I -; 1 I COS A — c Sin A

Vsin &} /

2c cos X sin A I cos A — c' sin A

-sin a cos A

(-: h i sin A — c cosA

\sina /

-: 1 I cos A — c sin A -: 1- 1 si

\sinca / J I xsina /

I sin A — c vos A

2c sin a cos A 2m^

4c* cos a sin A

4c' sin a cos A

c sin »

Ces coniques sont semblables, concentriques, et ont leurs axes parallèles à ceux des x et des y, c'est-à-dire aux deux bissectrices des quatre angles formés par une verticale et par le profil du talus supérieur. Elles se réduisent à des cercles lorsque les droites proposées sont parallèles à la surface libre du massif, ou que A = «, et à des droites parallèles, d'après (S4), dans le cas où la constante c est nulle.

Ce dernier résultat aurait pu être directement déduit des valeurs (49) de c)^, — dy, Qj^yy qui deviennent constantes quand c= : les éléments plans matériels, primitivement rectangulaires, que découpent dans le plan des xy une double infinité de droites parallèles aux axes coordonnés et équidistantes, sont donc changés, par les déformations produites, en parallélogrammes tous égaux , et des points du réseau ainsi formé qui se trouvaient initialement alignés le long de deux droites parallèles ne cesseront pas de se trouver disposés en deux files rectilignes ayant toutes les deux la même orientation.

Forces éUtliquet

SéSraluon/diîtl" '^^* Cherchons les deux composantes, normale — 3X& et tangentielle G, iwkViftf*"**""*** de la pression (force élastique changée de signe) exercée sur l'élément

plan^ parallèle à Taxe des z, qui fait avec la verticale un angle quelconque e,, ou dont la normale fait avec Thorizon le même angle ej ^ avec le talus supérieur OA Tangle w — e^, et enfin avec les x positifs Tangle — (j — I + «i) ' Il suffira de porter dans les formules (30) les valeurs (49), (SO), de N^, N^, T,p,et de faire en outre /3 « — (f — | + e,j ; ou 2/3 «= — f + (« — 2e,). On trouve d'abord

— (DTo =1 p { 4 + sin « [(c' -4- cl) cos (« — 2f|) — sin (« — 2f,)] j , Ç B= p sin » [(c' -f- c/) sin (« — 2f,) -+- cos (» — 2fi)] .

Posons

(56) c' -4-c/ = tg(« — 2f),

c désignant un angle auxiliaire GOiM, qui devient sensiblement constant, quel que soit c, pour l très-grand : nous choisirons en général sa valeur de manière que la différence w — 2e soit comprise entre — i ^*|> ^^^^ i' pourrait encore avoir cette valeur augmentée ou diminuée d'un multiple quelconque de ~. Les expressions ci-dessus de — âT'», 5, et celle (50) de la pression moyenne p, deviendront :

/ f>gl cos (w — 2f )

I cos 2 (« — e)

(57), . . . (— a^« ^1 -rcos(«-2e)-+-sin«sin2(f, — f)],

' cos 2 (« — £) ^

pal

G = - - J, — V sin « cos 2 (fi — e).

cos 2 (« — t)

Il est aisé d'en déduire : l"* la valeur d^/ de la petite dilatation éprouvée par la ligne matérielle primitivement normale à l'élément plan^ ou qui était inclinée au-dessus de l'horizon de l'angle e, ; 2"" le petit cosinus ^^y de l'angle que fait^ après les déplacements^ cette ligne matérielle avec celle qui lui était normale et dont l'inclinaison sur la verticale (dirigée vers en bas) valait e,- Ces valeurs se déduiront eu effet des expressions générales des forces élastiques parallèles au plan des déformations

si Ton substitue à — Sf^,^, p leurs expressions (57). II viendra

,^^. sin fi) sin 2 (fj — e) sin » cos 2 (ri — e)

(58) . . . «>-• = > ûf-»«i = •

2m cos (o) — 2f) ^' mcos(« — 2f) >

Les formules (56), (57), (58) nous seront d'une grande utilité. Je me contenterai actuellement de tirer des deux dernières quelques conséquences presque évidentes.

