EXAMEN DE QUELQUES DIFFICULTÉS

La plus importante est celle qued'AlembertetCarnot ont signalée dans ces problèmes très simples de géométrie qui, traités par l'algèbre, offrent deux solutions de signes contraires, sans que la construction à

laquelle ce? valeurs sentent W rapporter offre deu* lignes de sens opposés à compter de quelque point (1). Attachons-nous à l'exemple dont s'est servi Carnot. On se propose de mener d'un point donné à une circonférence donnée une droite qui y intercepte une corde de grandeur donnée. Soit a la distance du point donné au centre du cercle, r le rayon, c la corde, % la distance du point dopné k l'extrémité de la cordequ'il feut intercepter. Pn a immédiatement l'équation du second degré ; *

x (x 4- i?) = (a + r) (a — r)i d'où l'on croit pouvoir conclure k l'existence de ces deux solutions :

— c + s/c% + k(cp— r*) „ — c— |/eM-4(a?~^#)

et Ton s'étonne que la seconde soit négative, alors que la distance du point donné à l'extrémité la plus éloignée de la corde, que l'on croit représenter géométriquement cette solution, est cependant comptée du même point et dans le même sens que la première.

On ne remarque pas que l'on a mis le problème ea équation dans la supposition que c s'ajoute à m et ne s'en retranche pas, et qu'ainsi Ton s'est réduit d'avance à une seule solution. Pour obtepir l'autre (de ce côté de diamètre), il faut changer le signe de c dans l'équation ou dans le résultat. Le signe de x n'est pas en

11) Voye* fTAJcw)>ertt itfongm i. JV, j, ^54, # j. Y»& 3385 $ Y Encyclopédie % &rt. Négatif, {Situation, Équation. — Carnot,] Géo-' métrie de position : discours préliminaire, et Corrélation des figures lie géométrie.

cause: # est une ligne donnée simplement par un nombre, en tant qu'on ne fixe aucune origine au* quantités croissantes ou décroissantes de ce genre. L# seconde valeur qui satisfait à l'équation est étrangère au problème, quoiqu'elle se trouve coïncider commp nombre avee la solution qqe donnerait le changement de signe de c dans la première, savoir :

. c-4- i/caH-4(a* — r*).

Ceci devient encore plus manifeste lorsque, prenant pour inconnues les deux distances du point donné aux deux extrémités de la corde on résout le système des équations :

L'élimination conduit alors à quatre valeurs algébriques, dont la distribution géométrique est impraticable, même en ayant égard aux deux points symétriques du premier, par rapport au diamètre :

. — c±v/c*-V4(a*— r*) „ +c±\Zc* -h 4 (a*— r*)

Il faut donc, pour ne pas dépasser les prémisses du raisonnement, c'est-à-dire de la mise en équation, considérer les radicaux comme des valeurs purement arithmétiques ; et Ton se réduit ainsi aux (Jeux seules . solutions qu'on avait en vue dans le problème.

On ne doit chercher à déterminer la position des inconnues par tas signes des solutions algébriques, que lorsque, fixant une origine aux quantités de la itatufe de eelles qu'on cherche, on p établi régulièrement la

convention propre à justifier les valeurs désignes contraires, attribuées à celles qui se portent en sens opj>osés. Dans le problème ci-dessus, prenons pour inconnues l'abcisseou l'ordonnée d'un point extrême de la corde; Taxe des x étant le diamètre mené par le point donné, et l'origine des coordonnées le centre (axes rectangulaires). Supposons, de plus, une autre origine éloignée de la première des quantités indéterminées X Y, et considérons xety comme les seconds termes des binômes X± #, Y ±. y. Au moyen de cette convention préliminaire, que je me borne à rappeler, et qui est la môme pour tous les problèmes, nous pourrons regarder les coordonnées comme susceptibles du double signe dans les résultats aussi bien que dans les équations, et attacher un sens aux valeurs algébriques, soit additives, soit soustraclives, trouvées pour les inconnues.

