FONCTIONS ABSTRAITES DIRECTES

Tous les rapports que des nombres peuvent avoir entre eux sont du genre de celui que tous les nombres ont avec l'unité : rapport de composition, rapport du tout à ses parties. Aussi les relations numériques rentrent toutes dans la plus simple d'entre elles, l'addition, qui, elle-même, se réduit à la composition des unités ; et cela doit être, car rien de plus ne nous est donné dans la représentation du nombre.

Une relation entre deux nombres consiste primitivement en ce que l'un se compose d'un certain nombre de fois l'unité, et l'autre d'un certain autre nombre de fois, et cette formule ne nous apprend rien. Mais exprimons la même relation en posant que la somme de ces deux nombres est un troisième nombre ; nous obtiendrons alors une formule féconde, parce que les deux premiers nombres étant déterminés, quels qu'ils soient, le troisième se trouvera déterminé pareillement, et aussi parce que de semblables relations entre

tant de nombres qu'on veut se laissent toujours ramener à la relation de trois nombres.

La formule Symbolique de cette relation est : x + y — z, dont voici le sens :

x9 y et z sont les symboles de nombres, deux desquels étant variables, ou déterminai)] es arbitrairement comme parties, le troisième est déterminé par là même comme somme. Un symbole n'est rien de plus ici que le signe qui représente un nombre quelconque.

Le signe positif est le symbole spécial de la cdmposition des unités, appliqué à deux nombres dont les unités sont jointes.

Le signe d'égalité exprime l'identité de deui nombres obtenus par des voies différentes, savoir, 1° au moyen delà composition des unités de divers a titré s nombres (deux dans le cas présent), 2° au moyen de la composition directe des unités. Ce signe fondamental des spéculations mathématiques implique donc identité et distinction, selon le point de vue. Il peut s'étendre à deux nombres obtenus par des procédés quelconques/ et alors un troisième nombre se trouve sous-entendu : c'est celui qui, formé directement , serait identique avec le premier et avec le second tout à la fois. Tel est le sens général d'une équation: A =* B.

Kant a commis une erreur manifeste en signalanft dans la relation :# 4-0= s, un jugement synthétique. Une proposition telle que celle-ci: cinq et sept font douze, qu'il prend pour exemple, se démontre aisément dans un système donné de numération, soit le

système binaire (ÎOi 4- 111 = H 00). Or l'établissement de ce système, et l'addition que j'effectue ici selon ses: règles, supposent ce seul principe: ajouter deux unités à un nombre, c'est ajouter à ce nombre une unité et puis une autre unité ; et ce principe est lùi-mênie analytique, puisqu'il se trouve identiquement contenu dans la définition du nombre. L'intuition directe et immédiate des nombres dont se réclame tant, et qu'il lui plaît de considérer à part de leur génération, est une synthèse obscure qui n'arrive à quelque précision que par l'analyse ; or l'analyse du nombre ne peut être que l'explication de la composition des unités.

II faut voir maintenant comment d'autres fonctions numériques dérivent de la première et de là f)lus simple.

Siipposorts que dans la relation : x 4- y = z, le iiombre y soit lui-même une somme, x -+- s, dans laquelle s est une somme, x + 1} dans laquelle t est une somme, x + w, ..., jusqu'à une dernière somme, x -±- x. Cette supposition nous conduit à une fonction, caé particulier dé la précédente que l'on eàt convenu d'écf ire d'une manière générale : xy = z. Le nombre y exprime ici tout autre chose que dans la première fonction, à savoir, le nombre de fois que le nombre x est répété pour produire le nombre z.

Attachons-nous à cette nouvelle fonction, et supposons que, dans xy = z, le nombre y soit un produit xs, dans lequel s est ûrï produit xt9 dans lequel t est un produit xu} ..., jusqu'à un dernier produit xx. Nous

distinguons alors, comme cas particulier de la fonction de production, la fonction puissance qu'on est convenu d'écrire d'une manière générale: a?=z. Le nombre y exprime maintenant le nombre de fois que x est pris comme facteur pour donner la puissance %.

Pour continuer ce genre de déductions, nous supposerons, dans la fonction a?=z9 le nombre î/égal à#*, puis s z=zxx,...} jusqu'à une dernière puissance of, et nous arriverons à une fonction exponentielle, soit *w=z, dans laquelle y représentera, par exemple, le nombre de fois plus un que x figure successivement comme exposant.

Enfin, toute fonction, f(x,y), peut conduire à une fonction nouvelle dont la formule générale est :

x étant un nombre variable, arbitraire, et y le nombre de fois que x figure dans la composition indiquée par le signe f (nombre égal à celui des parenthèses finales plus un , et seconde variable indépendante de la nouvelle fonction).

On voit que les fonctions dites primitives ou simples sont en réalité des fonctions de fonctions, et qu'il n'existe qu'une seule fonction numérique radicale, la sommation.

Ces fonctions dérivées sont en nombre indéfini par le fait même du mode général de dérivation qui les lie. Toutefois, la spéculation mathématique ne s'est appliquée jusqu'ici qu'aux deux premières et à des cas particuliers de la troisième. J'ignore si la considéra-

tion générale de celte dernière et des suivantes présenterait une grande utilité; mais des recherches dans celte direction valent, je crois, la peine d'ôlrc tentées. 11 y a lieu de se demander tout d'abord si les nouvelles fonctions sont propres à la représentation des grandeurs continues, et possèdent pour cela des propriétés analogues à celles d'un produit ou d'une puissance. Celte question dépend de la considération dés fonctions inverses.

Remarquons encore que le mode de dérivation des fonctions usuelles est un cas particulier de celui que j'énoncerais ainsi: substituer à la variable y d* une fonction connue, f(xyy)9 une fonction quelconque également connue, <f(x>t); substituera t une autre fonction,*}/(#,w), jusqu'à une dernière fonction »(x,x).

Mais la supposition f=y = ty = ... = 6>estla plus naturelle en co que nous parlons d'une fonction unique primitivement donnée.