III

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE l'ÉQUILIBRE d'ÉLASTICITÉ DES MASSIFS PULVÉRULENTS.

considnaiions préiî- ] 3. Je m'occuporai principalement, dans la suite de cette étude, de Téquilibre de massifs pesants, tels qu'un monceau de sable, formés de très-petils grains solides juxtaposés sans cohésion, mais se comprimant mutuellement. On pourra faire abstraction de la pression atmosphérique, appliquée normalement à tout élément plan pris au sein d'un pareil massif; car cette pression, qui existe en tous sens à Fintérieur et tout autour des divers grains, avant inême qu'on les rapproche, et aussi dans l'air interposé, n'a aucun effet pour les maintenir serrés les uns contre les autres et par suite ne modifie nullement les deux pressions supplémentaires, normale et tangentielle, que le contact des grains produit généralement sur l'unité d'aire de l'élément plan. Ces pressions supplémentaires seront les seules que nous aurons à considérer, celles auxquelles nous appliquerons les formules établies ci -dessus et notamment les relations générales (21).

Nous supposerons d'abord le massif sans pesanteur, libre, en chaque point, de toute pression, et nous prendrons pour coordonnées primitives a?, y, z de ses diverses particules, par rapport à un système d'axes rectangulaires fixes, les coordonnées qu'elles auraient dans cet état de repos, dit état naturel; puis nous concevrons qu'il devienne pesant, et nous nous proposerons de déterminer les petits déplacements w , î;, ti; qu'auront éprouvés ses diverses parties quand un nouvel équilibre, que nous supposerons d'abord possible dans ces conditions, se sera établi.

Si les limites d'élasticité du massif ne sont pas dépassées, comme nous l'admettrons, les formules (2S), spéciales aux corps pulvérulents, devront s'y appliquer; car les hypothèses, faites pour les établir, d'une égale constitution en tout sens et d'une rigidilé nulle ou finie suivant que la pression

moyenne Test elle-même^ conviennent précisément aux masses dont il s'agit. L'expérience montre que les actions tangentielles T sont généralement de l'ordre de grandeur des actions normales N, ou de la pression moyenne p; d'où il suit que le coefficient numérique et positif m est assez grand pour que ses produits par les petites déformations (), g aient des valeurs comparables à l'unité. Nous supposerons d'ailleurs m constant, ce qui revient à admettre l'homogénéité du massif, c'esl-à-dire la parité de composition de toutes ses parties d'étendue notable.

14. Cherchons d'abord les équations indéfinies de l'équilibre. Tous les Équations indécnic*

* 'de ré()uilibre. — Cas

termes que contiennent les expressions (25) des forces N, T ont linéairement ^es déformations pu-

en facteur les petites déformations à , 5^, à l'exception du terme — /?, qui

parait dans Ni , N^, N,, mais qui est seulement comparable aux autres, comme

il vient d'être dit. On peut donc, en comparaison des dérivées en a?, y, z

des forces N, T, négliger les produits de ces dérivées par celles des petits

déplacements u, v, tv et réduire par suite, ainsi qu'on le fait d'ordinaire

dans la théorie de l'élasticité des corps solides, les conditions qui expriment

l'équilibre de translation d'un élément de volume rectangulaire aux formules

connues

OÙ p désigne la densité du massif, c'est-à-dire sa masse sous l'unité de volume apparent, et X, Y, Z les composantes de la gravité g suivant les trois axes des XyffyZ (*).

Je me bornerai à l'étude de déformations parallèles à un plan vertical, choisi pour celui des xy^ et dans lesquelles le déplacement w sera nul, tandis

(*) On peut voir, au § 1 de la Théorie des ondes liquides périodiques (Recueil des savants ÉTRANGERS DE l'Académie DES SCIENCES DE Paris, t. XX, 1872), les formulcs plus générales quMl faudrait substituer à ces équations (20) , si les dérivées des forces N, T en x, y, z contenaient des termes d'une grandeur notable indépendants des petites déformations d, g, comme il arrive précisément quand il s'agît d'ondes liquides.

que les déplacements ti^ v ne dépendront que de x et de y. Les relations (15), (16), (25) seront réduites par ces hypothèses à celles-ci :

du dv du dv

''^di' '^=^Ty' ^-^^d^-^Tx' ., = 0, ^,, = 0, ff„ = 0;

(27) ( N,= -p(4~2mD,), N, = -p(4 -2mD,), ^^ = -p; T| = 0, T, = 0, T5 = pm(/,,;

On voit que la traction appliquée aux éléments superiiciels parallèles au plan des xy, traction quî a les composantes T^, T,, N3 suivant les axes respectifs des Xy y, z^ est normale à ces éléments plans et égale à — /? : en d'aulres termes, il sexeixe en chaque point, sur télément superficiel par allèle aux plans des déformations , une simple pression normale égale à la pression moyenne produite en ce point.

