PRINCIPE D'HOMOGÉNÉITÉ

Attacher un sens çauçret k \me fonction abstraite, c'est considérer les nombres symboliques de celle-ci comme représentant les rapports à leuçs unités res-

! actives de certaines quantités concrètes dont on fixe a nature ; et c'est de plus assigner les unités qn\ servent à réduire ces quantités en nombres. Un principe général peut être posé H ce sujet : La relation quelle quelle soit ne sera point troublée si une çu plusieurs des unités arbitraires qui y entrent sont changées- Ce

DES FONCTIONS flUrçflMQOT». ffl

principe est incontestable, poqrvi^ que les unités so^ç^ vraiment arbitraires. Mais aussi n'énonce- l-il alors qu'une vérité identique et inutile. Comment les unités peuvent-elles être arbitraires, et dans qqel c^s? C'est ce qu'il est intéressant à recherche?.

Des quantités données de même nature entrent de plusieurs manières dans le calcul. La plus élénpentaire, et la seule directe, a lieu quand on prend pour unité une quantité déterminée de la nature de celles qui sont proposées, laquelle étant doublée, triplée, etc., fournit précisément une quantité double* triple, etc., de l'espèce voulue. D'autre? fois, on substitue à un ordre un autre ordre de quantités, rn^is tellement choisies qu'elles varient toujours en mémo rapport que les proposées, auxquelles elles correspondent, de sorte que les nombres des unes font connaître les nombres des autres et en suppléent l'emploi. Enfin, il suffit qu'une quantité croisse ou décroisse suivait jinc loi déterminée, pour que les nombres qu'eue donne puissent devenir d'un usage régulier dans le, calcul,, au lieu de ceux que donne une autre quantité qui, suiva.pt sî\ loi propre, passe par jutant clélat§ particuliers e\ distincts correspondants à ceux de 1$ prçp&iôre. Je citerai pour exemple la triple évaluation de l'afigle obtenue: 1° p^r SQji rappprt à son unité ^ 2° p$ç la piesi^re 4'un arc corrélatif; 3° par celle d'pnQ liçnç trigonctmélrique.

Erç {général, tout concret pçut suppléer dans les applications, de l'algèbre yn autrç concret don} il est fqnpUop, $i serment la WtiQrç Ç%t connue. §L

pour la pratique, réduite en tables. Mais parce que des systèmes de grandeurs peuvent ainsi se substituer à d'autres systèmes, il ne faudrait pas croire que le calcul établit des relations directes entre desquantités de nature différente, ou quelles que soient les unités de celles-ci. Au contraire, c'est l'impossibilité de lier par des fonctions abstraites les nombres concrets les premiers venus, quoique réciproquement dépendants, qui oblige à introduire dans les équations, au lieu des quantités qu'on a en vue, celles qui s'y rattachent suivant un mode connu, mais qui se calculent par d'autres unités. On dira, dans le sens concret, que tel côté d'un triangle est fonction d'un autre côté et des deux angles adjacents à 'ce dernier: cela se voit par la superposition; maisilncs'ensuitpasque, prenant pour représenter les angles d'une part, pour représenter les côtés d'autre part, des quantités de ces deux genres, évaluées au moyen d'unités respectivement appropriées mais indépendantes l'une de l'autre, on pourra construire une formule propre à la détermination mutuelle des nombres variables de la fonction. Autant vaudrait se proposer de comparer directement n mètres avec p angles droits, par exemple. Une équation s'établit entre des nombres. Comme ces nombres sont formés d'une seule unité abstraite , de môme aussi leur fonction mutuelle, en tant que concrets, veut qu'ils se trouvent liés de manière à dépendre d'une même quantité, d'une môme unité concrète. Il en est ainsi au fond, et nonobstant l'apparence contraire, dans toute équation dont les nombres ne sont pas de simples

rapports, mais varient avec certaines quantités prises pour unités. Des grandeurs qui ne reconnaîtraient point un même principe de mesure, une unité commune de quelque manière, n'auraient non plus rien de commun et ne seraient pas mutuellement déterminâmes en nombres.