La dilatation d^/ est nulle quand e^ = e, c'est-à-dire pour l'élément matériel rectiligne qui est incliné sur l'horizon de l'angle e défini par l'équation (56), et elle est nulle aussi pour l'élément rectiligne, primitivement perpendiculaire au précédent, qui fait avec la verticale le même angle e, ou avec l'horizon l'angle e — ^> angle qui pourrait être pris également pour valeur de 6 vérifiant l'équation (56), sans que le mode d'équilibre fût en rien modifié. Ces deux éléments linéaires et leurs opposés sont en chaque point les seuls qui n'éprouvent aucune variation de grandeur ; l'un d'eux tourne par rapport à l'autre de manière à réduire leur angle de la petite quantité 9^y = m cos '(1- 2g) ^ ^^* acquiert justement pour ces deux droites sa valeur absolue maxima.

C'est suivant les bissectrices des quatre angles formés par les directions ainsi définies que se produisent les deux dilatations linéaires principales di, d,. J'appellerai e' l'inclinaison sur l'horizon de l'une quelconque de ces directions intermédiaires, de manière à avoir

en désignant ainsi par e, comme on a vu qu'il était permis de le faire, Tinclinaison sur l'horizon de l'un des éléments rectilignes, non contractés ni dilatés, qui font avec la dilatation principale considérée un angle de 45''. Ces dilatations principales, dont l'une à| est positive et l'autre <i^ négative, ont pour valeurs, d'après la première formule (58),

sin u sin u

(60) ^• = =*=^r— rrr— 5:^' ^»='=p;

■ 2m cos (w — 2f ) 2m cos (a — 2e)

DES MASSIFS PULVERULENTS. 48

Les éléments matériels rectilignes qui les éprouvent restent d^ailleurs rectangulaires^ car la seconde formule (58) donne g^^ = quand on y fait

On verra plus loin que les seuls modes d'équilibre utiles à considérer sont ceux pour lesquels la constante arbitraire c est nulle ^ ce qui rend constantes^ d'après (S6), la valeur de tg (w — 2e) et celle de c Alors un double système de ligms matérielles respectivement équidistantes , primitivement inclinées^ les unes^ sur la verticale, les autres, sur (^horizon, de l'angle t, et qui divisaient une section nomnale du massif en carrés égaux, sont encore rectilignes, parallèles, et ont les mêmes longueurs, après les déformations ; mais elles ont tourné les unes par rapport aux autres du petit angle ^^^'" - "^g. : lés carrés qu'elles comprenaient se sont ainsi transformés en losanges égaux. Par suite, la forme définitive du massif s'obtient simplement si on le conçoit, dans son premier état, divisé en couches infiniment minces inclinées toutes de l'angle aigu e sur la verticale, et si ton fait glisser celles-ci dans leurs plans respectifs, de manière que, l'une d'elles restant fixe, toute autre, située à une distance D en avant de cette première couche, se déplace (vers en bas) de ta quantité ^^^^'"^g (*).

(*) Pour un massif solide, et non plus pulvérulent, les formules (58) k (43) donnent toujours (49***) N, = — p(l - sinw), N, = — p(l -4-siii»), T = p cos » — jflgrr,

et, p ne dépendant que de /, la relation (28'*') [p. 31] , réduite à j^^^ ^'^^* montre que p est une fonction linéaire de l. Les formules (57) ne cessent pas d*étre applicables, si Ton continue à prendre

(5e**) tg(« — 2«) = -:i-fcos« — ^):

sin w \ p /

€ devient donc encore sensiblement constant à d*assez grandes profondeurs L On trouve aisément, au moyen des formules (24) [où A = 0] et (57), que les deux dilatations principales Dj, Dg ont alors les valeurs :

(60-i.) . ,=:^r.^±i!^fî"l.

