DériïflTIOïîS DE l'algèbre et de l'arithmétique

Jusqu'ici les fonctions nous apparaissent comme des termes de la série indéfinie des nombres, termes plus ou moins espacés dans cette série et composés par la sommation ou par les modes qui en dérivent, au moyen de certains autres nombres variables. Il faut généraliser celle conception.

Considérons spécialement les trois premières relations :

x 4* y = z9 xy=? z, a?=*.

Il ekt clair que nous pouvbnà suppose* uft rômbtiè itodéfirti de nombres différents propres à feàlisfelre h cei relations cri se substituait \>\\t groupes tertiaires hux kyiûbblek £, y et i, puisque dfsâ nbtobrGs quelconque* étant pris pour x et y, certains bonlbres côrrespbH* dâhls fce trouveront par 15 mérfic déterminés \)6ût \.

Cela ptJké, l'étude dé fcê* tclatiohà à déufc matehe* à kttïtrc.

On se propose l'analyse des fonclrtiiiâ feti elles* firmes, des conséquences qu'elles tenfchneiil, des transformations quelles comportent, des lois de leWté Combinaisons mutuelles. Lek nombres et letifà »rfeA iàllons définies sbnt et demeurent exprimée put flèà sîgtie* génétauK, par des symboles. Oh ikllUJst aforè ittiplteiicmënt que les horiibreé suppe^ è&uklek Sighek Sbtit propres à Vérifier lès Irétaltoftk exprimées, Cfe qui n'aurait pas toujôiiM ltbu s'ils étoiétol déterminés dune manière arbitraires fcetté âitâl^B èSt Ta/(/è6re.

On se propose la réalisation ncimérfqro defc fonctions dont les éléments sont eux-mêmes donnés numériquement. Ce problème, dont Yhriïhméïiqù'è bst la àolôliott, petit s'étendre joàqu'atlx fonctions qlti èe déduisent des premières. 11 pfésbtitë âldrs dés èàfc relativement pld&difôéilefc et des fcak impossibles, ébmfne nôtis Talions Voir. Mais là détef toln'atioû arithmétique des fonctions directes est tbtl jours fêdiîsàbîé, et les manières d'opérer se raibêbent sifoplfetoentàla numération, c'est~à-direau systèmeadopté quelconque qui répond* h la qutfslion tai vante: Uïl Nombre étant

DES FONCftokg NUMÉRIQUES. ki§

tibrinê, etirVte 'ùû autre nombre plus gYand que le prt- 1Meï a'tine ott ae plusieurs unités en nombre déter-

miné.

Le problème général de l'algèbre peut encore s'énoncer ainsi :

Uriè ou 'plusieurs relations étant données entre des quantités représentées tyar des signes (abstraits et généraux), déterminer de nouvelles relations telles qu'une ou plusieurs de ces quantités s'y trouvent exprimées en fonction des abtréîs. Ou fchcore : déterminer d'une manière générale les variations de certains nombres correspondantes à celles de certains autres nombres qui leur sont liés par des relations quelconques définies et données.

Les applications de l'algèbre à l'étude de la nature dépendent de ce fait primordial : que les phénomènes apparaissent comme quantités qui sont fonctions les unes des autres, ou dont les variations sont régulièrement iiéeà.

S. frONCTIOfts ABSTRAITES INVERSES.

Sur ce qui précède, il est aisé de comprendre comment se généralisent les fonctions élémentaires ei-dessus exposées :

* + y=fr*, *y****, à?2±i.

Aii lieu d'y considérer x et y comme arbitrairement

variables, ci z comme déterminé eh conséquence, on

peut supposer donnés, soit z et y, soit z et xr et se proposer de ^déterminer la valeur correspondante do

420 APPENDICE m

x, ou celle de y. De là proviennent les fonctions inverses que je ne m'arrêterai pas à définir, et dont les notations convenues sont :

iîî

identiques qtiam an X ) sens généra).

identiques

quant an

sens général

log z Wnnn.