Ainsi, les équations où figurent des surfaces, des volumes, ne renferment, au fond, que des lignes ; et de telles équations sont possibles, parce que la quantité surface ou volume dépend d'une corrélation établie entre l'unité de chacun de ces genres et l'unité linéaire. En effet, P et P' étant deux parallélépipèdes à mesurer, a, 6, c, a', 6', c', leurs arêtes respectives, on partira de la proportion démontrée par des considérations géométriques :

P abc

F' ~ u'b'd Cela posé, prenons P' pour unité de volume; le parallélipipède quelconque P sera donné de quantité par le produit correspondant abc, quelle que soit l'unité linéaire au moyen de laquelle a, b et c deviennent des nombres, pourvu qu'on divise ce produit par le facteur constant a'b'c. Mais ce dernier varie aussi avec l'unité linéaire. Donc la condition à remplir pour la mesure de P, et pour, son introduction dans le calcul, est l'établissement d'une relation entre l'unité linéaire et les arêtes qui déterminent le volume unité P'. La plus simple de ces relations est: a = 6'= c' = ! , dont on convient habituellement. Il est donc manifeste que l'unité de volume n'est pas arbitraire en ce sens qu'on

fouisse la fiieir* et là faire servir du calcul d'autres soldée, s 'a iïs impliquer un rapport entre les lignes qui là constituent et la ligne quelconque prise pour unité îifiéaire.

De môme, les équations qui portent à la Fois sur des angles et sur des droites ne renferment au fond que des 'un lies lie celle dernière espèce. ÏI n'existe aucun moyen de comparer là quotité angulaire a là quotité linéaire, direciciriehl et en général, quoique telle figure nous montre l'une déterminée par l'autre; èlil ii'eii peut point exister, parce que la loi géométrique hë fait pas connaître la loi correspondante des nombres, celle-ci s'obtenànt Seulement par voie de comparaison àHltimétique et d'opérations qui ne se fconçoivent qu'entre quantités hômdgèn'es. Ainsi, pour introduire concurremment deâ lignes et des angles dans le calcul, il faut, eh générdl, substituer à cesderhiers, ou des rires Supposés Rectifiés, où des lignes trigôhbrtiGtriqUeâ : manière thdirectë de lier Tùnïlê Sangle à l'unité linéaire et de l'en faire dépendre.

Ml de la géométrie je jpassé à là statique, on sait que les forces y sont Représentées cbiAmé quantités par des droites. Si l'on suivait quelque autre convention, il faudrait toujours lier les deux sortes d'unités, T)0 ut traiter iès problèmes par l'analysé géométrique.

Là dynamique roule sur les relations de là quantité tiénâuè et de là quantité dl&èë. Là vitesse n'a pas d'iliiltè propre, indépendante, et les forcée se mesurent bàir des eWblb possibles de tooiivemettt. Or Tuniléd'ë-

tendue et celle de datée sont hécessairement liées dans

les équàliofts entre ces deux genres dé quantités. Sij par exemple, x = l2 est la loi de la chute des graves; et que l'unité linéaire soit lcrtièirc, il faut que l'unité àe temps soit la durée pendant laquelle un grave parcourt le mètre à l'origine de sa chute. Veut-on que l^hilé de teitps soit néanmoins la seconde, il faut mut-

tiplier l* par g-gf, quiestle nombre de toètres parcouru

pëiiâànt la première seconde. iSi donc les deux unités sont arbitraires, ce n'est qu*en apparence, puisque </, déterminé pour les lier l'une à l'autre, est alors indispensable dans l'équation Au reste, la durée même n'est pas mesurable. Le sens de ( comme mesuré, dahs x -- f[i)9 esl celui d'un nombre d'étendues égaies, parcourues d une part dans lin mouvement connu et supposé uniforme, pendant que x est parcouru d'autre part dans un autre mouvement. L*uhité de temps S'obtient donc par là mesure de retendue. La secôhdè n'est évaluée au fondqû'au moyen d'une partie aliqiiote de l'torbé diurne de la terre, ou de tout auirb espace que parcourt dans lé même temps un corps défini, dans des circonstances données, il y a identité nécessâirë, au point de vue mathématique, entre deux genres d'uniiés dont l'une n'est que là quantité successive, en elle-même inconnue, correspondante a là quantité simultanée de l'autre. Sous ce rapport, oh jpçût dire que l'unité linéaire est effectivement la êëiiîte qui sert à évaluer les fonctions dynamiques, l'autre unité, comme toutes les quantités dé durée, h'^ éumt j)aà, a proprement parler, introduite, mais sîm-

plement envisagée. (Voyez, au sujet de la masse, l'Appendice VIII.)

