pi dx, T'^* -j— rfx, pour la première dx

du 1 dv\ dw

-j-dyj (i-h — Irfy, T'^y pour la deuxième dy,

du dv I du)\

-r-dzy v rf^ 1 M -♦- -r- M« > pour la troisième rfz.

dz dz \ dzj

Par suite^ les dilatations de ces lignes^ excès ^ sur Tunité^ des rapports de leurs longueurs actuelles à leurs longueurs primitives^ vaudront sensiblement

,.„, du dv dw

^''^ '■=di' ^' = d^' ^' = 57'

et les cosinus des angles qu'elles feront deux à deux seront^ au même degré d'approximation^

, , dv dw dw du du dv

^''^ '"-Tz^d^' ^"-Tx^l^' ^--Ty-^Tx

Formuiei pour les jQ. D'aiUcurs. Ics formulcs connues de la transformation des coordon-

transiormations de ^

«..rdoDoi..: jj^gg donnent :

1* Tranirormation def dilaUtiont et des

fiiuemenu; x = ax' ^ by' ^ cz\ y = a'x' -^ t'y' -+. c'z\ z = a'x -^ 6'y -♦- c"z';

dx dx' dy dz dy dx' dy dz dz dx dy' dz

u=au' -^ bv' -^ cw\ » = a'u' -*- b'v' -t- cW, w=^a"n' -+- 6'V -+- c'V.

On en déduit immédiatement les relations suivantes :

du ^dn' .dv' dtt?' , [dv' dw'\ Idw' du'\ [du' dv'\

dx dx' dy' dz' \dz' dy' I \dx' dz' I \dy' dx'l

^ . '\dx' dz'l ^ ' \dy' dx'l '

dv dw du dw du dv

dy dx dz dz dy dx

Or, par hypothèse, les axes des x\y\ z^ sont parallèles aux ti'ois directions 'principales, pour lesquelles, au point particulier (a;, y, 2), les glissements

dv' , dv)* dw' . du' du' . dv' ^ i - j» i J*i * -•

OU cosinus 5-/ + ^o5ir + 5p^j-; + ^ sont nuls, tandis que les dilatations £;>j",j£7ont été appelées (),, ()j, ()3. Les formules précédentes deviennent donc simplement :

^ ^ * |y^,=2(a'a"c\+6'6";).-*-cV\\), 5f„=2{a"aD4-+.6"6;>,-+-c"cD3), (/^=2(aa'D,-*-6//D,-t-cc'c\).

Plusieurs conséquences utiles résultent de ces formules. Et d'abord, si Ton ajoute les trois expressions de ()x, ^y, c),, il vient, à cause des relations connues qui existent entre les cosinus a, a', a", ..., la formule

(18) D, -H DyH- D, = 3, H- D, H- :)5= par suiteo.

Si, en outre, on retranche, par exemple, â, de ciy et que, dans le résultat, on remplace a'*, a"* par 1 — 6'* — c'*, 1 — 6"* — c"% on trouve

, . , on aurait de môme

Enfin, en éliminant, au moyen de la relation

oV -♦- 6'6"-*-cV' = 0,

a' a" de l'expression (17) de gy^, il vient

) on aurait de même (20) (

1 flf„ = 2a"a (;), - D,) - 2c"c (D, — D,) , [ flf„ = 266' (c\ - D,) - 2aa' (D, — D,).

il. D'autre part, des relations bien connues, qu'on déduit de la con- soTransrorm»iion

, (les force» élastiques.

sidération de 1 équilibre dynamique du tétraèdre élémentaire de Gauchy, fournissent les formules nécessaires pour la transformation des pressions N, T.

Si PxyPyy Pz désignent les composantes^ suivant les trois axes rectangulaires des Xy yy z, de la pression exercée sur Funité d'aire de Félément plan quelconque dont la normale fait avec ces axes les angles «, /3, y, ces relations sont :

p, = N, co? a -4- Tj cos p H- Ti cos r»

(21 ) j p, = Tj cos a H- N, cos p -♦- T4 cos r,

' p, = Tj cos a -t- T, cos p -f- Nj cos y.