Si a et ^ — a désignent les angles que la pesanteur fait avec les deux axes des y et des a?, on a X = ^r sin «, Y = ^r cos«, Z = 0, et les deux premières équations (26) deviennent

^ , rfN, dl d\ rfiN,

(Î28) .... — h-; l-pflfSina = 0, H— hpf/COSa=0,

^ ' dx dy ^^ dx dy '^^

dans lesquelles j^ai pu écrire simplement, comme je ferai désormais, T pourTs, vu qu'il n'y a plus lieu de s'occuper de T, ni de T^. Quant à la troisième (26), elle se réduit à

rfNs dp

i = 0, ou -:f=o, dz dz

et signifie, ce qui était évident, que la pression moyenne p ne dépend, comme u et v, que de x et de y.

En général, on substituera dans (28), à N,, N^, T, leurs expressions (27), de manière à ne laisser subsister pour inconnues que u^v^p. Mais on peut avoir quelquefois besoin de déterminer directement les forces N,, N^, T, sans

DES MASSIFS PULVERULEINTS. 31

s'occuper des déplacements Uy v. Alors une troisième équation en N|, N^^ T devient nécessaire. Elle se tire de Fidentité

cP /du dv\ d^ dv cP du d^g,y (PD, (PD,

dxdy \dy dxl "~ dx* dy dy* rfar' dxdy dx* dy* '

en y portant les valeurs

^" ^mp' ' 2m\p. "^ / 2m \ ^p 1 ^' 2m \ 2p /

que trois des relations (27) fournissent pour les déformations y^.^ , à^, ()^ : il vient

15. Nous aurons ultérieurement besoin de connaître la force élastique Prenions, diutationsi

et glissements, paral-

exercée sur l'élément plan, parallèle à laxe des z, dont la normale fera, J^lft*. ■„"/'" ^'••**^^**'' avec ceux des x et des y, deux angles donnés (S et | — /3. Les formules

(*) Quand le corps, supposé toujours homogène et isotrope, est solide et non pulvérulent, trois des formules (24) donnent, en y faisant D, = 0, 6 = D, -♦- D,,

L*équation (28"') doit donc être alors remplacée par celle-ci

Si cr désigne une fonction inconnue, qui restera seule à déterminer, les deux équations (28) reviennent k poser, comme on le reconnaît aisément,

et la formule (28**') prend la forme

en représentant par A| l'expression symbolique j^r -^ ^-

générales (21), dans lesquelles il faudra ainsi remplacer cos «, cos /3, cos y par cos /3, sin /3, 0, et poser d'ailleurs T, = 0, T^ = 0, donneront, pour composantes respectives de cette pression suivant les a?, suivant les y et suivant les Zy

(29). . . . p, = NiCO-î^-f-Tsinp, p, = T cos p -i- N, sin (3 , p, = 0.

Mais il est préférable d'avoir ses deux composantes , normale^ ^^ et tangenlielley G (suivant la direction qui fait avec les x positifs l'angle /3 + ^) : on les obtiendra en ajoutant les composantes (29), après les avoir respectivement multipliées par les cosinus des angles que fait avec les x^y^zh direction sur laquelle on les projette, savoir, pour ?%, par cos /3, sin iS, 0, et, pour 5, par cos (/3 + I), sin (jS + I), 0, ou par — sin /3, cos /3, 0. Il vient ainsi , après avoir remplacé cos* /3, sin* /3, cos /3 sin /3 par ^(1 + cos 2 /3), ^(1 — cos 2 /3), i sin 2/3, et avoir observé que N, + N9 = — 2/? :

(30). . eïli) = — p ^— -^ cos 2p -+- T sin 2p, G = -i- — î sin 2(3 -+- T cos 2|3.

J'appellerai /3o Tangle auxiliaire, compris entre zéro et n, que déGnissent les relations

(31) I '''"2?,= --, cos2p,= — ^ .

OU

-Wr^i^J;

en remplaçant alors T et ^ (N, — N.) par ^ R sin 2/3o et par R cos 2/3o, les formules (30) deviendront simplement

(52) <Dfï> = — p — Rcos2(p — |3o), G = Rsin2(p-|3o).

On peut d'ailleurs, dans les formules (34), substituer à N,, N^, T leurs valeurs (27); ce qui donne

sin 2po = — . cos 2po = ^

(33). . . ±\/^;^^ (5^ -;),)« ±v/fif;,-^(.\-D,)»

R=«±mpl/()f«^4.(D,-D,)S

où il faudra prendre soit les signes supérieurs, soit les signes inférieurs, suivant que la pression moyenne p sera positive ou négative.