Il en esl des vilesses, et il en est des forces accélératrices, ou mieux vitesses d'accélération, comme des temps. Elles représentent des espaces parcourus pendant de certaines durées, c'est-à-dire pendant que d'autres espaces le sont d'ailleurs dans un certain mouvement uniforme connu ou supposé. Au surplus, la vitesse, quotient de l'espace par le temps, se regardera indifféremment comme un espace ou comme un nombre abstrait, selon qu'on envisagera dans le dénominateur, qui est un nombre d'espaces égaux, ou le nombre ou l'espace.

Plusieurs branches de la physique mathématique sont devenues des dépendances de la dynamique. Dans celles-ci, comme dans les autres qui n'ont pas subi celle évolution, la géométrie est le moyen de l'application du calcul à tous les ordres de la quantité concrète. L'unité linéaire est toujours au fond celle que suppose la compa raison des grandeurs quelconques. Ce résultat esl conforme à la place que la catégorie d'étendue occupe dans toutes nos spéculations sur le monde de l'expérience externe. De plus, la ligne, à la fois continue et discrète à volonté, est l'intermédiaire naturel du nombre et de toutes les fonctions qui peuvent s'y ramener.

En résumé, je crois pouvoir énoncer ainsi un principe général qui porterait à bon droit le nom de principe d'homogénéité:

Nulle fonction de nombres ne peut s'établir entre

des. quantités d'ailleurs liées dans Tordre concret, indépendamment de la nature respective des unités qui servent à évaluer numériquement ces quantités. — > Dans une fonction dénombres, où se trouvent liés des rapports entre quantités concrètes, il n'y a jamais qu'une seule unité, de celles dont la fonction dépend, qui puisse être regardée comme radicalement indépendante et arbitraire.

Il n'existe qu'une exception à cette loi : c'est le cas où des ordres divers de quantités, entrant dans la fonction, forment des fonctions distinctes et respectivement indépendantes de leurs unités, c'est-à-dire des rapports arithmétiques. Par exemple, l'égalité du rapport des densités des gaz à celui des pressions qu'ils supportent n'est pas troublée, quelles que soient, d'une part, l'unité employée à la mesure des densités, et, de l'autre, l'unité employée à la mesure des pressions*

Maintenant il est facile de comprendre ce qu'on entend d'ordinaire par le principe d'homogénéité. Il existe en toute fonction concrète une unité radicalement arbitraire : c'est la grandeur linéaire par laquelle toutes les autres grandeurs sont évaluées directement ou indirectement. Une fonction ne contient que des rapports. Si c'est entre des lignes, il est clair qu'elle s'établira identiquement lorsque l'unité linéaire sera supposée de telle grandeur, ou m fois plus grande ou plus petite. Or, cette dernière supposition revient à celle de quantités toutes et simultanément m fois plus petites ou plus grandes; on pourra donc, sans troubler l'équation, multiplier par un facteur constant toutes les

434 APPENDICE il.

variables qui suivent la raison de l'unité linéaire. On dit qu'une équation est homogène quand elle jouit de cette propriété, et elle doit en jouir nécessairement quand elle représente une relation concrète. De là un moyen de vérification des équations obtenues dans les mathématiques appliquées. Si ces équations renferment d'autres quantités que des lignes, il faut avoir égard, pour l'application du principe, au lien qu'on doit avoir établi entre les unités qui servent à mesurer respectivement ces quantités.

