VALEURS NÉGATIVES EN GÉOMÉTRIE

D'un point donné, sur une droite indéfinie, les quantités linéaires peuvent se compter en deux sens opposés. Les sommes ou différences des lignes posées bout à bout ou régressivement sont représentées par celles des nombres qui leur correspondent, en prenant le point donné pour l'extrémité dune première ligne portée d'une origine ou limite fixe. De plus, la limite étant arbitraire, il serait toujours possible de la placer de manière que les lignes obtenues par des opérations de ce genre fussent situées d'un même côté de la droite indéfinie relativement à cette limite : les valeurs cor-

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respondantes seraient alors constamment positives. Si la limite est placée autrement (et à priori dans l'analyse d'un problème, on ignore le plus souvent comment elle doit l'être), la derrière quantité portée détermine un point situé du côlé de la droite opposé à celui où l'on s'avançait addilivement : on trouve alors pour le nombre correspondant une valeur négative. Sôit — û cette valeur, et soit n un nombre plus grand que a représentant une certaine quantité linéaire de laquelle on peut supposer que la limite est reculée; n—a sera le résultat voulu pour cette dernière position de b

limite.

Donc, pour ce problème élémentaire qui se résout en portant une quantité rectiligne à partir d'une certaine limite, les solutions -f- a et —a désignent une même grandeur, et déterminent deux points différents, de part et d'autre et à distance égale de cette limite} parce que si la somme des quantités ajoutées ou retranchées dans le cours du calcul eût été augmentée de ri, distance de la limite arbitrairement choisie à mie atitre limite indéterminée en arrière, les solutions 4- û et ~ a auraient été remplacées par n -+* a et

Ce qui a lieu pour une droite quelconque s'applique

a chacun des trois axe3 rectilignes qui, divergeant d'une limite arbitraire commune, servent à déterminer la position d'un point quelconque dans l'espace- En désignant par X, Y et Z des quantités indéterminées comptées sur chaque axe, en un certain sens, depuis la limite arbitraire quelconque jusqu'à la limite

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tëte, où pourra considérer à la place des coordonnées #, y y z,^-x, — #, — z, et pour l'interprétation de celles-ci , les quantités X ±. x, Y±:t/, Z rfc*. On voitquenonseulementlagéométrieautorise l'hypothèse que nous avons vue être une condition de l'introduction de* valeurs négatives dans l'étude des relations numériques, mais que même ce qui est hypothèse, quant au calcul, devient loi dans la science de rétetidue. Le fait de l'existence d'une limite arbitraire et de deux sens opposés dans chaque dimension semblé d'abord exclure l'extension de la mesure aux rapports de position, puisque le nombre et la quantité continue ont des limites nécessaires, l'un l'unité, l'autre zéro, et ne croissent indéfiniment quen un sens. Mais c'est précisément ce qu'il y a d'arbitraire dans la position du point-limite, qui permet de lever la difficulté en attribuant à £ la signification de n 4- a*.

Remarquons en passant que le système de& axes rëctilignes est celui qui se prête le plus simplement et le plu* immédiatement h l'introduction des valeurs négatives, et par suite à l'application générale de l'algèbre à la géométrie. Ce système exprime et mesure les trois dimensions d'une manière directe et élémentaire. On se tromperait donc en le considérant comme un cas accidentel ou d'exception parmi tous le* systèmes possibles de repères* D'autres peuvent s'employer dé préférence dans des recherches détermfc nées, mais aucun n'a la même valeur de théorie. En fi h le système rectiligne lui-même est le plus naturel et renferme le moins d'arbitraire possible lorsqu'il est

rectangulaire; car alors les distances estimées sont les moindres, et la déviation des axes la plus grande.

Ainsi, au lieu d assimiler à zéro l'origine des coordonnées, nous la prendrons sur chacun des axes pour la seconde limite d'une quantité linéaire indéterminée et déjà comptée dans un certain sens, de part et d'autre de laquelle on puisse ajouter ou relrancher toute droite assignée et finie. Cette convention est la seule qui permette d'appliquer d'une manière générale au développement indéfini de la ligne la loi de sommation directe et inverse des quantités abstraites. Mais, pour simplifier l'analyse, en laissant d'ailleurs toute son indétermination à la dislance des deux limites , on sous-entend celte dernière dans le calcul, en sorte que les quantités de la forme n — x, n — y, sont remplacées par les symboles — x> —y, et cela dans l'équation qui pose le problème comme dans la formule qui le résout.

J'établis celte théorie sur le problème simple de la numération linéaire élémentaire, pour ainsi parler. Cependant lorsque Ton met un problème quelconque en équation, on exprime des fonctions plus complexes par lesquelles les inconnues ou variables sont liées. On pourrait donc croire qu'il reste à prouver ou à demander la proposition suivante : Dans tous les cas où tes quantités de la forme n ~f- x% n — x ont été remplacées par les symboles xet — x dans l'équation d'un problème, il suffit de substituer aux valeurs obtenues pour solution, soient H- a et — a, les valeurs n-h a, n — a, et l'on connaît ainsi le résultat que le calcul

aurait donné dans le cas où cette simplification n'eût pas été faite. Mais si Ton réfléchit que toutes les fonctions se ramènent au fond à celle de la sommation, soit qu'on les envisage entre des nombres ou entre des lignes estimées numériquement; que d'ailleurs le calcul des symboles négatifs doit s'établir dans la supposition que — x est le second terme d'un binôme tel que n — x, on trouvera qu'il n'y a point là de théorème à démontrer, et que le postulat n'est autre que celui de l'accord du calcul avec lui-même et du géomètre avec ses propres conventions.

La théorie de l'application des symboles négatifs à l'analyse géométrique s'élend sans difficulté à toutes les parties des mathématiques appliquées où les variables sont susceptibles d'un double sens à compter d'une limite, et, en d'autres termes, assimilables à des lignes dont la croissance et la dccroieaanceexprimcnt une même loi de formation. La méthode n'exige donc pas de nouveaux éclaircissements quant à la mesure de la durée et des quantités qui en dérivent. Des grandeurs d'un genre bien différent (l'avoir d'un négociant par exemple) sont dans le même cas, parce que les questions auxquelles elles donnent lieu peuvent se poser sous une forme géométrique.