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DES MODES d'équilibre QUI CESSENT d'ÊTRE POSSIBLES, PAR SUITE DES LIMITES d'élasticité de LA MATIÈRE PULVÉRULENTE.

25. Pour tous les corps qui tendent à reprendre leur forme quand on les conduionsexprimant en a écartes, il existe ce quon appelle des limites a élasticité^ cest-a-dire iici«é m» .om p«. dédes valeurs maxima que ne peuvent dépasser en chaque point les dilatations principales 5,, 5^, 0)3, sans qu'il se produise une altération persistante et sensible de leur arrangement moléculaire primitif, sinon même une rupture. En particulier, les milieux pulvérulents présentent, au moment où leurs limiles d'élasticité sont atteintes, cet état d'équilibre instable qui leur pertnet de s'ébouler et qu'on appelle état ébouleux.

L'existence d'une limite d'élasticité dans les milieux pulvérulents est prouvée par ce fait, qu'ils sont dénués de cohésion, c'est-à-dire incapables

d'exercer ou de transmettre une traction^ si faible qu'elle soit. En d'autres termes^ la composante normale de la force élastique exercée sur un élément plan quelconque pris à leur intérieur ne peut pas être positive^ ce qui^ d'après la première formule (22), revient à dire qu'aucune des trois forces principales F|, Fa, F3, pas même la plus grande F<, n'y devient jamais positive. La moyenne — jo de ces trois forces doit donc être constamment négative, et la condition

F,<0, ou — p(i — 2mD4)<0, ouenfin D, < — ,

signifie alors que la dilatation linéaire la plus grande, d^, à l'état élastique, doit rester toujours inférieure au rapport 5^-

Mai9 bornons-nous au cas des défprmations planes, pour lesquelles la dilatation linéaire moyenne d^ est nulle, et qui, vu la relation d'incompressibilité (), + ()3 = 0, ou c)j = — ()| , sont complètement définies en grandeur, dans une petite étendue autour d'un point quelconque, au moyen de la seule dilatation positive di. L'absence de cohésion du milieu prouve bien que ^, y reste constamment inférieur au rapport —y mais non pas que c)| puisse atteindre cette limite sans que l'équilibre soit compromis. Tout ce qu'on peut en conclure, c'est que la limite d'élasticité est moindre que ^^; ou égale à ^^ si y désigne un certain angle, compris entré zéro et |> que l'expérience sera appelée à déterminer pour chaque espèce de corps pulvérulents et qui sera précisément ce qu'on appelle angle de frottement intérieur. Ainsi les deux conditions restrictives

sia 9

exprimant Timperfeclion d'élasticité des massifs pulvérulents, seront imposées aux modes d'équilibre que ces corps peuvent présenter quand on les suppose parfaitement élastiques, et elles rendront impossible la réalisation de tous ceux d'entre ces modes qui n'y satisferaient pas en tous les points du massif. On peut, dans la seconde inégalité (66), introduire les forces principales extrêmes F,, F3 au lieu de la dilatation maximum d,. La première équation

DES MASSIFS PULVÉRULENTS m

(34"^) [p. 3i] donne en effet R => 2»ïj»à,, en sorte que l'inégalité (66), 5, < ^, devient

(66**) - < sin y, ou R < p sin f.

Or, d'après les relations (34**^), on a

F^ — F, R F,-hF5""p'

et l'inégalité (66*") prend la forme cherchée

f^^ur^ F. — Fj ^ . — F. 1 — sin f Jn f\

(66'^) . . . — ~ --<sin«, ou -> ^ = tgM -•

^ F, -t-Fs- ^' — F» -l-hsiny ^U 2/

Le rapport de la plus petite des pressions, exercées en un même point, à la phis grande, dépasse donc ioujours tg * (^ — «l) ; ce qui revient à dire que la différence de ces deux pressions est inférieure à la fraction sin ^ de leur somme.