On a tenté de foire servir Ce principe à l'établissement de quelques théorèmes fondamentaux de la géométrie et de la (dynamique. Mais , bien examinées , certaines de ces démonstrations se trouvent être in* compatibles avec la loi d'homogénéité sur laquelle on prétend qu'elles roulent. Que si Ton essaie de les corriger, elles impliquent une pétition de principe. D'autres peuvent être regardées comme rigoureuses, moyennant des postulats d'ailleurs inévitables. Je ne crois pas inutile de donner quelques explications sur tin sujet encore obscur.

On démontre aisément , sans rien supposer de la théorie des parallèles et de ses attenances* que si deux angles d'un triangle déterminent le troisième angle, là sotfirtie des trois est égale à deux droits. Gela posé, voici Comment on prétend prouver que deui angles d'un triangle déterminent le troisième. Soient A,B,C les trois angles, a, b, c les trois côtés. On sait, par la superposition, que À,B,c déterminent G. On croit donc pouvoir poser, f désignant une fonction inconnue ;

% C=f(c,À,B); d'où : c=<p(À,B,C).

Or, si Ton prend , dit-on , l'angle droit pour unité d'angle , A,B,C seront des nombres indépendants de l'unité linéaire, et c n'en dépendra pas non plus, ce qui est absurde ; donc c doit disparaître de la fonction, et Ton a: C=/*(À,B). Il est clair que cette démonstration pèche en ce qu'elle suppose qu'une fonction numérique se conçoit à priori entre telles quantités que Ton veut , les unités pouvant être déterminées après coup , indépendamment les unes des autres. C'est là ce qui est contradictoire avec la loi d'homogénéité*

Pour rectifier la démonstration , nous n'envisagerons que des lignes :

sin C = F(c, sin À, sin B, R).

Cette équation est homogène, et on ne voit pas la raison d'en exclure la quantité c. Mais si, par hypothèse,

. sin A sinB sinC ltf% .

les rapports — =r— , ~^— , -^ — , suffisaient pouf donner

respectivement les angles A , B, C, nous pourrions poser :

sinC ./ sin A sin B

, , /sin A sin B siri C\

dourc^-g-^-.-R-J; et cette nouvelle équation n'est plus homogène, attendu que le premier membre dépend de l'unité arbitraire et que le second , qui ne renferme que des rapports, n'en dépend pas. Ainsi, c doit disparaître de la fonction ? et l'on a :

sinC ./sin A sinBx

ce qu'il fallait prouver. Mais d'un autre côté, notre hypothèse implique une propriété des parallèles» en sorte que la proposition de la somme des angles n'est pas démontrée indépendamment de la théorie sur laquelle on prétendrait ne pas s'appuyer.

Les mêmes considérations s'appliquent au théorème delà proportionnalité des côtés dans les triangles équiang les, qu'on a traité par la même fausse méthode, et qui impliquerait le même cercle vicieux par cette méthode rectifiée.

Il en est autrement des théorèmes fondamentaux de la mesure de la circonférence et du cercle. Ceux-ci permettent une application satisfaisante et sans réserve du principe d'homogénéité. Je crois devoir les rapporter en les démontrant rigoureusement, d'autant plus qu'ils ont été enveloppés dans une condamnation générale, basée sur de fausses présomptions.

Soit donc c la circonférence d'un cercle, r le rayon. Je demande seulement qu'on m'accorde que c ne dépend que de r, et que ce périmètre courbe est susceptible d'une comparaison numérique avec les longueurs reclilignes (1). Je pose alors : c=<p (r), et j'entends par là qu'une certaine fonction exclusive du rayon est propre à donner numériquement la longueur de la circonférence, longueur composée avec l'unité linéaire, quelle qu'elle soit, qui aura servi à la mesure de r. Cela posé, si la grandeur de cette unité arbi-

(1) La question de mesure, en elle-même, est écartée Ici pour plus de simplicité. Il ne s'agit que d'une application du principe de l'homogénéité moyennant les hypothèses convenables.

traire varie dans le rapport de m à 1 , le nombre que ç(r) représente deviendra m<p(r), pour une même circonférence. Mais, d'autre part, ce changement donne <p(mr) pour la fonction, qui ne dépend que de r. Donc la fonction <p doit être telle que l'on ait la relation numérique : m<p (r)=z © (mr), qui n'est possible qu'autant que la circonférence varie proportionnelle ment au rayon. En effet, cette dernière condition s'exprime parla même équation, où l'on supposerait cette fois l'uni lé invariable et les grandeurs de la circonférence et du rayon variables. Divisant par mr les deux membres de l'équation entendue dans ce nouveau sens, et faisant mr = 1, on a :

r mr TV '

d'où : <p(r) = 27cr, en désignant parole nombre qui mesure la demi-circonférence dont le rayon est égal à l'unité.