Il nous sera encore utile de connaître, en fonction de ^^y^yy 9xyy 1° la dilatation (i^, de la ligne matérielle, parallèle au plan des xy^ qui faisait primitivement avec les axes des x. y^ z les angles respectifs /3, | — /3, 0, 2° la dilatation ()j,., de la ligne, primitivement normale à celle-là et également parallèle aux xy^ qui faisait avec Taxe des x l'angle ^-\-^y elS*' enfin le petit cosinus //^y, de l'angle que font, après les déformations, ces deux lignes matérielles. Il suffit pour cela d'observer que les expressions (27) de N,, Tg, applicables à tous les systèmes d'axes rectangulaires pris dans le plan des xy et notamment à ceux qui auraient été primitivement parallèles à ces lignes, donnent

De la comparaison de ces valeurs de cDTo, G à (32), et vu la valeur (33) de R, il résulte :

\ 9^v = — •'^J" 2 (p - Po) = ± l^ffl"^ (\ -'^7r sin 2 (p - - fo). \ mp

D'un autre côté, la dernière formule (27), également applicable à tous les systèmes d'axes rectangulaires pris dans le plan des xy^ donne

Les trois pressions principales F,, F^, Fg s'obtiennent aisément au moyen des relations (27) et (32). Et d'abord, l'une d'elles, parallèle à l'axe des z par raison de symétrie, est N3 ou — p. Les deux autres, évidemment exercées sur deux éléments plans parallèles au môme axe des z^ sont les deux valeurs de 3Xd qui correspondent à des valeurs de 5 nulles, c'est-à-dire à sin 2 (jS — /3o) = 0, cos 2 (i3 — /3o) = q= 1 ; elles valent — p + R et — p — R, En rangeant ces trois pressions par ordre de grandeur décroissante, il vient ainsi

(Si*") F| = --p + R, F,==-p, F, p-R.

Les trois dilatations principales correspondantes sont par suite

Remarquons enfin que les deux forces principales F^, Fj font, avec la droite dont (3^ désigne Tinclinaison sur Taxe des a?, deux angles /3 — (Sq tels, que cos 2 (/3 — /3o) = — 1 pour F^, cos 2 (/3 — ^j^) = + 1 pour F5; ces angles valent donc, à part un nombre entier de demi-circonférences, ^ pour F, et zéro pour F3. Ainsi, la plus petite, F3, des forces élastiques principales coïncide avec la direction qui fait avec les x positifs l'angle (3q.

condiiions spéciales 16. Si Ics pctîts déplaccments w, Vy w et la pression moyenne p varient

aux surfaces- limites. . . , ,, . * n i n/ i i .j. /

avec contmuite d un pomt à 1 autre dans toute retendue du massif (comme je l'admettrai), il n'y aura pas, à son intérieur, d'autres équations d'équilibre à vérifier que la condition d'incompressibilité

du dv dw dx dy dz

et les trois équations indéfinies (26), dans lesquelles on suppose les forces N, T remplacées par leurs expressions en fonction de w, v, w, p. Mais il existera des conditions spéciales, relatives, les unes aux surfaces libres où le massif pulvérulent n'est en rapport qu'avec l'atmosphère , les autres aux surfaces-parois, qui seront constituées soit par un sol solide, soit par les faces postérieures des murs de soutènement.

Aux surfaces libres, il faudra exprimer que la pression exercée par le massif sur sa couche superficielle a ses trois composantes, suivant les axes, égales et contraires à celles de la pression exercée du dehors sur la même couche, pression nulle puisqu'on fait abstraction de l'atmosphère. La troisième de ces conditions est vérifiée identiquement dans le cas, auquel nous nous bornons, de déformations planes : en effet, au point de la surface libre où la normale à celte surface, menée vers l'intérieur, fera avec les axes des X, y, z les angles respectifs y, | — y, 0, les formules (29), dans lesquelles

DES MASSIFS PULVÉRULEi>TS. 35

il suffira de remplacer /3 par y et de poser p^ = 0, jo^ = 0, /?, = 0, donneront simplement

(35) . . N, cos r -*- T sin r == 0, T cos r ^ N, sin y == (à la surface libre).

Aux parois, il y aura également trois conditions spéciales. La première s'obtiendra en exprimant que les points du massif adjacents à une paroi ne la quittent pas, ou que leurs coordonnées ar + w,y-|- v, ;3r + t«; vérifient constamment l'équation de la surface. Les deux autres varieront avec le degré de rugosité de la paroi. Je ne considérerai que les deux cas extrêmes où ce degré sera, soit suffisant pour empêcher tout glissement fini de la couche adjacente du massif, soit au contraire nul, c'est-à-dire tel, que la paroi n'exerce aucun frottement ou aucune action tangentielle sensible. Afin de traiter en premier lieu les problèmes les plus simples, je supposerai même d'abord que le massif, après avoir été posé sur le sol qui le porte et contre les murs qui le soutiennent, se soit trouvé un instant à l'état naturel avant de devenir pesant comme il l'est en effet, et j'admettrai en outre Timmobilité absolue des murs de soutènement.

