Dans l'opuscule cité ci-dessus, p

renferme un tel atome n'«,ui''aient-ils pas des actions du même genre les uns sur les autres? La matière n'est-elle pas la même partout? Les prétendus atomes, bien loin de ressembler aux corps parfaitement durs des anciens atoraisles, ne pourraient être alors que des amas parlai tement mous, des tourbillons vaporeux, des atmosphères sans résistance susccplibles de toutes les formes.

C'est bien un peu de cette façon que Descaries composait Vatome immense, l'étendue tout entière qu'il identifiait avec la substance matérielle, pleine et continue comme un solide géométrique, mais sans cesse divisée, pour les besoins des tourbillons, en une infinité de parties avec des figures telles qu'il les fallait pour remplir instantanément et rigoureusement tous les vides que les mouvements particuliers, exempts de liaisons, ne pourraient sans cela ne pas produire. Saint-Venant, après avoir montré,

'lr§.\f, y' . -^orame on l'a vu, que les corps qui ne seraient pas formés de parties disjointes, mais composés d'une infinité d'éléments qui se touchent, n'auraient point de résistance et point de stabilité, ajoute : « Le plus petit déplacement en amènera instantanément un autre. Une foule de mouvements pourront y être continués sans résistance : ce sont, par exemple, tous ceux de mouvement et de torsion dans lesquels chaque point ira remplacer identiquement un point semblable, exerçant les mêmes actions. » C'est bien dire, mais ce n'est pas tout dire ; nous avons vu que ces remplacements identiques et instantanés peuvent bien être dits continués, à savoir et toujours en des mouvements giratoires, mais non jamais a?nenés, parce qu'il n'en saurait commencer aucun, et que la place de toute particule mobile doit être faite au moment absolu même où une autre partie se meut pour la remplir (voir ci-dessus, p. 28, sq.) On est donc finalement conduit à se représenter cette matière continue sous le double aspect contradictoire d'une inconsistance absolue des parties les unes par rapport aux autres, et d'une solidarité absolue entre elles qui ne permet le déplacement d'aucune que rigoureusement simultané avec les déplacements de l'infinité des autres.

On sait que Leibniz, tout en niant que l'espace fût une entité, et définissant les seules essences réelles, les monades, comme incorporelles et inétendues, a voulu qu'on regardât ces « atomes

.. : ; de substance » comme contigus et en nombre infini dans le plus i ' * petit espace. On reconnaît encore là la matière continue ou espace corporel de Descartes, dans laquelle seulement l'espace et les particules sont idéalisés. Cette doctrine a une supériorité sur l'autre; c'est qu'elle supprime l'étendue en soi et s'affranchit de la contradiction qu'implique une telle étendue à raison de ses

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parties également en soi et en nombre actuellement infini. La division à Tinfîni devient idéale et toute potentielle, comme en mathématique ; et en effet Leibniz voyait fort bien l'impossibilité de l'infini en nombre, quand il raisonnait en mathématicien. Mais cette doctrine a, d'une autre part, le défaut de remplir l'étendue avec ses monades, ce qui devrait n'être qu'une image, et ce qui s'énonce comme une réalité; et, grâce à cette espèce de plein de substances sans discontinuité, elle retombe forcément dans la contradiction du nombre infini.

L'idéalisme de Kant est plus soutenu, plus logique partout que celui de Leibniz ; non pas encore assez cependant pour que le lecteur ne s'y puisse tromper, a Kant et les autres dynamistes allemands, dit Saint-Venant, admettent comme Descartes le plein universel et la matière continue, en la regardant toutefois comme compressible et élastique. Mais Kant ramène la conception de matière aux seules forces motrices et combat par toutes sortes de raisons l'existence des particules dures ou de l'impénétrabilité absolue. » Ce dernier point est exact; Kant définit la matière en termes abstraits : le mobile en tant qu'il remplit un espace. Cette propriété qu'a le mobile de remplir un espace est une force répulsive^ expansive, qui n'est jamais absolue ni par conséquent invincible; et on doit y ajouter une seconde propriété comme « seconde force fondamentale et constitutive de la matière » et condition de sa « possibilité » c'est une force d'attraction sans laquelle elle se disperserait à l'infini. Mais il n'est pas exact de dire que Kant admet un plein de matière continue, car il fait observer que « l'espace (aussi bien que la matière dont il est la forme) ne contient pas le monde des choses en soi, mais seulement le phénomène de ce monde, et qu'il n'est lui-même que la forme de notre intuition sensible externe » ; et il explique d'une façon très développée et très intéressante comment la divisibilité de la matière à l'infini (en d'autres termes le plein) est une idée mathématique de potentialité abstraite, et comment admettre « une multitude actuellement infinie dans l'objet » revient à nier l'existence en soi d'un tel objet, car autrement, il y aurait contradiction. Kant reconnaît au même endroit, ce qu'il n'a pas fait toujours, et ce qui est juste, que la pensée de Leibniz, touchant l'espace et la pure matière, est, autant qu'il peut la comprendre, fondamentalement la même que la sienne ^

1. Kant, Premiers principes métaphysiques de la science de la nature, traduction de MM. Ch. Andler et Ed. Chavannes, publiée dans la revue Za Critique philosophique (seconde série, 4<' année). — Voir le chapitre II de l'ouvrage, dans le numéro de décembre 1888 de cette revue, p. 442 et suivantes.