Soit maintenant ^(r) la surface du cercle, une fonction exclusive du rayon propre à représenter le nombre de fois que le cercle contient le carré de l'unité linéaire employée à la mesure de r. Lorsque la grandeur de cette unité varie dans le rapport de ma 1 , $(r) devient m*#(r) =<i>(mr), par des raisons semblables à celles du cas précédent , d'où l'on voit que le cercle varie proportionnellement au carré du rayon. On a donc :

r» mrr* v et * (r) = icr3, en désignant par w le nombre qui mesure la surface du cercle dont le rayon est égal à l'unité.

Mais il reste à prouver que ce facteur constant ne diffère pas numériquement de celui que nous avons représenté ci-dessus par le même symbole. En d'autres termes , il faut démontrer que la constante p est égale

k — dans le rapport — ~ = pr. Ici des considérations

géométriques paraissent indispensables.

On établirait, en généralisant ce mode de démonstration , que si les paramètres qui déterminent une courbe varient dans le rapport de 1 à m, et çek simultanément , la longueur de la courbe doit varier dans ce même rapport, et la surface dans celui de 1 à m*. La proportion des dimensions de la courbe Buit donc celle de ses constantes prises ensemble.

Mais lorsque des lignes variables entrent dans la fonction qui donne l'aire ou le périmètre, comme dans le cas d'une intégrale définie entre certaines limites, il est clair que le multiplicateur m doit porter sur ces variables aussi bien que sur les constantes linéaires.

Cette méthode peut encore servir pour la démonstration du théorème des forces concourantes dans la mécanique rationnelle, et le premier inventeur connu •de ce genre de preuves s'est précisément attaché à cet exemple (I). Mais ni lui, ni ceux qui en ont fait qsage depuis ne semblent s'être rendu un compte bien exact (j|u principe d'homogénéité, et il fauj, avouer que le terme général de fonction n'a reçu jusqu'ici qu'un sens vague, et je dirais presque un peu mystique.

(i) Mélanges de la Société de Turin, t. Il , p. 299.

(Renvoi de la page 4 20).

Observations sur quelques définitions on démonstrations

reçues en géométrie*

En toute science, les éléments et les principes se tiennent. Il n'est donc pas hors de propos, dans un livre où Ton traite, entre autres catégories, des notions géométriques fondamentales , d'accorder quel* ques pages à la critique des habitudes contractées dans l'enseignement des premiers éléments de la géométrie» Je m'attacherai au livre estimable de Legendre, modifié par un professeur.

L'auteur définit d'abord le volume un lieu déterminé que tout corps occupe dans l'espace indéfini ; la surface est pour lui une limite de séparation, la ligne et le point sont des lieux de rencontre. Mais 1% ligne et le point sont aussi des limites, et la surface n'est pas moins un lieu de rencontre des volumes qu'elle sépare. Que valent ces distinctions? Ensuite on ne saurait supprimer les notions de surface, de ligne et de point sans supprimer du même coup le lieu déterminé , le volume et l'espace indéfini luimême, dont lq conception rentre dans une obscurité complète dès qu'on essaie de faire abstraction de toutes sortes de limites ; i| ne faut donc pas laisser crpirf que les éléments de ces premières définitions

se trouvent dans quelque chose d'antérieur qui subsisterait seul et de soi-même. Une synthèse est donnée à la représentation, et toutes les parties qui concourent à la former sont mutuellement dépendantes; il s'agit d'en définir le contenu, ce qui se peut faire de plusieurs manières : ou en partant de la synthèse ellemême et la décomposant par les limites sans lesquelles elle n'existe pas , et c'est la marche de l'auteur ; ou , plus philosophiquement peut-être, en procédant des rapports les plus simples et les plus abstraits par voie de composition ; ou enfin en posant de pures définitions détachées que les axiomes viennent lier au besoin. Cette dernière méthode, suivie par Euclide , imitée par Legendre, est très convenable pour la constitution d'une science spéciale.