2/iaLa-4-/ia cos(« — 2e)J

Observons que, d'après la relation (56***), qui revient d'ailleurs à la première (57), l'angle « — 2e varie sans cesse dans un même sens lorsque le rapport r^ croit avec continuité de — oo à oo : cet angle va ainsi de — f — « à ~ — û? si u est positif, de ^— «à— |— «si «est négatif; sa valeur absolue est supérieure à ^, égale à j, ou inférieure à f , suivant que le rapport -^ est négatif, nul ou positif.

ÉTUDE DU MÊME MASSIF, QUAND ON LE SUPPOSE, NON PLUS INDÉFINI, MAIS SOUTENU d'un côté PAR UN MUR PLAN QUI COUPE SON TALUS SUPÉRIEUR SUIVANT UNE HORIZONTALE.

Les formules obie- 2i. De tous Ics iDodes d'équilibre que représentent les formules (48), Sr^s'onr p""ôif (49), (50), les plus intéressants sont ceux qui vérifieront d'eux-mêmes, sur

applicables à des mas- ^^^/'* * '

sifs limités. toute la longueur d'une ligne située dans le plan des a?y, les conditions spé-

ciales à une paroi, par exemple, les deux premières ou les deux dernières des relations (37); car Féquilibre ne cessera pas d'exister si la couche matérielle dont celle ligne dessine le profil devient la face postérieure d'un mur de soutènement, et l'on aura résolu le problème de l'équilibre d'un massif qui, au lieu d'être indéfini, serait limité et soutenu, d'un côté, par un tel mur.

Il est évident que les formules (48), (49), (SO), prises dans toute leur généralité, conviendraient quel que fût le profil d'un mur rugueux, si les particules adjacentes à ce mur s'y trouvaient immobilisées dans des positions telles, que leurs déplacements m, v eussent précisément les valeurs (48); mais je me bornerai dans ce paragraphe à l'étude des modes pour lesquels les conditions simples (37) seront satisfaites en tous les points d'une même ligne.

Quelle que soit la direction d'un mur à face postérieure plane, coupant le talus supérieur suivant une horizontale qu'on peut supposer choisie pour axe des z^ il est facile de déterminer les constantes arbitraires c, c\ c", cî, c'/, de manière que la première ou la seconde ligne des relations (37) se trouve vérifiée sur toute l'étendue de cette face.

Cas dan massif h- 22. Supposous, cu Drcmicr lieu, que la face dont il s'agit soit rugueuse

mité par un mur à face r r / r ^ i ^

™l«i*.r ■*'"* "et dirigée suivant OM (fig. 1, p. 38), de manière à ne laisser subsister que

DES MASSIFS PULVERULENTS. 47

la partie AOM du massif. La couche terreuse adjacente à OM devra rester immobile pendant que toutes les autres parties du massif se déplaceront. Or, d'après ce qui a été dit après les formules (S8), les seules couches matérielles, dans le massif indéfini , qui n'éprouvent aucune dilatation ni contraction, sont celles dont Tinclinaison sur la verticale est en chaque point égale à une des valeurs de e que donne l'équation (56) : une de ces couches devant coïncider avec OAl , on aura Tunique mode d'équilibre qui soit admissible en prenant^ d'après cette même équation (56),

(61) f=:GOM, c = 0, c' = lg(«— 2f).

