Celte formule est la vraie définition d'une ligne courbe

prétendu passage à la limite est un changement sophistique de définition et d'essence ; en d'autres termes, la limite n'existe pas, puisque l'opération par laquelle on considère des polygones dont le nombre des côtés croît indéfiniment est une opération illimitée. Le calcul du nombre 71 = 3,14159265... exprime bien par sa série interminable celte vérité, que le rapport de la circonférence au diamètre n'est pas réellement un nombre, n'est pas réellement un rapport. La limite qui déterminerait ce rapport serait la limite d'un calcul prolongé sans limite I Voilà ce que dit la logique ; on le reconnaît quand on déclare impossible la quadrature du cercle ; on le nie implicitement quand on veut pouvoir regarder le nombre tt comme un nombre. L'affirmation de l'infini actuel est donc le fond des méthodes mêmes dont l'emploi a pour but, à ce qu'on prétend, d' « éviter la considération de l'infini ».

On comprend bien que je n'attaque ni les propositions de géométrie ni le calcul. Je ne suis pas si ignorant. J'attaque le langage infinitiste de la science de la quantité, et, véritablement, il a tant d'importance, ce langage, les formules reçues de l'enseignement dénotent l'existence d'une habitude d'esprit si vicieuse et d'un préjugé infinitiste si profond, que, le jour oîi l'on reconnaîtrait la nécessité logique de changer ces formules, on se trouverait à l'entrée d'une réforme étendue en proche à toutes les parties de la philosophie.

Il est aisé de voir en quoi consiste et combien facile serait le changement des énoncés et des formules. Le moyen de comprendre logiquement, en la rapportant au type rectiligne, la mesure d'une ligne courbe, — la ligne courbe étant définie dans les termes ci-dessus, — c'est de substituer à cette dernière un polygone aux éléments rectilignes de nombre indéfiniment croissant et de grandeur indéfiniment décroissante. Ce polygone seul serait dit mesurable, seul arithmétiquement défini; comme tel, il différera toujours de la courbe, donnée géométrique, mais de moins en moins et aussi peu que l'on voudra pour l'intuition et pour tout usage pratique. Un problème impossible est ainsi remplacé par un problème d'approximation indéfinie, qui est résoluble. Ce n'est pas la valeur d'une mesure inassignable, qui doit être dite approchée, comme on la dit à tort, puisqu'on ne saurait approcher que de ce qu'on suppose exister, mais c'est la figure mesurable et mesurée qui est approchée : approchée de celle qui n'est pas proprement mesurable.

La même réforme de conception et de langage s'applique, sans qu'il soit besoin de plus d'explications, aux autres cas de valeurs incommensurables et de séries indéfinies de termes,

LES INTÉGRATIONS 41

mentionnés ci-dessus. Par exemple, la quantité représentée par la formule indéfinie

ne doit pas être regardée comme identique à Tunité, puisque Tunité ne serait atteinte qu'au terme d'une sommation sans terme, ce qui est contradictoire; mais bien comme l'expression symbolique de nombres indéterminés que l'on peut déterminer à volonté de manière à ce quils diffèrent aussi peu que Ton veut de l'unité. Le signe de l'égalité dans

doit s'entendre dans ce sens et devenir tout symbolique.

La mathématique ne serait donc plus du haut en bas, quand elle veut généraliser les notions de nombre et de mesure, qu'une méthode de solution de problème par approximation? Oui, mais une méthode à' approximation indéfinie est, pour quiconque s'en est bien rendu compte dans la plus haute forme de cette méthode : le calcul différentiel et intégral, tout autre chose qu'une méthode à' approximation ordinaire. Elle donne, à l'aide d'expressions et de formules convenablement expliquées, où les signes dits de l'infini et de l'infiniment petit ne sont que les symboles de Vindéfinité, des théories parfaitement rigoureuses pour la solution de problèmes que la doctrine infinitiste, ouvertement, et la méthode dite des limites, insidieusement, voudraient faire dépendre d'un art de nombrer ce qui n'est pas nombrable, et d'atteindre un résultat refusé par la nature de l'opération destinée à le poursuivre*.