Suivant l'auteur, on donne le nom de figures aux volumes, aux surfaces et aux lignes ; et aussitôt après : la géométrie a pour objet la mesure de retendue des figures et l'étude de leurs propriétés. Ne procéderaiton pas avec plus de méthode en distinguant dans les volumes, et premièrement dans les surfaces et dans les lignes, des rapports de figure et des rapports d'étendue? Une surface, par exemple, est à la,fois figure et étendue mesurable ; ce sont deux points de vue que la géométrie unit, mais ne confond pas. On va voir que la remarque n'est pas sans conséquence.

« La ligne droite est une ligne indéfinie qui est le plus court chemin entre deux quelconques de ses points. — On doit regarder comme évident que si deux portions de lignes droites coïncident, ces lignes

coïncident dans toute leur étendue. » Ce principe évident n'est autre chose qu'un appel à l'intuition pour poser la donnée primitive de direction. Cette donnée ne ressort point analytiquement de celle de la moindre distance. Elle est d'ailleurs comprise dans la conception synthétique d'un espacequelconque. En elle se trouve posée la véritable idée de la ligne droite comme figure. La définition tirée du plus court chemin est un jugement qui lie la notion de direction à celle de distance, la figure à la quantité : un axiome indémontrable.

La définition consacrée des lignes et surfaces courbes est toute négative : elle fait connaître ce que la courbe n'est pas. Les géomètres veulent éviter ici de constater certaine représentation de figure qui, cependant, est tout aussi primitive et naturelle que celle de direction, à laquelle elle est opposée, el dont elle ne se déduit point. Pour que ce parti pris profitât à la rigueur de la science, il faudrait que l'intuition propre de la figure fût entièrement bannie de la géométrie? Mais est-ce possible?

Lorsqu'on définit la circonférence du cercle une ligne courbe dont tous les points sont également distants d'un point intérieur appelé centre, n'impliquet-on pas dans ce mot intérieur une idée de figure indépendante de la dislance? Que dire de la représentation possible d'une ligne qui satisfasse à la définition? Et quand je démontre que tout diamètre divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales, la superposition que j'opère s'explique-t-elle sans l'usage

de l'intuition? Euclide ne distinguait pas cette proposition d'avec la définition du diamètre; et il faisait de la description du cercle un postulat.

« On appelle angle l'espace indéfini compris entre deux droites qui se rencontrent. » Cette définition est conçue de manière à éloigner la notion d'écartement ou d'inclinaison, notion de figure admise par Euclide et par Legendre. Mais tandis que cette dernière se prête à l'application simple et immédiate de la quantité et de la mesure, l'autre définition les jette de côté, car un espace indéfini est indéterminé, et par conséquent sans quantité comparable. Aussi l'auteur est-il obligé de ramener sous une autre forme la notion qu'il a voulu écarter; il mesure les angles au moyen de la décomposition supposée en angles égaux, et il définit ceux-ci par la superposition ; or ce ne sont pas des espaces indéfinis qu'il superpose, mais ce sont des droites telles que lorsqu'elles coïncident d'autres droites prennent une seule et même direction, c'està-dire s'inclinent également sur les premières.

11 est à propos de remarquer ici qu'une forme fondamentale du jugement synthétique qui, dans la géométrie, unit la quantité à la figure est l'axiome de la superposition, dont l'énoncé le plus clair serait : deux figures dont tous les éléments superposés dans un certain ordre coïncident, comprennent entre ce? éléments des étendues d'égale quantité , dès que celles-ci sont limitées de toutes parts, à savoir les lignes par des points, les surfaces par des lignes, et les volumes par des surfaces. Cpt axiome peut s'abré-

ger ainsi : à une seule et même loi (Je figure correspond une seule el même loi de quantité.