La même inégalité est encore susceptible d'une autre interprétation. Considérons Félément plan dont la normale est inclinée d'un angle quelconque /3 sur l'axe des x. La tangente de l'angle fait avec le prolongement de cette normale par la pression exercée sur l'élément plan, a pour valeur le rapport de la composante tangentielle G de cette force à sa composante normale changée de signe (ou pression proprement dite) — Sffr. Or les formules (32) donnent

6 R sin 2 (|3 -- Po)

— STS) "~ p -^ R cos 2 (p — po) '

et ce rapport, nul quand sin 2 (/3 — /3o)=0, ou pour /3 — ^^=0,=|>=Y>etc., atteint ses valeurs absolues maxima quand la dérivée

rf / G \ 2R [p co82(p — po)-+-R] ' .

dp \- at)/ [p -*- R cos 2 (p — po)]'

s'annule, c'est-à-dire quand on a

(67) cos2(p-.po) = --

Alors rincJioaisoD de la pression sur le prolongement de la normale, inclinaison maxima que j^appellerai tf^y a pour tangente

RsiD2(p^Po) "^p^ p' . p

^"f =r — ^rzr^ — T\ = sî — *==*= — ' —

p H- R cos (p — (3tt) ^ R

.-. vATf'

cette relation équivaut à sin 'y' = -^^ et donne, d'après (66*"),

{67*") , . . . . sinV<sinV.

La seconde condition (66) signifie donc encore que l'inclinaison d'une pression quelconque sur le prolongement de la normale à Vêlement plan qu'elle sollicite, doit toujours, pour que l'équilibre soit possible, être inférieure ou au plus égale à l'angle de frottement intérieur y.

L'inclinaison dont il s'agit atteint d'ailleurs sa valeur absolue maxima ±^ ^^ quand on a

;2(p-.po) = --- Sinf =C08(^ + y'],

cos*

et par suite, sauf un nombre entier de demi-circonférences, quand

Or, d'après la réflexion qui termine le n^ 15 (p. 34), /3o représente l'inclinaison de la force principale la plus petite F, sur les x positifs : l'excès (3 — /3o désigne donc l'angle de cette force et de la normale aux éléments plans dont il s'agit, ou celui que font les mêmes éléments plans avec l'élément plan principal soumis à la force considérée Fg. Si l'on observe enfin que cette force est négative et constitue par conséquent, en valeur absolue, la plus grande des pressions principales, l'égalité ci-dessus reviendra au théorème suivant, énoncé en premier lieu par Macquorn-Rankine : les éléments plans pour lesquels l'inclinaison de la pression quils supportent sur le pvlonge^

ment de leur normale atteint sa valeur maxima 9', sont ceux qui font, avec f élément plan principal soumis à la pression la plus grande, un angle égal àj+~y et qui font par suite, avec l'élément plan soumis à la pression la plus petite, V angle complémentaire j — f •

26. L'inégalité (66'^) se change en égalité au moment où le massif, sur Équation

caractérisa' tiqua de l'équilibre-

le point de se rompre, passe de Yétat élastique à Vétat ébouleux : Véquilibre- nmite, wit^ur les

massifs pulvérulents à

limite qui se produit à ce moment est donc caractérisé par la relation ^'^uix^^SlS^lYËIi