Alors la couche terreuse primitivement adjacente à OM n'éprouve aucune déformation, et toute autre couche, parallèle à celle-là et située à une distance D de la face postérieure OM du mur^ glisse simplement dans son plan, en allant dans le sens de vers M, de la quantité — ^t^^^t^- Le point matériel ne se déplaçant pas, on doit avoir u = 0, t; = 0, pour a? = 0, y == 0, et par suite c[ = 0, cj' = 0. Enfin la constante c'' se détermine de manière que le déplacement Uy par exemple, s'annule tout le long de la droite OM , qui fait avec l'axe des y l'angle « + e et dont l'équation est par conséquent a? — y tg (« + e) -= : on trouve ainsi & -^d' = — tg (« + e), ou

in u \ i

- C" = lg(a H- £) ^ c' = lg(a-f- f) ^ fg(« - !2e) = |g - — - -f- e I -+- lg(« - 2t) = • — •

\ 4 :2 / cos (w — 2f)

On voit que, de tous les modes d'équilibre du massif indéfini, il y en a un et un seul pour lequel une couche plane OM de matière pulvérulente reste immobile pendant que les déformations s opèrent : c'est celui pour lequel les diverses constantes c, c', c"^ cj, c'/ ont les valeurs que nous venons de déterminer ; en particulier, la constante c y est nulle, et le paramètre angulaire e, alors invariable et caractéristique du mode d'équilibre, est égal à l'inclinaison de h couche immobilisée sur la verticale. Le tassement produit par le poids du massif se fait parallèlement à cette couche {oii à la face postérieure du mur) y et il est égal, pour chaque particule de matière^ au produit de sa distance D au mur par le facteur constant --^£j~zr^) '

GherchoDs de combien le tassement causé par le poids du massif diminue rinclinaison du talus supérieur sur Thorizon^ inclinaison primitivement égale à ck).

La perpendiculaire D, abaissée de Torigine sur tout plan parallèle à la couche immobilisée^ fait avec Thorizon Tangle e et par suite avec la direction primitive du talus supérieur, au-dessous de celui-ci, Fangle w — e; d'où il résulte que la distance primitive, mesurée parallèlement au mur, du pied de cette perpendiculaire au talus supérieur, vaut D tg (« — e). Gomme elle diminue, par suite du tassement, de la valeur du déplacement total, rinclinaison, d'abord égale à &> — e, du talus supérieur sur la perpendiculaire D, décroit en même temps d'un petit angle (, tel, que la différence

I) ftg (ta — f) — tg (a — 5 — ol , OU sensiblement ~- .

l / o V j ^ cos'(w — f)

vaille précisément l'expression D ^cosT^-gf) ^" déplacement total. Le tassement a donc pour effet de diminuer l'inclinaison o) du talus supérieur au dessus de l'horizon, de la quantité

sina}cos'(6> — f) siofi) .

^ ' mcos(«-~2€) 2»w cos (« — 2£) *• '■'

Nous aurons besoin au n"* suivant de savoir de quel angle, (', le tassement fait tourner autour de l'origine une droite matérielle prise dans le massif à partir de cette origine et primitivement inclinée, sur le plan OM de la couche immobilisée, d'un demi-angle droit. La perpendiculaire D, abaissée d'un point de cette droite sur OM, est évidemment distante de l'origine de la quantité D tg j avant les déplacements, et de la quantité D tg f j + Ç') après. L'accroissement, sensiblement égal à -^^y ou a 2Dç', que cette distance reçoit, représente précisément le déplacement ^cJl»~2f) ^ ^" P^*"* considéré. On a donc

sm a (62»") . . . ,

DES MASSIFS PULVERULENTS. 49

Remarquons que Tangle fait par le talus supérieur OA avec la ligne matérielle dont il s'agit ici, ou qui était primitivement inclinée sur OM d'un quart d'angle droit, diminue de la quantité

sin w cos 2 (w — e)

2m cos (w — 2f)

23. Supposons, en deuxième lieu, que la face postérieure plane OM' du c.» dun massif w-

* ^ ' * * mité par un mur à face

mur (fig. 2) soit polie. Alors la couche terreuse infiniment mince OM' ne p/*"*"'* p*"*"* ** doit supporter que des pressions normales, ce qui revient à dire qu^elle contient en chacun de ses points la direction d'une des deux dilatations principales (),, (i^. Or nous avons appelé e', au n° 20, l'inclinaison d'une quelconque de ces dilatations sur l'horizon, ou celle de l'autre sur la verticale. On devi'a prendre par conséquent