Saint- Venant termine son bref et substantiel opuscule par une adhésion à la physique mathématique de Boscovich, qu'il appelle le newtonien le plus conséquent qu'il y ait eu peut-être. Dans ce système, on regarde « les dernières particules des corps comme des points sans étendue, non contigus, centres d'action des forces répulsives et attractives, par lesquelles seules, après tout, les corps manifestent leur existence ». Les principes de Kant ont beaucoup d'analogie avec ceux de Boscovich, à première apparence, mais Boscovich est réaliste, comme Tétait Newton; il admet un espace en soi, un temps en soi, des points qui possèdent des modes réels d'existence. Ces modes réels sont où ils sont, et quand ils sont, et constituent en naissant et en périssant le temps réel et l'espace réel^. Ce réalisme naïf est audessous de la discussion. C'est au point de vue purement mathématique que l'hypothèse de Boscovich a conservé de l'intérêt.

B. Impossibilité du nombre infini abstrait et concret.

Gauchy, dans ses cours et conférences de mathématiques, avait l'habitude de démontrer par une méthode qui remonte à Galilée, qu' « on ne saurait admettre la supposition d'un nombre infini d'êtres ou d'objets coexistants » — ou même encore qui auraient existé successivement, car la preuve s'étend à ce dernier cas — « sans tomber dans des contradictions manifestes. En effet, si cette supposition pouvait être admise, on pourrait concevoir les objets dont il s'agit rangés dans un certain ordre et numérotés de manière que la suite de leurs numéros fût la suite naturelle des nombres entiers, 1, 2, 3, 4, 5... On pourrait donc supposer cette dernière suite actuellement prolongée à l'infini. » G'est cette dernière supposition qui est contradictoire. Gauchy le démontrait en faisant remarquer qu'à mesure qu'on avance dans la suite naturelle des nombres, les termes carrés vont s'espaçant de plus en plus : « D'où Ton doit conclure que si la suite des nombres entiers pouvait être supposée actuellement prolongée à l'infini, les termes carrés y seraient en très grande minorité. Or, cette dernière condition, qui devrait être satisfaite dans l'hypothèse, dont il s'agit, est pourtant incompatible avec cette même hypothèse, car dans la suite des nombres entiers actuellement prolongée à l'infini, se trouverait, avec chaque terme non carré le carré de ce terme puis le carré du carré, etc.. ^. »

1. Boscovich, Philosophie naturalis theoria (Yiennae Auslriae, 1759), p. 306 : De spatio et tempore.

2. Sept leçons de physique générale, par Augustin Gauchy, avec

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Celte proposition fondamentale peut être démontrée mathématiquement en mille manières; Gauchy en fait lui-même l'observation. C'est peut-être parce qu'il se défiait de la force des facultés logiques de ses auditeurs que, de tant de manières, il en a choisi une qui laisse une part importante à l'induction (en constatant la diminution croissante du nombre des termes carrés, comparativement à celui des termes non carrés, à mesure qu'on avance dans la série). Il pouvait aisément donner à la démonstration une forme apodictiquement certaine en raisonnant comme il suit :

Je dis que si toute la suite des nombres entiers était actuellement donnée il y aurait deux nombres égaux dont l'un serait plus grand que l'autre, ce qui est une contradiction formelle, in terminis, puisqu'on appelle égales les quantités dont l'une n'est ni plus grande ni plus petite que l'autre. C'est le sens des mots.

Supposons cette suite donnée, nous pourrons former une autre suite toute et exclusivement composée des carrés de la première, car on peut toujours faire le carré d'un nombre. Ainsi, par l'hypothèse, la seconde suite aura un nombre de termes égal au nombre des termes de la première. Or la première contient tous les nombres, tant carrés que non carrés; la seconde ne contient que des carrés ; la première a donc un nombre de termes plus grand que la seconde, puisque contenant tous les nombres elle contient tous les carrés, et qu'elle contient en outre les nombres non carrés. Mais, par hypothèse ou construction, ces nombres de termes sont égaux; donc il y a des nombres égaux dont l'un est plus grand que l'autre. Mais cette conséquence est absurde; donc il est absurde de supposer la série naturelle des nombres actuellement donnée. C. Q. F. D.

J'ai recueilli un certain nombre de manières de démontrer ce théorème; j'en ai essayé moi-même quelques autres. Celle-ci me paraît la plus simple et absolument irréfragable.