V~\ùQx)

Ces fonctions n'ont pas moins d'étendue que les précédentes, car elles les suivent toujours nécessairement. Mais si on les envisage en elles-mêmes, on reconnaît un fait nouveau : c'est que le problème de déterminer x ou t/, lorsque z et y, ou z et x9 sont assignés numériquement, n'est soluble que dans certains cas très particuliers. Au point de vue de la pure algèbre, ou des relations universellement exprimées, on ne trouve point ici d'obstacles car les valeurs numériques n'étant alors que supposées, sans détermination aucune, il suffit de se réserver d'avoir égard à leurs conditions respectives de possibilité, au moment où il serait question de les déterminer; jusque-là , le calcul opère sur des faits logiques et des matériaux abstraits, pour construire une sorte de grammaire générale des nombres. 11 n'en est pas de même au point de vue arithmétique ou des vérifications pour ainsi dire individuelles des relations. Là se présentent les

résultais négatifs, los résultais fractionnaires, les résultais incommensurables, tous également impossibles ou absurdes, cl qui répondent à des problèmes insolubles comme élan t dénués de sens, s'il s'agit simplement de déterminer des nombres. En effet, la partie d une somme qui contiendrait moins d'unités que cette même partie, ou le quotient d'un nombre par un autre qui n'est pas sous-multiple du premier, ou la racine de quelque degré d'un nombre qui n'est point une puissance de ce môme degré, sont des chimères inintelligibles.

Mais ces mêmes résultats obtiennent un sens en tant que solutions de problèmes concrets et comme symboles de certaines relations numériques envisagées dans la grandeur continue. Je donnerai le principe de celte interprétation sous les rubriques théorie des valeurs négatives, théorie de l'indéfini. On verra qu'il arrive alors non que la signification du mol nombre s'étende, ce qui n'est pas possible, mais que les fonctions inverses s'élèvent à une entière généralité pour l'expression des rapports arithmétiques des parties du continu. L'unité devient une quantité concrète indéfiniment divisible. Les symboles représentent des quantités du même genre, et comptées, s'il s'agit de T'espace ou du temps, par exemple, à partir d'une certaine origine arbitraire. La réalisation numérique des rapports exprimés peut, enfin, n'exister qu'en puissance et n'être assignable qu'approxiinativemcnl; mais c'est à tel degré d'approximation que l'on veut.

Lors donc que l'on fait usage, dans la théorie pure,

12% APp*hd;ce h,

dos termes convenus : nombres négatifs, nombre* jkqfë

tiouwires, nombres i^com^ensMrablejs , el 4e» signes

écrite correspondants, tels que— a, — , il est néces-

sjairc de bien savpir : 1° que pris séparément Qi|

comme relations simples, ils n'ont aucun seps; 2° que ce^

pendant — a et - peuvent exprimer symboliquement

4çs relation* qui, démêlées ou approfondies^ $ç tçon-j

vent être de la forme (A -h a) — a, — Aa; 3* que ces

sortes de relations se rencontrent dans l'ordre des grandeurs continues; 4° que la continuité permet auss; d'assigner des valeurs numérises de $ et cfô b propres

à satisfaire à une relation telle que f j \ = A , quels

que soient m ot A, sqms la réserve d'une différence indç^oirnent et arbitrairement réductible.

Par suite de la généralisation des fonctions inverses, les fonctions directes elles-mêmes s'étendent; et leur

sens primitif, le sens proprement numérique, n'est plus qu'un cas très particulier de leur signification totale. Celle-ci s'obtient en considérant comme substituablos aux symboles des nombres ceux des parties aueleonques, mesurées, de la grandeur indéfinie et con-, tinue. Mais il fautquccelte substitution sexomprçnne.

Elle se comprend en effet clans les fonctions élémentaires somme, produit et nuissqnce, d<jnt toutes les variables indifféremment peuvent être des fraclions. Et, pr e^emnle, les e^posan^s fraçlioiinairfs

DES FONCTIONS SPBfatfQUES. 4f$

ont uç sens pour le calcul à caisse dp!a relation V a?'=?#\

vérifiée quels que soient s et (. lien est de môme des ç*?

posants de la forme t— sk, à cause, de, cetlp autre rpfôr

tfen — « a^-«. (Voyez Appendice IV, ?, et V, t.)

