ÉCLAIRCISSEMENT RELATIF AU N« SI (P

J*ai supposé, dans la démonstration des fornonles (ISi), (1S4*"), que la débouehure se forme au moment où l'expulsion du cylindre central par Torifice exige la même poussée F que la continuation de son écrasement. En effet, on peut admettre : ^^ d'une part, que la pression du poinçon produira inévitablement Fécrasement du cylindre central si la hauteur h de celui-ci est très-grande ou que Torifice soit très-loin de la partie déformée , et qu'elle amènera, au contraire, l'expulsion de ce cylindre par l'orifice si la hauteur h est fort petite; 2** d'autre part, que la poussée F nécessaire pour déformer le bloc varie avec continuité en fonction de h. Par suite, comme la déformation change rapidement de caractère à l'instant où elle cesse d'être un écrasement pour devenir un glissement du cylindre central contre l'anneau qui l'entoure, les deux poussées F nécessaires, l'une pour produire l'écrasement, l'autre pour déterminer l'expulsion de la débouehure, ont bien à ce moment égale valeur.

J'ai admis encore, au même endroit, que la plus grande des forces tangentielles exercées sur les éléments plans se croisant en un même point d'un milieu vaut la demi-différence des deux forces principales extrêmes F^, F5. Pour le démontrer, appelons : a, 6, c les cosinus des angles que la normale à un élément plan quelconque fait avec les trois forces principales F|, Fj, F5; a', b', c' et a", 6", c" les cosinus analogues pour deux droites rectangulaires prises sur l'élément plan. D'après les formules (22) [p. 26], la composante normale STo (appelé Ni dans ces formules) de l'action exercée sur l'élément plan vaudra F^a* -h Fjô* -+ F5C' ; et la composante tangentielle tô de la même force aura pour carré

5« = T| + Tî = (aa'Fi -4- 66T, -♦- ccT,)« h- (aa"F, -h 66'T, -f- cc'%)\

Développons le dernier membre de celle-ci, groupons ensuite les termes semblables, et observons : 1*» que les conditions exprimant la triple perpendicularité de Fj, Fj, F5 don-

DES iMASSIFS PULVÉRULENTS. 173

lient 6V -f- 6V «=» — 6c, etc. ; 2* qu'on a aussi a'^ -h a"^^^^ — o' «== 6* H- c", eic. II viendra finalemeni

(a) 5* = (P,-F,)«6V + (F,-F0Va« + (F.-F,)«aV,

formule donnée par M. Kleitz, inspecleur général des ponts et chaussées , à la page 20 de son Étude sur les forces moléculaires dans les liquides en mouvement. Cette formule est d'ailleurs équivalente à celle-ci

{b) 4E* = (F.-F,)«-4(F.-F0(F,-F,)6«- [(F.-FJfl -2a«)-.(F.-F,) {i -2c«)]S

eomme on le reconnaît en remplaçant dans Tune et dans l'autre F| — F, par (F| — F,)-f-(Fj — F5) et réduisant. Or l'expression (6) de i& a son premier terme (Fi — Fj)' constant, et les deux autres essentiellement négatifs, vu que F| — Fj et F3 — F3 sont de même signe. Le maximum de G' s'obtiendra donc en égalant ces deux derniers termes à zéro. A cet effet, il faudra poser d'abord 6 ==» et, par suite, flS -H c* = 1 : alors, le dernier terme de (6), si l'on y remplace i par a^ -h c^, se réduit à — (F| — F5)* (c* — a')', et il n'est nul que si l'on prend à^=^c^=^ y Ainsi, la force tangentielle Ç devient maximum pour les éléments plans dont la normale est bissectrice de Vangle des deux forces principales extrêmes Fi, F5, et elle vaut alors î (Fj — F3).