(63) £'==GOM',

et, d'après la formule (59), dans laquelle le dernier terme peut être choisi à volonté négatif ou positif, e = e' — j. Donc s doit être encore le même en tous les points de OM', c'est-à-dire à toutes les distances / de OA, comme au numéro précédent, en sorte que l'équation (56) oblige de poser

c = 0, c' = tg(w — âf) == — cotg (» -— 2f')-

En outre, la couche OM' peut bien glisser dans son plan, mais non le quitter. Je ferai abstraction du mouvement que la particule 0, située à l'origine des coordonnées, peut éprouver le long de OM', ou, ce qui revient au même, je supposerai les axes Ox, Oy animés d'une translation telle, que l'origine coïncide toujours avec cette particule. On aura donc, pour a? = et y = 0, w = 0, v = 0, ce qui revient à prendre, dans les formules (48), c'i = 0, c'/ = 0. Il reste alors, pour avoir complètement satisfait à la seconde ligne des relations (37), à exprimer que les points de la couche OM' se déplacent suivant sa propre direction OM', inclinée de « + e' sur les y positifs, c'est-à-dire à déterminer c" de manière qu'on ait en tous ces points ^ = i = tg (a + e') = tg (j - ^^). Or les valeurs (48) de u et v, où l'on

so

a déjà c=0, c{=0, c(' = 0, ç' dernière coaditioo en celle-ci

cotg (û) — 2e'), changent cette

a; Ira 2e'\

- -^ (c' -»- O tg U Jl- -col(«-.20 -^ c"

qui, simplifiée par la substitution à tg (ï- -^) de ^ Tsin (^^L) «* résolue par rapport à d^y donne enfin

Parmi tous les modes possibles d'équilibre du massif indéfini, il y en a donc un et un seul pour lequel une couche plane et donnée de matière pulvé-

rulente ne supporte aucune pression tangentielle et n éprouve de déplacements que dans son plan : on l'obtient en supposant nulle la constante c et en prejiant alors le paramètre angulaire t, qui reste seul caractéristique du mode d'équilibre, égal à l'incliîiaison de cette

couche sur la verticale vmins 43"" ou ;^. Ce mode d'équilibre subsisterait si, pefidant que le massif, devenu pesant après avoir été d'abord dans l'état naturel, éprouve les déformations étudiées, toute sa partie située d'un côté de la couche considérée OW était remplacée par un mur de soutènement infiniment poli.

• On se fait une idée nette du tassement qui se produit dans le cas actuel d'un mur poli, ayant OM' pour face postérieure, en concevant, au lieu de ce mur poli, un mur rugueux OiMi incliné sur celui-ci de iS"", ou faisant avec Oy l'angle yOM, = a + e' — j, et en considérant le tassement, parallèle à OMt, qui se produirait alors. Ce tassement, à une distance D de OMi , sera égal à

sin Q

Slllo)

m sin (w — 2ff')

DES MASSrFS PULVÉRULENTS. SI

Pour amener le massif AOM' à sod état définitif^ il suffira de concevoir ensuite qu'il tourne en bloc autour de l'origine 0, dans le sens de Oy vers Ox, de la petite quantité

2m cos (« — 2f) 2m sin (co — 2^')

en vue d'annuler la rotation égale et contraire éprouvée dans ce tassement fictif, d'après (62*"), par la ligne matérielle primitivement couchée contre le mur réel OM' et qui ne reçoit effectivement aucune rotation autour de 0. L'inclinaison du talus, ou de la surface OA, sur le mur OM', diminue en somme par le fait du tassement, conformément à la formule (62**^), du petit angle

sin a cos 2 (w — e) sin a sin 2 (« — e')

2m cos (« — 2t') 2m sin (a — 2e')

24. Les formules (48), (49), (50) ne vérifient, tout le long d'une ligne L«iiiiod<» d/éaunisituée dans le plan des xy. les deux premières ou les deux dernières des ne peuvent pas ••«•-

* *^^ ' faire, dans d autres cas,

relations (37), dans aucun autre cas que ceux que nous venons d'examiner, ««conditions (37). c'est-à-dire dans aucun cas où la ligne dont il s'agit serait courbe.