jUostiqut,

(68) F,-F3=-(F.-+-F3)sin^

Les corps solides présentent aussi un équilibre-limite quand on leur applique d'assez fortes pressions; mais l'équation spéciale à Vétat plastique, qu'ils affectent alors, ne peut s'établir qu'au moyen de considérations un peu moins simples, même quand on se borne à l'étude d'une matière isotrope, c'est-à-dire constituée pareillement dans toutes les directions, et au cas de déformations planes, ou telles qu'une des trois dilatations principales, d^, soit nulle. Ces corps, soumis à des actions inégales en divers sens et très-graduellement croissantes, commencent à éprouver des déformations permanentes sensibles dès que les deux autres dilatations principales d^, d,, produites en un point, acquièrent des valeurs vérifiant la relation c), — ^^=f(^d^ + à^)^ où f désigne une certaine fonction positive : on dit alors que les limites d'élasticité de la matière sont atteintes. Les actions déformatrices continuant à croître, les positions A' état naturel Çoa à partir desquelles se comptent les déplacements élastiques) des diverses particules qui constituent le corps, changent à chaque instant; d'ailleurs, l'expérience montre que, si l'on s'oppose à la désagrégation au moyen de pressions convenablement appliquées, le corps reste constitué par rapport à ces nouvelles positions d'équilibre (sauf une légère altération de l'isotropie), comme il l'était dans son élat primitif par rapport aux premières, en ce sens que ses coefficients d'élasticité X,|u changent peu: mais en même temps sa structure moléculaire devient plus stable, car la fonction /*, qui mesure à chaque instant la plus grande déformation élastique possible c)< — àj, se transforme et croit, pour

une valeur déterminée de la dilatation cubique dj + c),; de manière que la persistance des mêmes actions n'amène pas sans cesse de nouvelles déformations. Enfin ^ les actions déformatrices grandissant encore^ il arrive un moment où la fonction /* atteint une valeur maxima qu'elle ne peut pas dépasser^ et où, par conséquent, le corps n'est plus apte à prendre une constitution qui permette aux déformations de s'arrêter. L'équilibre-limite, caractéristique de l'étal plastique, se produit à ce moment. Or si, dans la relation à, — <)5=/'(âi + c)3), on substitue à <),, \ leurs expressions tirées des formules (5) (où on peut faire A= 0, ^^ = 0), il vient

c'est l'équation cherchée.

En général, les corps très-malléables, que l'on a ici particulièrement en vue, résistent bien moins aux changements de forme qu'aux changements de volume, et l'inverse, A -f- ^ //, de leur coeflRcient de compressibilité, doit être très-grand par rapport à leur coefficient de rigidité fx : on peut alors supposer à une première approximation 2). + 2/z = oo, quand F^ + Es n'est pas d'un ordre de grandeur plus élevé que F, — F,; et l'équation précédente se réduit à

F, — Fj = 2fx/*(0) = une constante î2K,

conformément au principe fondamental ^de plasticodynamique que M. de Saint- Venant a posé comme résultant des expériences de M. Tresca Sur le poinçonnage des métaux (*). iMais il est préférable de garder en outre, dans le développement de la fonction /"par la série de Maclaurin, le terme du premier degré par rapport à F, + F3, ce qui, en observant que /"croît probablement avec la densité ou avec la pression moyenne, donnera une équation de la forme

(68*^) Fi-F5 = 2K-a{F, -+-F5).

f) Voir au Journal de Mathématiques de M. Lion ville (t. XVI, 1871) divers mémoires de M. de Saint-Venant sur ce sujet, notamment celui qui est extrait du Compte-rendu de la séance du 7 mars 1870 de TAcadémie des sciences de Paris (t. LXX, p. 473) et où se trouve posée en d'autres termes la formule F| — Fj = 2K. Le Mémoire très-intéressant de M. Tresca sur le poinçonnage a paru au t. XX du Recueil des savants étrangers de la même Académie (1872).

On voit que la formule de l'état ébouleux n'est qu'un cas particulier de celle-ci , le cas où K = et où a = sin y. Dans ce cas particulier, la démonstration en est plus simple pour deux raisons : 1° il ne paraît pas y avoir, chez les corps pulvérulents^ différentes constitutions moléculaires de plus en plus stables susceptibles de se produire successivement à mesure que les actions déformatrices croissent, ou, en d'autres termes, la période intermédiaire pendant laquelle la fonction /"grandit, et qu'on appelle improprement période d'élasticité imparfaite, ne paraît pas exister pour eux; 2*» la dilatation cubique d, -H àj y est sensiblement nulle. Par suite, l'équation de l'équilibrelimite se réduit à <), — dj = /"(O), ou à <), = constante, comme on a vu.