G. Les intégrations en mathématique et en physique.

Puisque le nombre actuellement infini est impossible, il est clair que la somme de tous les termes d'une série de nombres dont la loi implique le prolongement indéfini est, au moins dans l'expression, une impossibilité logique. Appelons intégration, pour abréger, l'opération (réelle ou simplement idéale) par

notice historique et appendices sur l'impossibilité du nombre actuellement infini, etc., par M. l'abbé Moigno, 1868.

laquelle on forme la somme d'une suite de termes reliés par une loi. Nous dirons alors que l'intégration d'une série indétinie telle que

est aussi impossible que celle d'une progression ascendante telle que 1 + 2 + 4-1-8..., de même et pour la même raison que l'intégration de la suite naturelle des nombres 1-h 2 H-3-1-4..., est impossible, à savoir, parce que de telles suites ne peuvent être considérées avec tous leurs termes sans supposer l'existence du nombre infini actuel, qui est démontrée impossible.

Cependant les mathématiciens parlent couramment de la somme de tous les termes de la série

comme égale au nombre deux, et en général de la somme de tous les termes d'une progression géométrique indéfiniment décroissante, et de bien d'autres séries à l'infini, dites convergentes. Ce langage est incorrect. En quel sens faut-il l'entendre?

Quand on a démontré que la recherche du rapport numérique de certaines droites dans une figure donnée (par exemple du rapport du côlé d'un carré à sa diagonale) ne peut conduire à aucune fraction numérique déterminée, on ne laisse pas de parler de ce rapport comme s'il existait, puisque l'on dit d'une suite de fractions calculées qu'elles en approchent autant que l'on veut.

Quand on a démontré que la racine carrée de tel nombre donné ne peut être ni un nombre entier ni une fraction, il semblerait en bonne logique que cette racine doit être dite n'exister pas numériquement, n'être pas un nombre, et le nombre donné n'être pas un carré; mais on passe outre, et l'on admet l'existence de nombres incommensurables, expression dont le sens littéral est : nombres qui ne sont pas nombres, et rapports qui n'ont pas de termes possibles. Cette contradiction, — qui toutefois n'a môme pas l'air d'un parodoxe, tant l'infinitisme nous en a" donné l'habitude, — procède de la même illusion que les précédentes : si l'on pouvait terminer une certaine opération qu'on ne peut pas terminer, le nombre qui n'existe pas existerait. Cette opération, par cela même qu'elle est interminable, peut se continuer indéfiniment, et, selon le moment où elle s'arrête, elle fournit des nombres qui sont les racines carrées de certains autres qui diffèrent de moins en moins du proposé; mais au proposé luimême, à sa racine, on ne saurait atteindre de cette manière, puisqu'il n'est point un carré.

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Quand on a démontré que deux rectangles qui ont un côté commun sont entre eux comme leurs côtés différents, ceux-ci étant supposés commensurables, on prétend qu'il en soit de même lorsqu'ils ne le sont pas; mais cet énoncé est contradictoire en soi, puisque ces côtés différents ne peuvent alors se traduire simultanément en nombres, à savoir au moyen d'une même unité linéaire. La vérité, c'est que l'un de ces côtés a peut être remplacé à volonté par des droites, a', a", a"\ etc., formant une suite indéfinie, toutes commensurables avec l'autre côté b, et aussi peu différentes que l'on veut de a dont ils approchent indéfiniment, en sorte que la propriété en question, de laquelle dépend toute la théorie des mesures en géométrie, s'applique réellement à deux rectangles dont l'un est le premier rectangle donné, et dont l'autre est un rectangle aussi peu différent que l'on veut du second rectangle donné. L'opération indéfinie cause l'illusion d'une marche qui, d'approximation en approximation, conduirait à la détermination d'un rapport qui en réalité n'existe pas, tandis que l'objet dont on approche réellement et indéfiniment, c'est l'un des rectangles donnés avec lequel l'autre n'est pas commensurable et que l'on remplace par d'autres qui le sont et qui diffèrent du premier aussi peu que l'on veut.

Enfin quand on a démontré qu'un cercle et sa circonférence sont toujours compris entre les aires et les périmètres de deux polygones rectilignes réguliers dont on considère le nombre des côtés comme indéfiniment croissant, et dont on peut rendre les mesures respectives aussi peu différentes que l'on veut l'une de l'autre, on en conclut que cette figure courbe a les mêmes mesures, superficielle et linéaire, que les polygones, en remplaçant \e périmètre rectiligne par la longueur de la ligne courbe et l'apothème par le rayon. Mais, de quelque façon qu'on s'y prenne pour justifier cette identité, en passant, comme on dit, à la limite, on n'évite pas le sophisme de confondre la longueur courbe et la longueur rectiligne, en tant que rapportées à une même unité linéaire empruntée à ce dernier type. La seconde de ces longueurs est telle, qu'entre deux points quelconques de la ligne sur laquelle on la mesure, il n'en est aucun qui ne soit sur la même droite ou direction qu'eux; la première de ces longueurs est telle, au contraire, que, entre deux quelconques de ses points, quelque rapprochés qu'ils puissent être on peut toujours en assigner d'autres, et en tel nombre que Von veut qui ne sont point sur la même droite queux^. Il est donc parfaitement clair qu'il n'y a pas de mesure commune entre la droite et la courbe. Le