SENS GÉNÉRAL DU SYMBOLE NÉGATIF

Une quantité concrète évaluée numériquement est positive par rapport à l'unité dont elle se forme, et abstraction faite de toute autre relation, soit d'ailleurs qu'on la prenne pour donnée ou qu'elle se présente comme fonction d'une ou de plusieurs autres. La nature du nombre et l'origine des fonctions le veulent ainsi.

Pour envisager une quahtité dans bette relation fondamentale qui là constitue, nous la rapportons à quelque autre; et la comparaison est inévitable d'ailleurs, car il n'y a dans l'ordre concret que des quantités liées et mutuellement déterminables ; on ne se représente pas une distance à moins de la rapporter plus ou moins implicitement à des longueurs contenantes ou contenues ; claire ou confuse, exacte ou approchée, l'imagination implique toujours une mesure. Toute mesure exprime une fonction somme directe.

Cette détermination arithmétique est commune à toutes les quantités, et toutes aussi sont positives en ce sens. Si maintenant nous considérons des quantités déjà formées, et si Tune d'elles s'obtient en prenant une série de sommes et de différences des autres :

À = a 4- b — c — d -+- ..., on dira que ces dernières ont une valeur positive ou négative, selon qu'elles se prennent additivement ou soustractivement dans la suite des opérations. Les deux mots ont alors un sens corrélatif et très clair. La corrélation ôtée, ainsi que l'hypothèse d'une grandeur quelconque à laquelle se rapportent les opérations, et sur laquelle il soit possible de les exécuter, le mot négatif cesse d'être applicable à la quantité.

Les difficultés qu'on trouve dans la théorie de ces valeurs positives et négatives proviennent d'une habitude enracinée de considérer les relations, une fois symbolisées, comme des choses en soi, ou qui signifient absolument quelque chose. Les géomètres s'attachent à l'étude des symboles mathématiques dans cette petisée, avouée ou déguisée, que là scieûce y est contenue à priori en vertu de quelque signification profonde tout autrement étendue que celle qu'il platt au calculateur de leur attribuer. Ce sont des idoles qu'on supplie de se laisser voir.

Le symbole négatif se présente lorsque, après avoir

calculé quelque fonction des fonctions de la forme a — b, c — d, on reindi'que que les mêmes résultats s'obtiennent en feignant que — 6, — rf, etc., sont des fonctions particulières de nature à etfe ajoutées, retranchées, etc., comme d'autres quantités, mars conformément à des règles que l'on établit alors pour cet effet. On se trouve ainsi en possession de symboles dont L'emploi est précieux, mais dont il ne faut pas oublier l'origine.

Ensuite viennent les problèmes abstraits, ou purement algorithmiques, dont les symboles négatifs offrent des solutions. On s'est demandé quelles valeurs substituées à x réduiraient à zéro la fonction x2 + Sx -f 2 par exemple, et Ton trouve par l'analyse générale de ce problème les deux solutions — 1 et — 2; ce ne sont pas là des nombres, mais le problème n'en est pas moins résolu dans le sens algébrique pur. À cela nulle difficulté^ et la généralité des méthodes est à ce'prix.

Veut-on maintenant qu'il puisse être attaché un sens autre que symbolique à ces sortes de résultats? alors de même qu'on a trouvé les règles du calcul des symboles négatifs en opérant sur des fonctions de la forme a— 6, supposées possibles, de même on appliquera ces symboles, donnés pour solutions de certains problèmes, en supposant que les variables xyyy z, etc., introduites dans une équation , ont la même signification qu'auraient eue X±.x,Y±y,Z±:z, et que leurs valeurs déterminées ±a,±.b9±c, etc., représentent en conséquence X ± a, Y ± b9 Z ± c. Je désigne ici par X, Y, Z des nombres ou quantités indéterminés plus grands par hypothèse que tous ceux qui pourraient se présenter pour a, b, c, etc. Au point de vue abstrait, on considérerait au besoin un nombre universel par rapport auquel tous les nombres déterminés seraient censés avoir une signification en double sens, additivement et. soustractivement, en sorte que

la série 1,2,3,4 se trouverait remplacée par

celle-ci :

n— ft, n— 3, «—2, n— 1, n, n+1, n+2, n+3, w-H —

Mats c'est le point de vue concret qui nous intéresse maintenant.

Il reste donc à savoir en quel cas et comment la convention que je viens d'énoncer se trouvera applicable à la mesure des quantités, et spécialement de celles qui appartiennent à l'ordre du continu. Partout où, pouvant se faire, elle se fera, et s'exprimera méthodiquement, les solutions négatives des problèmes s'interpréteront toujours, ou pour mieux dire seront comprises sans interprétation ; là, où pouvant se faire, on l'aura négligée, on interprétera ces mêmes solutions après coup, plus ou moins facilement» selon que l'analyse et l'équation se rapprocheront de celles qui auraient convenu ; là enfin où la convention ne saurait s'appliquer, une valeur négative unique, après analyse exacte, indiquera infailliblement un problème impossiblo ou une hypothèse absurde.