Il est probable que les mêmes causes de simplification se présentent pour les corps solides très-malléables, comme le plomb ou l'argile : la seconde semble nécessaire pour qu'on puisse supposer la valeur élastique maxima de ()4 — 0)3 peu dépendante de c), + c),, ou admettre approximativement l'équation d'équilibre-limite F, — F3 = une constante 2R. La première l'est peut-être aussi pour que la fonction /*, à l'instant où l'équilibre devient limite, ne dépende pas des valeurs successives prises jusqu'à ce moment par les déformations ()|, ^3 ou par les pressions principales F,, F3. S'il en est ainsi, l'équation F, — F3 = W(i7^i^) ^^ conviendrait peut-être pas, avec une exactitude suffisante, aux corps élastiques qui sont susceptibles, comme le fer, de s'écrouir considérablement sous l'action de charges permanentes de plus en plus considérables, ou pour lesquels la forme de la fonction fy variable entre de larges limites, pourrait ne pas se trouver toujours la même à l'instant où l'état plastique s'établit.

27 . Reprenons actuellement, au point de vue des inégalités (66), l'étude du uet'^P^'S^^^^^^^^

massif de longueur et de profondeur indéfinies, limité supérieurement par un ™^ ™

plan incliné de wsur l'horizon. L'expression (60) de c),, portée dans la seconde inégalité (66), qu'on peut supposer élevée au carré, change celle-ci en

(69) cos«(«— 20>-^T--

Deux conséquences importantes résultentdelarelation fondamentale (69): 1° Le premier membre de cette inégalité étant essentiellement moindre

demment considéré*.

que Tunité^ le second doit Fêtre à plus forte raison : donc l'inclinaison w du lalus par rapport à l'horizon est toujours inférieure ou au plus égale en valeur absolue à l'angle y de frottement. L'expérience a prouvé en effet depuis longtemps que les sables^ les terres fraîchement remuées^ les amas de petits cailloux^ etc., ne peuvent se soutenir que sous des angles moindres qu'un certain angle-limite, constant pour une même espèce de matière, mais variable, quand cette espèce change, depuis 24° ou 26° (cendrée de plomb, graine de moutarde) jusqu'à 55° (sol le plus dense), et qu'on prend souvent dans la pratique égal à 45^ Les talus naturels d'éboulement, comme on en observe, par exemple, au pied des roches escarpées, le long des vallées ou dans les montagnes, sont environ de 31° pour le sable fin et sec, de 32° à 33° pour les marnes, les calcaires et les terres franches jetées à la brouette, de37°pour les terres crayeuses, de 38° pour le sable quartzeux humide, de 45° pour le sable gypseux humide (*).

2° L'inégalité (69) devant être vérifiée à toutes les profondeurs dans l'intérieur du massif, le cosinus de l'angle &) — % ne peut décroître en valeur absolue jusqu'à zéro, ni sa tangente grandir indéfiniment avec /. D'après la formule (56), on devra donc avoir c = 0, ou e= constante; en d'autres termes, tous les modes d'équilibre pour lesquels la constante c n'est pas nulle sont irréalisables si le milieu pulvérulent est suffisamment profond. Par suite, un massif indéfini ne comporte pas des modes réels d'équilibre différents de ceux que représentent les équatiom (57) et (58) quand on y suppose le paramètre angulaire e constant^ ou quand les déformations éprouvées sont les mêmes en tous les points.

Il n'y a pas à se préoccuper de la première inégalité (66). En effet, d'après (56), l'expression (50) de p n'est autre que

cos « — sin » tg (w — 2f)

et elle sera supérieure à zéro si le terme positif cos &>, du dénominateur, est

(*) Mémoire sur la poussée des terres, par M. Saint-Guilhem , ingénieur en chef des ponts et chaussées {Annales des ponts et chaussées, t. XV, mai et juin 1858), note VII. — Voir aussi la Mécanique appliquée de M. Collignon, t. I, p. 478.