L'équation est : a* — r*=s«(c-4-«), et Ton a :

uzzz \/ t* — x* -+- (a -+- xf. Résoluepar rapport à #, elle donne les deux valeurs cette fois véritablement applicables ,

c* — 4r*dbc i/ca-4-4(a* — r*)

Ka

La même méthode donne quatre valeurs de l'ordonnée égales deux à deux, et de signes contraires, et qui s'interprètent sans plus d'hésitation.

En résumé, quand on pose l'équation d'un problème déterminé, il peut arriver qu'on n'exprime que des relations arithmétiques entre les connues et les

inconnues. Si, dans ce cas, on croit obtenir plusieurs solutions, et, par exemple, deux qui sont de signes contraires, il n'y en a pourtant qu'une d'admissible: l'autre appartient à l'équation générale et symbolique, mais non à la question, du moins telle qu'elle est posée. S'il arrive que celle-ci ne laisse pas d'être applicable, c'est qu'elle se trouve coïncider algébriquement avec celle qu'on aurait eue en considérant Tinconnue comme susceptible de se porter en deux sens, et en employant un système d'axes propre à l'établissement de la convention d'où les symboles négatifs tirent leur signification en géométrie. Lorsque 1 équation n'admet ni explicitement, ni implicitement, le double sens possible d'une quantité cherchée, une solution négative unique accuse l'absurdité du problème ou de la marche suivie pour le résoudre.

Je ne fais en tout ceci qu'exposer l'ancienne théorie dite du double sens, mais corrigée. On voit ce qu'elle a de fondé dans la nature des choses, et aussi ce qu'il entre de conventionnel dans son usage: de conventionnel, ou, pour mieux dire, de volontaire et de prémédité de la part du calculateur. On explique, on rectifie les problèmes cités comme incompatibles avec cette théorie. 11 suffit de ne plus croire à une sorte de virtualité mystiquedes formules, à une signification concrète intrinsèque que l'algébriste n'y aurait déposée ni directement, ni indirectement, et que, pourtant, il devrait y démêler. Comme si, en admettant la correspondance du double signe avec le double sens, on s'obligeait à interpréter par ce moyen les solutions de

458 AmuinGK tv.

problèmes traités d'une manière quelconque ! et comme si l'algèbre étant un chiffre tombé du ciel, non une langue propre à exprimer à volonté des conceptions claires, au lieu d'adapter le symbole à la pensée on dût évoquer des idées pour expliquer des signes préexistants 1 Les géomètres ressemblent encore quelquefois à ces métaphysiciens pour lesquels ils professent un certain mépris.

D'autres objections supposent le même vice dans la théorie à laquelle on pourrait les appliquer justement, et ce vice poussé jusqu'à l'absurde. Si deux lignes portées en sens contraire Tune de l'autre, dit Carnot, pouvaient être représentées par H- a et — a , leur iOinipe serait donc nulle ; des aires de courbe, des solides de révolution seraient des quantités nulles. . Il faut répondre que -f-a et — a sont des quantité^, pop pas simples, mais affectées de symboles, et qui expriment systématiquement quelles valeurs on doit ajouter ou retrancher sur une grandeur indéfinie, à partir dune certaine limite poujr )a détermination d'une quantité demandée.

Des géomètres sont même allés si loin dans Terreur commune de prendre pour des choses en soi des lignes 4e relation qui n'ont jamais que le sens qu'il plaît d'y pt^acher, qu'ils ont admis des quantités négatives, c ça t- à-dire moindres que zéro. C'est Carnot qui le {lit ; mais il £ tort de nommer Newton, parce que le p^spage de V Arithmétique universelle où il nous repyoie pe pèche que par les mots minores nihib, qui, . (Ts^Ue/ifs, s'y Irppycju expliqués très rationnellement.

DES VALEUR» HteVTIVES. 4$ft