V/2GH

(a) . . . ( pour H très-peti l) X = (i db V/sin « ç) — /"' (y)' cos* f) .

^'^' ^^ '^ ' cos y

Cette valeur approchée de X change l'équation (/3), spécifiée également pour les points voisins de la surface libre ^ en celle-ci

da cosf^ ^ ' ^' VâGH

d'où Ton déduit par l'intégration, en observant que x = [{y) pour H = 0,

(fi') . . (pour H très-petit) x — f{xf)= (\ zb V/sin^ -/' (t/)« cos*y) V/ —,

cos y '^ U

Les relations {ji) et (/x') signifient, ce qui était presque évident, que les pressions se trouvent distribuées aux environs d'une petite partie quelconque de la surface libre comme elles le seraient partout si le massif était limité supérieurement, dans toute sa longueur, par le plan tangent à la partie considérée, ou si la dérivée seconde de a; en ^ était nulle. En y remplaçant H par AH, leurs premiers membres deviendront les valeurs initiales de A^X , AhO?, valeurs que les formules (x), devenues illusoires à cause de X = 0, ne pouvaient pas donner .^

La méthode indiquée permettra donc d'obtenir de proche en proche, à part des erreurs le plus souvent négligeables, les valeurs de ^, X, et par suite celles des forces N,, N,, T [données par les formules («')], en tous les points du massif indéfini, supposé dans l'état d'équilibre-limite. On pourrait l'étendre au cas d'un massif limité d'un côté par un mur, en prolongeant alors fictivement le profil de la surface libre SS, en avant de la face postérieure du mur, comme si le massif était indéfini, mais en disposant de proche en proche de la forme restée arbitraire de ce prolongement, de manière à

DES iMASSlFS PULVÉRULENTS. 173

satisfaire^ toutes les fois que ce sera possible^ à la condition spéciale à cette face.

La formule (ix) montre combien est inexacte Thypothèse de M. Rankine^ puisque l'expression qu'elle fournit pour X dépend^ non pas seulement de H^ comme il arriverait si elle pouvait être de la forme F (H), mais encore de y (*). Peut-être trouvera-t-on un jour quelque ordre de phénomènes auquel Thypothèse considérée sera plus applicable^ et qui réalisera ainsi cette curieuse analogie d'une distribution de pressions avec le mouvement de la chaleur dans une barre.

{*) M. Rankine a pris F (H) = ^^f y c'est-à-dire la moyenne des valeurs que donne la formule (fi) dans les deux cas opposés d*ua équilibre-limite par détente et d'un équilibre-limite par compression.

174 SLR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