IV
LEUR INTÉGRAÏION, QUAND LE MASSIF EST LIMITÉ SUPÉRIEUREMENT PAR UN PLAN ET INDÉFINI DANS LES AUTRES SENS.
17. Considérons d'abord un massif limité supérieurement par un plan et Première imégraiion. indéfini dans les autres sens, ou, ce qui revient au même ici, compris latéralement entre deux murs infiniment polis perpendiculaires à une horizontale du talus supérieur. Les déplacement» se feront, par raison de symétrie^ dans des plans normaux à cette horizontale et de la même manière dans tous : si donc on prend un de ces plans verticaux pour celui des xy, les formules précédemment établies pour le cas de déformations planes pourront être employées.
Soient : OÂ (fig. 1) une ligne de plus grande pente de la surface libre ou du talus supérieur dans l'état primitif du massif, OG une verticale dirigée en bas. Je prendrai pour axe des x la bissectrice de l'angle GO A, pour axe
la couche adjacente à là paroi, nullement à la théorie même de Téquilibre d'élasticité des massifs pulvérulents.
des y une perpendiculaire à Oxy menée de manière que; l'angle GOy soit aigu. Si Ton appelle &> Tinclinaison primitive du talus sur Thorizon (inclinaison variable au plus de — ^ à ^), la quantité a qui, dans les formules (28), n** (14), désigne l'angle fait par la verticale avec Taxe des y, vaudra évidemment^ -2, ^* ^" ^^^^ ^^^^ ^ '^ f<^*s
GOA = H w , a ou GOw = ■ -'
Le massif étant indéfini parallèlement à OA, toutes les particules de ma- (Fig. I. tière situées à une même distance de la surface
se trouvent exactement dans les mêmes conditions. En d'autres termes, les quantités Nj, N^, T, et par suite /?, c)^., ()y, g^^yy ne sont fonction, en chaque point, que de la distance primitive / du point considéré à la surface. La perpendiculaire /, menée à OA jusqu'à la rencontre d'un point quelconque (a?, y) du massif, fait d'ailleurs avec les axes des x et des y les angles respectifs a, ^ — a et l'on a
1 = X cos a -t- y sin a.
Par suite, les dérivées en a? et en y de toute fonction de / s'obtiendront, au moyen de ses dérivées en /, par les formules symboliques
et les équations indéfinies (28) pourront s'écrire
(41). . y [N,cosa-+- (ÏH- pgf/)sina] = 0, — [(T -+- pgf/) cos a -+- N, siii a] = 0.
La normale à la surface libre OA faisant d'ailleurs avec l'axe des x l'angle «,
DES MASSIFS PULVERULENTS 39
les conditions spéciales (35)^ où il faudra remplacer y par a^ et qui devront être vérifiées à cette surface, reviendront à dire que les expressions
N, cos a -h (T -4- pgf/) sin a, (T -4- pjf/) cos a -f- N, sin a
s'annulent pour / = 0. Ces expiassions, d'après (41), seront donc nulles partout, et Ton aura
(42) . . . N, cos a -+- (T -^ pgfO sin a = , (T •+- pgf/) cos a m- N, sin a = 0.
En ajoutant les deux équations fondamentales (42), après les avoir multipliées respectivement, soit par cosa, — sin «, soit par sin «, cos «, et en substituant dans les résultats, à cos* «, sin^a, cos « sin «, ^ (N, + Nj), leurs
valeurs
-(4 -f-cos2a), -{1— cos2a), -slnSa, — p,
ou encore, d'après (38)
-(l-4-sin«), -(i—sin»), -cos», ~ p, -
on trouve qu'elles reviennent aux deux suivantes \
(43) -(Ni — N,)— psin»=0, T -t-pjf/ — pcos w = 0.