DES MASSIFS PULVERULENTS. 61

éii valeur absolue plus grand que sin e» tg (<u — 2e). Or rinégalité (69) peut s'écrire

sin "y i-Htg*(M— 2f)

d'où Fou déduit

sin'(>itg*(w — Sf) < sin*o — sin'w,

et, à plus forte raison,

sin'w tg ' (» — 2f) < 1 — sin *« = cos '» :

ainsi la valeur absolue de sin &)tg (w — 2e) est bien inférieure à cos &>. L'inégalité (69), dans Pétude des modes d'équilibre du massif indéfini, tient donc lieu à elle seule des deux inégalités (66) que nous avions à considérer.

28. Mais continuons Fétude de l'inégalité (69). Limita entre ie«.

Soit T Tangle, compris entre zéro et z> dont le cosinus a pour valeur p«r«iuèireanffuiafAf,

^ ■ Z * mesurant liDclioaison,

sur la verticale, des couches non dilatées g\f\ a *>* contractées.

(70) COS T = -; — (en valeur absolue).

sin <p

Comme le mode d'équilibre correspondant à une certaine valeur de e subsiste sans modification quand e grandit de |> on peut se borner, quel que soit &), à considérer des valeurs de e comprises dans un intervalle égal à |> et supposer par conséquent w — 2e variable seulement de — i^ à ^* On aura ainsi cos (w — %) > 0, et l'inégalité (69), devenue

cos (« — 2f ) > cos T,

équivaudra à l'ensemble de ces deux :

Étant donnée une valeur quelconque &> de l'inclinaison du talus sur l'horizon, l'équilibré est donc possible : l"" quand l'inclinaison «, sur la verticale.

d'une couche non dilatée ni contractée (ou par suite de la face postérieure rugueuse d'un mur de soutènement qui immobiliserait une telle couche dans ses positions d'état naturel), est précisément ^; 2° quand cette inclinaison est inférieure ou supérieure à | d'une quantité au plus égale à la moitié de l'angle t que définit l'équation (70), ou, en d'autres termes, quand la direction d'une couche d'étendue invariable est comprise dans l'angle r construit de manière que sa bissectrice soit inclinée de ^sur la verticale; 3^ quand l'inclinaison e ne diffère de l'une des précédentes que d'un nombre entier d'angles droits, c'est-à-dire, d'une manière générale, quand la direction delà couche considérée est comprise à l'intérieur de l'un des quatre angles, égaux à T et opposés deux à deux par le sommet, qui ont pour bissectrices respectives la droite inclinée de | sur la verticale et sa perpendiculaire.

Au contraire, l'équilibre devient impossible, avec la valeur donnée de l'inclinaison &> du talus, lorsque la direction d'une couche d'étendue invariable (ou de la face postérieure et rugueuse d'un mur de soutènement qui l'immobiliserait dans ses positions d'état naturel) tombe dans l'intervalle que laissent entre eux ces quatre angles. Enfin les inégalités précédentes se changent en é^lités, et la limite d'élasticité est précisément atteinte, si e acquiert ses valeurs extrêmes, ^~- plus un nombre entier d'angles droits, ce qui arrive lorsque les couches invariables se trouvent précisément parallèles à un côté des quatre mêmes angles; alors l'état devient ébouleux et l'équilibre est limite.

Pour w = 0, l'angle t est droit et par suite les quatre angles dont il s'agit comprennent tout l'espace autour du point 0, ou ne laissent subsister aucune direction e pour laquelle l'équilibre soit impossible. Mais, à mesure que la valeur absolue de o grandit, t diminue de plus en plus pour s'annuler quand w atteint ses deux valeurs extrêmes ± 9. Ce décroissement de t est même plus rapide que l'accroissement de -±i(ù; car la différentiation de (70) donne

COS Oi cos »

sin^sinr V/sinV- sin»» ^ sin»,,— sin

\ / > \ (en valeur absolue).