Nous avons, dans ce qui a été dit (dans la première des notes ci-dessus) au sujet des masses continues et de l'état où leur supposition nous forcerait à nous représenter la matière, un moyen de comparer deux manières de traiter l'infini et de comprendre l'intégration des éléments de grandeur. La première et la plus commune manière est toute tirée des sens et de l'imagination ; elle consiste à imaginer des points matériels contigus en contact rigoureux les uns avec les autres, assez grands pour ne pas s'identifier avec leurs proches voisins, et dès lors tous entre eux de proche en proche, et assez petits pour que chacun d'eux puisse être considéré comme ne pouvant se diviser entre d'autres points. Cette vue qui, à l'examen, se trouve contradictoire, est le vrai fond de l'interprétation habituelle du calcul intégral en

1. Voir la Critique philosophique^ première série, VI année, t. I, pp. 100 et suivantes, 135 et suivantes.

mécanique rationnelle et dans la physique mathématique, aussi bien que de Tinfînitisme le plus vulgaire. L'autre manière est la seule vraiment scientifique. Elle s'attache aux termes abstraits de la question et à l'idée de Findélini, idée toute rationnelle et claire. Elle définit la masse continue un système de points dits matériels (ou molécules inétendues, sièges de forces, notions qui sont au fond équivalentes) tels que, entre deux d'entre eux, quelque rapprochés qu'on les suppose, il peut toujours en être assigné d'autres. Voilà l'idée du continu; aussi est-ce celle des essences géométriques, et de leur divisibilité non pas infinie, ou actuelle, mais indéfinie ou potentielle, et enfin du calcul infinitésimal interprété rationnellement. Par quel procédé, par quels raisonnements, ce calcul arrive-t-il à des résultats rigoureux en employant des signes, des symboles qui semblent être ceux de la doctrine infinitiste, c'est-à-dire de la division infinie actuelle, on devrait le savoir depuis Leibniz, si l'on avait saisi la rigueur logique de la brève justification que ce philosophe, le plus concis de tous les penseurs, a donné de son merveilleux algorithme. Mais ce n'est pas le lieu de revenir sur ce point ^

Il se présente ici une difficulté curieuse, facile à lever, d'après nos principes. Tout purement indéfinitiste que soit le véritable esprit du calcul infinitésimal, et qu'il doive l'être aux yeux de quiconque se rend à la démonstration mathématique de l'impossibilité du nombre infini, il ne laisse pas d'être logiquement inapplicable aux intégrations concrètes; ou bien il faudrait, comme certains le veulent, — et malheureusement Leibniz a été le premier de ceux-là, — que les êtres naturels, les corps, pussent se former de multitudes de monades, données réellement et distinctement les unes des autres, et ne constituant pourtant pas toutes ensemble des touts numériquement déterminés. Pour moi, je ne sais rien de plus clair et convaincant que le raisonnement en quatre lignes, rapporté ci-dessus d'après Gauchy, à l'effet de démontrer que l'existence actuelle du nombre infini concret impliquerait celle du nombre infini abstrait, laquelle est impossible. Mais alors il est manifeste que le calcul intégral, supposant une différenciation préalable telle qu'entre deux divisions, quelque rapprochées quelles soient, on en puisse toujours supposer d'intermédiaires, ne devrait pas s'appliquer à la sommation des quantités formées d'éléments entre lesquels il existe des vides et dont les sommes sont toujours des nombres. 11 dépasse le but. Nous lèverons cette difficulté en remarquant qu'il l'atteint de la meilleure manière possible en paraissant le

1. \oir Essais de Critique générale. Premier Essaiy t. I, p. 270 et sq.