18. Remplaçons N, et N^, dans la première équation (43), par leurs Deuxième intégration. valeurs (27), dans lesquelles les deux dilatations c)^, c)^ sont égales et de signes contraires. Gomme la pression moyenne p n'est évidemment pas nulle à l'intérieur du massif, il viendra
c'est-à-dire
sm fi) m
^, , du sin 6> f/u sin to
(44) c\ ou -—=■—- — , \ ou ---=:
(!x 2m * dy 2wi
Ces équations (44)^ intégrées en introtluisant deux fonctions arbitraires ^ et ipy donnent
On en déduit
Or la déformation ^^^ ne doit dépendre que de la dislance / du point considéré à la surface libre, comme il a été dit, et les formules symboliques (40), qui lui sont par conséquent applicables, montrent que ses deux dérivées en X et en y doivent être entre elles comme cos « est à sin a. Il vient donc
(47) fl^^Ljy}.
cos a sin a
et les deux rapports (47), indépendants, le premier de y, le second de a?, ne peuvent que se réduire à une même constante 2c. Deux intégrations
successives donnent par suite, en introduisant quatre constantes arbitraires
pt pff pi pff
V (y) = et/* sin a -4- (c' -4- c") y -\' c\y ^{x) = coc* cos a -^ {& — c") X -+- c'i.
Les expressions (45) de u, v deviennent ainsi
i sin«
l w = [ X -f- cy sin a H- (c -H c )y -+■ CiJ,
f V = -^ — I — y -*- ex* cos a -f- (c — c ) X -♦- c, J,
et celles, (44)^ (46), (27), de d^, — ()y , ^^y, N, , N^, T, sont à leur tour :
sm a sin »
(49) . . { ' ' "âwT' ^•''"""iw
D,=a — i\ = -- — » 3f.y = (r -t- cf),
2w ni
Ni = — p (4 — sin «) , N, = — p (1 -H sin «), T = p (c' -*- cl) sin w.
Quant à la pression moyenne />^ elle résulte de la seconde équation (43)^ dans laquelle on remplacera T par sa valeur (i9). La résolution de cette équation par rapport à p donne ensuite
cos « — (c' -♦- cl) sin «
19. Des cinq constantes arbitraires c. c\ &'. c[, &J, les deux premières Traniforméi» d'ane
^ ^ ^ ^ 1^ 1^ r famille da droites mi-
seules^ €, &y entrent dans les expressions des déformations c), g éprouvées «^•"••p«raiièiei. par le massif. Les trois autres ne correspondent en effet qu^à un petit mouvement d'ensemble, savoir, c" à une petite rotation du massif autour de Torigine 0, et c(, c(' à deux translations parallèles aux axes; or ce mouvement d'ensemble reste indéterminé tant que le massif est supposé indéfini et qu'on fait par suite abstraction de ses relations avec les corps fixes qui le touchent à des distances plus ou moins grandes de l'origine des coordonnées.
On peut donc supposer c" = 0, c{ = 0, cj' — 0, quand il ne s'agit que d'étudier la forme prise par une ligne matérielle quelconque dont l'équation était f {xy y) ^ avant les déplacements. Si a?', y^ désignent, dans le nouvel état d'équilibre, les coordonnées du point matériel qui était primitivement en (a?, y), on aura, d'après (48),
i xasx' — t<= sensiblement x' ( x' -*- cy'*8ina -4-c'y'),
\ y=' y' — ^ = sensiblement y' ( — y' -4- fx'*cos a -♦- cV),
et la transformée de la courbe f {xy y) ^ sera
(52) /•rx'--^(x'^-c/*8ina^-cy), y-?^(-.y'-4.cx'«cosa-hc'x')]«0.
Toute famille de droites parallèles
(35) xcos A -f- y sin A «=ik,
où A désigne rinclinaison constante de leurs normales sur Taxe des a; ^ et A: ^ paramètre variable d'une droite à l'autre, leur distance à l'origine, se transforme en une famille de coniques ayant pour équation
r sin«\ c sin« 1 r/ sinw\ csinw 1
^ r" :: — cos A sin A -t- w M -+- -^ — sin A cos A
csin »
(y'^ sin a cos A -i- x'* cos a sin A) = ii;,
OU bien
cos a sin A