V sin 'o — sin '«

Par conséquent, lorsque w croit de zéro à ^ ou décroit de zéro à — y,

DES MASSIFS PULVERULENTS. 63

les deux valeurs extrêmes de e, ^^^ et ^^> d'abord égales respectivement à — ^ et à^} varient sans cesse chacune dans un même sens, la première en augmentant, la seconde en diminuant, jmquà leur valeur finale commune, qui ^st la moitié de celle de w, c'est-à-dire ± |. Les quatre angles conjugués r qui forment, par leur groupement symétrique autour du point 0, une sorte de croix de Malte dont ils seraient les bras, et à Fintérieur desquels se trouvent û chaque instant les directions admissibles des couches invariables, se contractent à la fois, par un mouvement simultané de recul de leurs quatre côtés, de manière à délaisser entre eux un nombre de plus en plus grand de directions qui cessent d'être admissibles pour toutes les valeurs ultérieures de a> (*);

29. Les deux limites^ l'une négative et l'autre positive, entre lesquelles uiiiMloii^éJrecîSîI l'inclinaison w, sur l'horizon, du talus supérieur doit être comprise pour uiosyrur "«^^^^ que l'équilibre soit possible avec une inclinaison donnée e, sur la verticale, "*""** *^' des couches invariables, s'obtiennent aisément. L'inégalité (69) se change en égalité quand &> reçoit ces deux valeurs, et il vient, en extrayant la racine carrée des deux membres,

sin « = dr sin f cos (» — 1i) = ± sin y (cos « cos 2e -+- sin « sin î2e),

f) Quand le massif est solide, Di, Dj ont les valeurs (60^") [P'45]. On voit que ces dilatations principales, si elles ne sont pas négatives, finiront par dépasser toute limite d*élasticité admissible, dans un massif suffisamment profond, lorsqu'on y prendra / ou p assez grands. On devra donc avoir D<0; ce qui, en posant

ia)

= sin f>

ou f désigne un angle aigu, revient à écrire la première inégalité (66) et l'inégalité (69), c'està-dire précisément les deux mêmes conditions, résumées dans la condition unique (69), que pour un massif pulvérulent. Donc, tout ce qui est dit dans ce § au sujet des limites entre lesquelles cd et e sont compris s'applique à un massif solide de grande profondeur, à cela près que l'équilibre sera stable pour les valeurs extrêmes dbr de a — ^ (vu qu'alors on aura di =0, h < 0). En particulier, l'inclinaison =b o dut alus devra être moindre que f , comme M. de Saint- Venant l'avait déjà reconnu. Cet angle f vaudra oO^ dans les corps durs, chez lesquels il est probable que le rapport ^ ne diffère pas sensiblement de l'unité, [et il sera presque nul pour les corps mous, où le rapport ^ est sans doute voisin de zéro.

ou bicn^ si Ton résout par rapport à tg o^

±1 sin f cos 26 ±1 cos 2£

(71) tg« =

iqp sin V sinî2f 1 . ^^

-: — =F sin 2f

sm f

A ces deux valeurs de tg w correspondront respectivement les deux angleslimites cherchés, compris, l'un entre zéro et + y, l'autre entre zéro et — 9. On voit qu'ils échangent simplement leurs signes quand e est changé en — s, et on peut se borner à les calculer pour les valeurs positives de e. Il suffit d'ailleurs d'y faire varier e de zéro à j ou 4S°, puisque les mêmes circonstances se produisent pour toutes les valeurs de e qui diffèrent les unes des autres d'un nombre entier d'angles droits.