L'auteur se propose de démontrer que par un point pris sur une droite on peut élever une perpendiculaire sur cette droite (c'est-à-dire formant avec elle deux angles adjacents égaqx), et qu'on n'en peut élever qu'une. Pour y parvenir, il considère l'inclinaison d'une droite sur une autre et deux angles adjacents, dont, l'un croît et l'autre décroît lorsque cette inclinaison, d'abord très petite, varie en un même sens. Il affirme, en conséquence de cette loi, que les deux angles inégaux , dont le moindre devient plus grand, et réciproquement, passent par l'égalité et n'y passent qu'une fois. Or, je vois là un appel à l'intuition pour faire correspondre une série de rapports de position des droites à une série de rapports de quantité de leurs angles, et il n'est pas plus difficile d'admettre, sur la foi de cette même intuition, la direction relative unique, dite perpendiculaire, à laquelle correspond l'égalité des angles adjacents. Il est certain d'ailleurs que la notion de perpendicularité est autre chose encore que l'égalité de deux angles : la ligne qui tombe droit sur une autre, qui ne pei\che pas est une vue aussi familière à l'esprit du géomètre qu'à celui du dernier manœuvre. Je conclus que la <}é? n)pnstration prétendue est pn pqstulat 4,égMÎ$Ê-

Si elle était fpndée, op ^dmettrailsijrdpsprirçcjpps ^palpgues la proposition suivante ; étant données deux droits qui se coupent, si par up point de la prpipifrCf on fpè^ ijne 4roitç yjjrrçpt d'inpU^isfti» mf fiPlM*

444 APPENDICE m.

d'une manière continue, la droite construite rencontre la seconde, d' abord d'un côté de son point d'intersection avec la première, et de plus en plus loin indéfiniment, puis de l'autre côté et de moins en moins loin indéfiniment; et dans l'intervalle il se trouve une position unique pour laquelle il n'y a point de rencontre : c'est celle où la droite construite fait avec les deux droites données des angles correspondants égaux. Le postulat de la théorie des parallèles pourrait donc passer pour démontré.

N. B. Éviter la demande de la perpendicularité en y substituant celle de la bissection de l'angle, ce serait constater encore une fois la nécessité où l'on se trouve de supposer un rapport fondamental et indémontrable entre la loi de figure et la loi de quantité pour les positions angulaires.

Le degré de complication des énoncés axiomatiques peut entrer en ligne de compte dans l'enseignement ; mais lesquels qu'on veuille choisir, et quelque forme qu'on leur donne, on trouvera toujours que les premiers éléments de la géométrie supposent un jugement synthétique, irréductible, unissant le rapport de quantité au rapport de position dans les trois cas suivants: 1° relation entre la direction simple et la distance (définition de la ligne droite) ; 2° relation entre la direction relative de deux droites qui se coupent et leur quantité d'écartement (soit l'hypothèse de la perpendicularité) ; 3° relation entre les directions respectives de deux droites, comparées à une troisième, et leur possibilité de rencontre d'où dépend la loi de

leurs distances mutuelles (postulat des parallèles). Je n'ai qu'un mot à dire ici sur le principe des mesures, parce que j'ai traité au long ce sujet dans une note, et qu'il serait fastidieux de relever des contradictions ou des non-sens auxquels les auteurs ont su donner un si grand nombre de formes sans jamais se contenter eux-mêmes. Le livre que j'ai sous les yeux commence par exposer à l'élève le procédé qu'il faut suivre pour déterminer une série de rapports qui ont pour dénominateurs une même ligne donnée et pour numérateurs des lignes de moins en moins différentes d'une autre ligne donnée, incommensurable par hypothèse avec la première. Celle-ci est la limite des lignes variables. Jusque-là tout est clair; mais l'auteur conclut que les nombres qui représentent ces lignes ont eux-mêmes une certaine limite, à laquelle, dit-il, on donne le nom de nombre incommensurable ou de rapport incommensurable. Or, il est impossible de se faire une idée quelconque de ce nombre limite, et il est même absurde d en supposer l'existence après que par hypothèse on a admis qu'aucune fraction ne pouvait exprimer le rapport demandé, ou qu'en d'autres termes un tel rapport n'avait pas de sens.

(Renvoi de la page 4 43).

De la théorie des valeor* négative*.