un seul, avec contraction de la matière le long de son axe, c'est-à-dire dans son plan bissecteur ; et la valeur de c qui correspOïMi à ce mode d'équilibre s'obtiendra en portant dans (168) ou (168'"') la racine unique e ou e' fournie par Tune ou par Fautre des équations (169), (169*").

De môme, les expressions (170), (170*") de A varient de — 00 à | + 9. Donc, tout massif dont l'angle dièdre est inférieur à^ + tp comporte un mode d'équilibre-limite, et un seul, avec dilatation de la matière le long de taxe de symétrie ou dans son plan bissecteur ; et Ton obtient la valeur de c qui correspond à ce mode d'équilibre en portant dans (168) ou (168*") la racine e ou e' tirée de (170) ou (170*").

Les massifs dont Tangle est compris entre les deux limites ^^\ sont les seuls qui puissent, suivant les cas, présenter, tantôt un mode d'équilibrelimite avec contraction le long de l'axe, tantôt un mode d'équilibre-limite avec dilatation le long de l'axe.

Lorsqu'il y a contraction le long de l'axe et qu'en même temps A est positif, la matière située sur le plan bissecteur de l'angle dièdre que remplit le massif se rapproche évidemment de l'arête de cet angle, tandis que celle qui est contiguë aux faces s'éloigne de la même arête. Des mouvements inverses se produisent lorsqu'il y a dilatation le long de l'axe et que A est négatif. Ainsi, ces deux modes d'équilibre-limite répondent aux cas où des pressions inégales déterminent un double écoulement, entre les deux plans rigides supposés p,xes, en refoulant la matière, soit du plan bissecteur vers Tarête et de l'arête vers les faces, soit des faces vers l'arête et de l'arête vers le plan bissecteur. Un tel écoulement est d'ailleurs possible quelle que soit la valeur absolue de l'angle A du massif, conformément au résultat obtenu.

Au contraire, lorsque A est négatif et qu'il y a contraction le long de Taxe, ou lorsque A est positif et qu'il y a dilatation le long de l'axe, les mouvements, de même sens sur les faces que sur le plan médian, sont partout convergents ou partout divergents. C'est ce qui arrive pour un massif comprimé entre deux plans rigides mobiles autour de leur intersection, quand la

156 SUR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTiaiÉ, etc.

force extérieure qui s'oppose à ce que leur angle grandisse est^ ou assez petite pour que le massif^ soumis d'ailleurs à certaines pressions intérieures^ se détende latéralement en écartant les deux plans et se rapproche de Farête^ ou assez grande pour produire Técrasemeut du massif en éloignant sa matière de Tarête. A cause des limites trouvées ci-dessus pour A, la détente dont il s'agit n'est possible^ du moins dans la supposition faite que les pressions principales soient pareillement orientées tout le long d'un même rayon r émané de l'origine, que si l'angle A du massif est inférieur à | — y en valeur absolue; et l'écrasement latéral n'est possible, dans la même supposition, que si la valeur absolue de A est moindre que f + y (*)•

(*) J^avais dëjà résume, dans deux articles des Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris (t. LXXX, 1*' et i5 mars 1875), la plupart de ces résultats, auxquels j'étais parvenu par une voie moins simple.