Pc cetle généralité des première? fonctions proviennent leur importance et le grand rôle quelles jouent clans les applications. Si nous revenons maintenant à la série, des fonctions déduites les unes des autres par la loi exposée ci-dessus; une question s'élève: Est-il permis de supposer à ces fonctions, au delà do la puter S%ncc, des exposants autres que numériques (nombres entiers)? En d'autres termes, les nouvelles fonctions, on du moins qu^lques-unçs d'eplrc elles, 1*8 premières, jouissent-elles, quant à leurs exposants, de propriétés analogues, à celle que possède la fonction puissance? S'il en çst ainsi , le nombre des fonctions assimilables en tout aux premières, ou s'étend, ou devient môme indéfini. Dans le cas contraire, nous pourrons, à la vérité, faire entrer les nouveaux exposants dans telles relations algébriques qu'il nous plaira ; nous, no déduirons de la considération simultanée de ces relations que d'autres relations éf^leiûW^ vraies : nous ne sortirai^ pa§ de la grammaiiç du calcul QtiiQWf n établiras q\ie 1* liai^a de§t «gftes ; mais nos Qg&atrçps n'auront peut-être ^e signification asilikwéliquô qu gé^çftéttriquequedaq? des cas très gartfctriieçs. Qn f& 4WMR4e ^pnç si iea fonctions afeft* traites qui suivent la simple puissance* eA %VU UftAlfillI

424 APPEKOICE II.

à celle-ci par la même loi que celle-ci tient au simple produit , souffrent pour toutes leurs variables des quantités continues quelconques, et présentent , par suite, une véritable utilité pour l'étude de la nature; ou si elles n'admettent généralement que des valeurs discrètes.

La solution de cette question intéresse lout au moins la méthode et l'organisation des mathématiques pures, et, à ce titre, mériterait l'attention des géomètres. Mais les trois premières fonctions sont les seules jusqu'ici dont on connaisse bien les relations, soit entre elles, soit avec les lois fondamentales de Tordre concret. Certains cas particuliers de la quatrième ont seuls été étudiés.

Pour l'éclaircissement de ce desideratum mathématique, je crois devoir placer ici quelques formules générales auxquelles donne lieu la considération de la quatrième fonction. J'adopterai, pour abréger, les notations :

.'(y fois)

x =»«<* = a; log log log.... (y fois) «rslog^a.

Si nous prenons x pour la base d'un système de logarithmes, nous aurons:

log1* *w = x(J"i) log x = x*-**;

log1*' J5W = x{J"% log x = x'7 ~,; ; et généralement

log"1 xf>] = xl'-n), et enfin log"-11 xlJr) = x.

Il s'ensuit de là que les trois problèmes fondamentaux qui se posent dans la nouvelle fonction peuvent s'énoncer ainsi :

1° Étant donnés z et t/, déterminer xy c'est trouver la base d'un système de logarithmes dans lequel, prenant un nombre donné de fois le logarithme du logarithme d'un nombre donné, on obtient pour résultat celte môme base.

2° Étant donnés z et x} déterminer y, c'est trouver le nombre de fois qu'on doit prendre le logarithme du logarithme d'un nombre donné, pour obtenir un autre nombre donné qui est la base du système.

3° Étant donnés x et y, pour déterminer z (et c'est ici le problème direct, toujours soluble), on serait conduit par la môme méthode à prendre, dans le système dont la base est x, le nombre dont x même est le logarithme, puis le nombre dont ce nombre est le logarithme, etc., et cela y — 1 fois.

Le nouvel exposant y marque donc le nombre de fois plus une que le logarithme est pris dans la fonction. On pourrait le nommer, sauf la bizarrerie du mol, logarithmarithme, non plus qui numéral rationetn, mais bien qui numerat logarithmos.

l\. FONCTIONS CONCRÈTES.

Le caractère des fonctions abstraites est de se ramener toutes à la loi unique de sommation, soit par ordre direct, soit par ordre inverse de formation, et soit d'ailleurs que la détermination des variables dépendantes, dans les cas particuliers, s'opère exactement ou avec une approximation indéfinie par la substitution d'une quantité divisible et continue à la simple unité de nombre.

423 Arç^toiçç IV

Les fonctions concrètes §ont indépendantes les unes des autres quant à leur origine, et leur nombre est illimité. Dans up système d'étendue figurée, par exemple, tout mode défini de dépendance de certains éléments variables, par rapporta certains autres, constitue une fonction spéciale. On peut trpiteç celte fonction par les procédés propres à la géométrie, et en découvrir ainsi les propriétés. Mais si Ton considère les relations numériques des quantités comparées 9 leurs upités, on est conduit à représenter la fonction concrète par une fonction abstraite, et à étudier celle-là dans celle-ci. La méthode générale de cette réduction fut créée par Descartes et étendue par Leibniz et Newton. Ainsi, la distinction des deux sortes de fonctions semble s'effacer au fond. Toutefois, des fonctions concrètes très simples ne peuvent être exprimées abstraitement qu'au moyen de symboles infinitésimaux ou imaginaires représentant des séric^ indéfinies. Les fonctions circulaires sont dan$ ce ca$.