Dans le cas d'une paroi rugueuse, les deux composantes du déplacement suivant deux directions rectangulaires prises tangentiellement à la paroi seront égales à zéro, aussi bien que sa composante normale à celle-ci, et l'on y aura en définitive w = 0, t^ = 0, w; = 0. Dans le cas contraire d'une paroi polie, il faudra annuler les deux composantes, suivant ces directions reclangulaires tangentielles à la surface, de l'action que le massif exerce sur sa couche superficielle. Bornons-nous toujours à l'étude de déformations planes et appelons encore y, | — y, 0, les angles que la normale menée, vers l'intérieur du massif, à un élément de sa surface, fait avec les axes respectifs des Xy y, z. Les formules (32), si l'on y remplace /3 par y, donneront pour les deux composantes, normale — Sf^ et tangentielle S, de la poussée exercée par le massif sur l'unité d'aire de sa couche superficielle (ou par suite de la paroi adjacente)

(36) — eyii = p-+-Rcos2(r — po), S = R sin 2 (r — po),

OÙ R et jSo auront les valeurs définies par les relations (33). Le radical R

36 SUR L'EQUILIBRE D'ELASTICITE

étant essentiellement positif ^ on annulera généralement ^ ^ si la paroi est infiniment polie, en posant sin 2 (y — /5o)=0 : dans le même cas, la composante ucosy 4- i^siny, normale à la paroi, du déplacement de la couche superficielle, devra être nulle. Les conditions cherchées seront donc :

I t/ = 0, t; = (conlre une paroi rugueuse),

( « cos y H- v sin y = , sin 2 (r — po) = 0, (contre une paroi polie).

Il ne faut pas oublier que ces conditions aux parois, les plus simples qu'on puisse imaginer, ne concernent que le cas hypothétique où Tétat naturel, dans lequel on a partout ti = 0, (;= 0, w; = 0, aurait existé antérieurement au mode d'équilibre étudié : en d'autres termes , elles ne s'appliquent qu'autant que la masse pulvérulente est supposée d'abord libre de toute pression et sans pesanteur, puis déformée, sous l'action de son poids effectif, sans que la couche adjacente à une paroi éprouve de déplacement dans le sens normal, si celle-ci est polie, ni même dans aucun sens si elle est rugueuse. Or ces circonstances ne se réalisent pas dans la pratique. Les murs que l'on construit effectivement ont sans doute leurs faces postérieures plus rugueuses qu'il ne faut "pour empêcher le glissement des particules terreuses adjacentes : mais celles-ci s'y trouvent immobilisées dans d'autres positions que celles d'état naturel, et les conditions cherchées s'obtiennent en égalant leurs déplacements w, Vy iv à des fonctions de x, y, z qu'il faut supposer données dans chaque cas pour que le problème de l'équilibre soit déterminé, mais qui seront en réalité inconnues. De même, près d'une paroi polie, la composante totale des déplacements suivant la normale à la paroi sera généralement une fonction déterminée dans chaque cas, quoique inconnue, de x, y^z^ et ne s'annulera qu'exceptionnellement.

Avec les données dont dispose l'ingénieur, l'équilibre qui se produit dans un massif, au moment même ou on le forme en déchargeant successivement

de la terre sur le sol ou contre un mur de soutènement, ne paraît donc pas

susceptible d'une détermination précise, et il doit être fort complexe ou affecté d'un grand nombre d'anomalies locales (*). Mais ce qu'il importe de

(*) La même difficulté se présenterait si le massif était solide et élastique au lieu d*élre dénué de cohésion : elle ne tient qu'à noire ignorance des conditions réelles dans lesquelles se trouve

connaître^ c'est le mode d'équilibre définitif qui subsistera, lorsque les petits ébranlements que tout massif éprouve presque à chaque instant auront fait disparaître les irrégularités et amené un tassement complet, ou groupé tous les grains sablonneux de la manière en quelque sorte la moins forcée. Un tel mode d'équilibre, par le fait même qu'il s'établit de préférence à tout autre, doit être, de tous les modes compatibles avec les circonstances ^ celui qui assure le mieux la stabilité intérieure du massif en l'écartant le moins possible de l'état naturel On verra, au § VIII, comment cette condition de stabilité peut tenir lieu de la connaissance des relations spéciales aux parois.