Appliquées en prenant les composantes, PxyPy'yPz', suivant le système particulier d'axes, des x\y\z'y pour lequel les forces normales N deviennent F, , Fg, F3, tandis que les forces tangentielles T sont nulles, ces formules se réduisent à

(21 "") p,, = F, cos a', py. = F, cos p', p., = Fj cos r\

où j'appelle a', /3', y' les angles faits avec ces axes par la normale à l'élément plan considéré.

On aura les composantes, toujours suivant les axes des or', y', z\ des pressions exercées sur les éléments plans normaux aux axes des or, y, 2?, en faisant successivement, dans (21*"'') :

cos

a':=a, =0', =a"; cos p' = 6, =6', =6"; cx)sr' = c, =c', =c".

Les projections N,, T,, T,; T,, N^, T, ; Tj, T,, N3, suivant les a?, y, ^, des mêmes pressions, s'obtiendront ensuite en faisant la somme de ces composantes, respectivement multipliées par a^b^Cj ou par a', b\&y ou par a", 6", c''. Il vient ainsi :

lN, = a*F, +6'F, -t-c^F,, N, = o'*F, -4-6'«F, h-c'*F„ N, = a"*F,H-6"*F,-*-c"*F,; (^2) (T.^aVF, + 6'6"F,-4-cV'F5, T, = a"aF, -♦- 6"6F, -4- c"cF„ T5 = aaT, -*- 66'F, -♦- cc'F,.

Ces formules sont pareilles à (17), et l'on en tirera de même des relations analoguesà(18), (19), (20):

N| -4- N, -♦- Na = Fi -4- F, -4- Fs = pnr suile — 3p ; (23) \ N,~N, = (c'»-0(F3-F,)-(6'«-n(F,-F,), N,-N,= ..m N,-N,= ...; T,«cV'(F.-F.)-6'6'\F.-F,), T.^-, T,

DES MASSIFS PULVERULENTS. 27

1 2. II suffit de comparer respectivement les expressions C23) de N* — N» FormuicMie. force*

r r r \ / * ^ élastiques, pour les

et de T„ à celles (19) de à^ — d, et (20) de ffy,, en tenant compte de Péga- ;:5ilîes mil^X; llté continue (14)> pour voir que Ton a

1 ' /x (si le corps est solide),

9^2 1 mj[> (s'il est pulvérulent);

vérulents.

les rapports

égaleront de même ^ ou 7np.

De là résultent immédiatement les valeurs cherchées de T,, T^, T3, ainsi que celles des différences Nj — N3, N3 — Nj, N, — N^. Quant aux expressions même de N,, N,, N3, des identités dont la première est

N. = 1 (N, -4- N, -h N3) - l^N, - N,) -4- 1 (N, - N,) o où

les donnent ensuite^ si Ton observe que, d'après une relation (23), la force normale moyenne ^(N, + Nj + N,) est égale à la moyenne arithmétique — p des trois pressions principales et a pour valeur, dans le cas d'un solide isotrope (voir form. 5), A + (A + j/x) ô. En tenant compte de (18), on trouve ainsi, dans ce cas, les formules bien connues :

(24). . . j T, = ^s,„ T, = f*j„, T, = iig,, ,

\ où , d'après (18), e = D^ -f- \ -+- .\.

Si, au contraire, le corps est pulvérulent, cas dans lequel nous avons vu que la dilatation cubique 9 peut être négligée, il vient

!Ni = — P (1 - 2wD,) , N, = — p (i — 2mDy), N, = — p (4 — 2mD,) , avec la condition 9 ou D, -h D, -♦- D, = 0.

On pourra, dans l'un et dans l'autre cas, substituer aux six déformations (^x) <iy> ^zy 9yzy 9xx> 9xy l^urs cxprcssIons approchées (15) et (16) en fonction des dérivées partielles des déplacements u,v,w par rapport aux coordonnées primitives x^y^z.