Si l'on adopte pour 9 la valeur ^ ou 45°, l'expression de tg &> devient

de: COS 2f

l/îzpsin2f

et l'on peut former le tableau suivant :

Valeurs de f 0, 40% 20% 30% 40' 45%

35M6'n, 4iM4', 44»48', 42«22', 22»0r, 0,

valeurs-limites de » . . .

En différentiant l'équation (71), on trouve

rf Ig « db 2 sin f ( — sin 26 ± sin f) de (I i^siuf sin 2f)*

Lorsque e croit de zéro à^, la valeur négative de tu, c'est-à-dire la limite inférieure, croit sans cesse en se rapprochant de zéro. Quant à la limite supérieure, ou valeur positive extrême de w , elle grandit d'abord, jusqu'à un maximum, 9, quelle atteint pour e = | (c'est-à-dire pour e = 22

(*) Pour du sable fin et sec on aurait seulement ^ = 31% et les valeurs-limites qui correspondent il f asO deviendraient d= 27''15'.

Googk

DES MASSIFS PULVERULENTS.

quand y = 45^), et elle décroit ensuite. Les deux Imites, initialement égales, en valeur absolue, à arc tg (sin y), mais de signes contraires, s annulent en dernier lieu, pour e = f •

On peut, au moyen des tangentes de ces angles-limites, que j'appellerai û)', w",

tg«' =

sin f cos 2f

i — sin f sin 2e

tg«" =

— sin f cos 2f

i -t- sin f sin 3f

calculer la tangente de leur différence w' — w". Celle-ci se réduit, après quelques simplifications évidentes, à

lg(ûï' — «") = — ^"cosâf :

cos f

elle diminue sans cesse quand e grandit de zéro à j* L'écart &>' — cw" des deux limites est donc d'autant plus grafid que l'inclinaison e est moindre ou que les couches invariables s'écartent moins de la verticale.

On voit qu'un mur de soutènement rugueux, incliné de e sur la verticale et qui serait supposé immobiliser la couche pulvérulente conliguè dans ses positions d'état naturel, ne pourrait pas soutenir un massif limité supérieurement par un talus plan dont Finclinaison sur Thorizon serait, ou plus grande

. ^ que la limite positive w',

ou moindre que la limite négative w". Sans doute, la partie BB' (fig. 3), d'un talus pareil, qui serait très-éloignée du mur de soutènement, pourrait recevoir toute déclivité inférieure ou même égale, en valeur absolue, à l'angle de frottement y. Mais la surface du talus devrait alors cesser d'être plane dès qu'on approcherait du mur OM, de manière à y devenir concave vers en haut, pour 0) positif, convexe dans le cas contraire, et à ne plus avoir, tout près du mur, son inclinaison w sur l'horizon en dehors des deux limites w', w".

Les formules établies ci-dessus ne sont pas applicables à de pareils talus courbes, et un calcul rigoureux de Féquilibre qui se produirait alors est peut-être inabordable; mais, si la courbure de la surface était peu sensible et que Ton se proposât seulement de connaître les circonstances produites à d'assez petites distances de Torigine 0, on ne commettrait qu'une erreur négligeable en remplaçant le profil vrai du talus par sa tangente au départ OA, tangente dont Finclinaison sur Fhorizon égalerait la valeur-limite correspondante 0)' ou 0)". En d'autres termes, le cas où l'angle w se trouverait supérieur à u' pourrait être approximativement confondu avec celui où a) = &)', et le cas où w serait moindre que w" pourrait de même n'être pas distingué du cas (ù = (ù^'.