C'est ce qu'on reconnaît d'abord facilement pour les deux premières conditions (37). Si l'on pose en effet w = 0, v = dans les formules (48), la première devient l'équation d'une parabole du second degré dont l'axe est parallèle à celui des x, tandis que la deuxième devient l'équation d'une parabole du second degré ayant son axe parallèle à celui des y. Ces paraboles ne peuvent évidemment coïncider sur une longueur finie qu'autant qu'elles se réduisent à des droites ou qu'on a c = 0, ce qui nous ramène au cas étudié dans le n'' 22.

Cherchons actuellement à vérifier les deux dernières relations (37) en tous les points d'une même ligne courbe.

Si Ton porte les valeurs (49) de â^, — <)y, g,^y dans les formules (33) de sin 2/3o, cos 2/3o, on trouve

sm 2po = > cos 2(3o = ■

:Fl/(c'-+.c/)«-t-1 =fI/(c' -4-c/)'-*-1

où le radical doit être pris avec le même signe de part et d'autre. L'avantdernière relation (37) donne d'ailleurs

(65) tgr = -^.

et par suite

r' — ti' . , —Sur

cos2r = -; i' Sinî2r = -T 5-

v' H- w v' -+- vr

La dernière équation (37), qui n'est autre que

cos 2|3o siii 2r — sin 2Po cos 2y = 0,

revient donc a

(65"') (v* — tt«) (c' -+- cl) -4- 2Mt; == 0.

Il suffît de remplacer dans.celle-ci u^ Vy l par leurs valeurs (48) et (39) pour avoir l'équation finie, entière et rationnelle, de la ligne cherchée.

D'autre part, y désignant l'angle que fait avec les x la normale à cette ligne, le coefficient angulaire ^ de celle-ci est en chaque point égal à — — ou à l^ et l'on a

udy — vdx = ;

cette équation différentielle, d'après les valeurs (48) de m et t^, s'intègre immédiatement. Si Ton appelle c'" la constante arbitraire introduite par l'intégration, il vient

((îo'"") - (t^' siii a — X* cos a) -+- x%j -\' —(y* — x') -+- — {\f -+- x'j -t- cjt/ — c[x H- c'" = 0.

Pour que la ligne (65'^'), qui est du troisième degré, ait un arc courbe commun avec la ligne du cinquième degré que représente (6 S''"), il est nécessaire que les premiers membres de leurs équations admettent un facteur commun fonction des deux variables a?, y et au moins du second degré. En particulier, leurs termes de l'ordre le plus élevé, qui sont, à part des coefficients constants et finis,

c (x' cos a — \f sin «)

pour (eS''**)^ et, vu les valeurs (48) et (39) de m, v, /,

à (x cos a -H y sin a) (x* cos'a — y* sin'a)

pour (65^''), devront avoir, s'ils ne sont pas identiquement nuls, un facteur commun de ce degré. Comme ils n'en admettent pas, il faut que ces termes disparaissent ou qu'on ait c = 0. Mais alors, d'après les formules (36) et (89), les angles e', qui mesurent l'inclinaison, sur la verticale, des dilatations principales, sont constants en tous les points du milieu, et les surfaces qui ne supportent que des pressions normales, ou sur toute l'étendue desquelles la dernière relation (37) est vérifiée, se réduisent à des plans.