Au reste, cette remarque ne paraît pas avoir d'importance pratique, et pour deux raisons. La première consiste en ce que les murs rugueux de soutènement que l'on construit ne doivent immobiliser les particules pulvérulentes contiguës dans des positions d'état naturel, ou à peu près, que pendant la période même de formation du massif et seulement en ce qui concerne les couches de terre ou de sable non encore comprimées : à mesure qu'on apporte de nouvelles couches sur les premières, celles-ci éprouvent un grand nombre de ruptures à la suite desquelles les positions d'état naturel de leurs particules se trouvent entièrement changées, comme on verra au § VIII. La deuxième raison consiste en ce que l'inclinaison e, sur la verticale, des murs de soutènement rugueux, supposés même capables d'immobiliser les particules terreuses contiguës dans leurs positions d'état naturel, a presque toujours, dans la pratique, des valeurs telles, que la limite supérieure w' est voisine de son maximum fy tandis que la limite négative cù" se trouve bien au-dessous des inclinaisons des talus dont on peut avoir à s'occuper.

Néanmoins, il se produit souvent , pendant qu'on décharge contre la face postérieure d'un mur la terre ou le sable qu'il doit soutenir, des valeurs négatives de w moindres que w", et il paraît que l'on constate alors sur le talus la forme convexe indiquée par la théorie précédente.

Limites qui compren. 30. Jc u'aî cousldéré cî-dcssus qu'un mur à face postérieure plane et

nont u pour une valeur . * ■• . i

(juiincedet'. rugueusc. Supposons actuellement cette face mnniment polie et mclinée sur

la verticale d'un angle e'^ mais toujours donnée de manière à empêcher la couche superficielle contiguë du massif de quitter son plan primitif; on a vu au n° 23 (p. 50) que Féquilibre^ dans ces conditions^ ne diflère pas de celui que produirait un mur rugueux incliné de e = s' — ^, ou encore incliné de e = e' + j, puisqu'une différence, de -dans ces angles n'en amène aucune dans le mode d'équilibre. On aura donc, en particulier, les deux limites w', w", qui comprennent entre elles toutes les valeurs admissibles de l'inclinaison du talus, en étendant, au moyen d'une observation qui suit la formule (71), le tableau précédent aux valeurs négatives de e variables de — ^ à zéro , et ajoutant alors, pour avoir e', j ou 45° à toutes les valeurs de e inscrites au tableau. II vient ainsi :

poure's 0, 5% 15», 25», SS», 45», 55», 65», 75», SS», 00%

valeurs-limites ( 0, 4«>08', lâ^M', 20o26', 28«09', 35M6', 41«14', 44o48', 42«22', 2âo0r, 0,

de w (0, -22«0r, — 42«22', -44M8', -4lol4', -35«16', -28«0y, -20<'26', -12<»22', ~ 4*08', 0.

Les quatre angles, égaux à t et symétriquement disposés en croix autour de l'origine 0, qui contiennent, pour une valeur donnée de cj, toutes les directions admissibles de la face postérieure du mur, sont restés les mêmes en grandeur que dans le cas d'un mur rugueux; mais ils ont tourné d'un demi-angle droit, de manière à venir se placer précisément au milieu des quatre vides qu'ils laissaient d'abord entre eux. Si l'angle r est supérieur à un demi-angle droit, il y aura, au milieu de chacune des quatre branches de l'une quelconque des deux croix, un espace angulaire, égal à j — t, qui ne lui sera pas commun avec l'autre croix; mais il restera, sur chaque bord de la branche considérée, une bande, égale à t — ^, commune aux deux croix. Suivant toute direction comprise dans l'une de ces huit bandes, de largeur angulaire r — j, et qui sont symétriquement disposées par rapport aux bissectrices des huit angles formés entre les axes des deux croix, on peut, à l'exclusion du reste du plan, diriger la face postérieure d'un mur de soutènement, à volonté rugueux ou poli, capable de maintenir l'équilibre dans l'hypothèse où je me suis placé des relations spéciales (37). La condition nécessaire et suffisante pour que ces bandes existent est que t soit plus grand

que ^, ou cos t < ^^, c'est-à-dire, d'après (70), que Ton ait en valeur absolue

sin y sin w < »

OU, en supposant y = 45**,

sin « <-» w < 30".